Ο Αριθμός

Ποιος είναι ο αριθμός με τις ακόλουθες χαρακτηριστικές ιδιότητες:

Αν από έναν αριθμό αφαιρέσετε το 7 και πολλαπλασιάσετε το υπόλοιπο με το 7, ή αν από τον ίδιο αριθμό αφαιρέσετε το 4 και πολλαπλασιάσετε το υπόλοιπο με το 4 μας δίδει πάντα τον ίδιο αριθμό. Για ποιόν αριθμό πρόκειται; (Κατ.1/Πρβλ. Νο.13)

Λύση

Για τον αριθμό 28. Έστω "α" ο ζητούμενος αριθμός. Βάσει των δεδομένων
της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α=(β-7)7 --> α=7β-49 (1)
α=(β-4)4 -->α=4β-16 (2)
Προσθέτουμε κατά μέλη την (1) και τη (2) κι έχουμε:
α=7β-49
α=4β-16 --> 2α=11β-65 --> α=(11β-65)/2 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι έχουμε:
α=7β-49 --> (11β-65)/2=7β-49 --> (11β-65)=2*(7β-49) -->
11β-65=14β-98 --> 14β-11β=98-65 --> 3β=33 --> β=33/3 -->β=11(4) .
Αντικαθιστούμε τη (4) στην (1) και στη (2) κι’ έχουμε:
α=7β-49 --> α=7*11-49=77-49=28 --> α=28
α=4β-16 --> α=4*11-16=44-16=28 --> α=28 ο.ε.δ.