Πάσχα 2017!!

      Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"

      Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"

      Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"

      Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or

      Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"

      Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"

 * * * * * * * * * 

Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά! Είθε, ο Αναστημένος Χριστός να μας βοηθήσει να ξεπεράσουμε την οικονομική κρίση, στην οποία έχουμε περιέλθει, και να ζήσουμε καλύτερες ημέρες!

Οι Αριθμοί

Το γινόμενο δύο αμοιβαίων κατοπτρικών αριθμών, (όπου ο ένας προκύπτει από την αντιστροφή της σειράς των ψηφίων του άλλου), ισούται με 92.565. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Διευκρίνιση:
*Παλινδρομικός ή καρκινικός, ή κατοπτρικός αριθμός καλείται ο αριθμός που δηλώνει την παλινδρομική ή καρκινική, ή κατοπτρική όμοια εκφορά του αριθμού, από την αρχή προς το τέλος και από το τέλος προς την αρχή π.χ. ο αριθμός 838 είναι παλινδρομικός ή καρκινικός ή κατοπτρικός. (Κατ.34)

Πηγή:Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 2^ος, πρβ.50, Σελ.37)

Λύση

Λύση του Voulagx
Μετατρέπουμε τον αριθμό 92.565 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι' έχουμε:
92565=3^2*5*11^2*17=(3*5*11)*(3*11*17)=165*561
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι ο 165 και ο 561.

Σκαμνιά και Πολυθρόνες

Σ’ ένα δωμάτιο υπάρχουν μερικά σκαμνιά με τρία  πόδια και μερικές πολυθρόνες. με τέσσερα πόδια. Όταν σε κάθε σκαμνί και σε κάθε πολυθρόνα κάθεται ένας άνθρωπος, το συνολικό πλήθος των ποδιών στο δωμάτιο είναι 39. Πόσα σκαμνιά και πόσες πολυθρόνες υπάρχουν στο δωμάτιο; (Κατ.34)

Πηγή: Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1^ος, πρβ.57, Σελ.42)

Λύση

Λύση του Voulagx
Έστω ότι υπάρχουν «χ» σκαμνιά και «ψ» πολυθρόνες, όπου (χ,ψ) φυσικοί αριθμοί. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος θα έχουμε:
3χ+4ψ+2(χ+ψ)=39 --->2χ+4ψ+2χ+2ψ=39 ---> 5χ+6ψ=39 ---> 5χ=39-6ψ (1)
χ=(39-6ψ)/5 ---> χ=(40-1-6ψ)/5 ---> χ=40/5-(1+6ψ)/5 ---> χ=8-(1+ψ+5ψ)/5 ---> χ=8-5ψ/5-(1+ψ)/5 ---> χ=8-ψ-(1+ψ)/5 (2)
Πρέπει το (1+ψ) να είναι πολλαπλάσιο του 5, δηλ. 1+ψ=5κ (3)
Από την (1) έχουμε:
39-6ψ>0 ---> 39>6ψ ---> 39/6=6,5>ψ ---> 7,5>1+ψ=5κ ---> 7,5/5=1,5>κ
Άρα κ=1 (ο μόνος φυσικός μικρότερος του 1,5).
Oπότε η (3) γίνεται:
1+ψ=5 => ψ=4
Και αντικαθιστώντας τη τιμή του «ψ» στη (2) έχουμε:
χ=8-4-(1+4)/5=4-1=3 ---> χ=3
Στο δωμάτιο υπάρχουν 3 σκαμνιά και 4 πολυθρόνες. Τραπεζάκια για τους καφέδες δεν έχουμε για να μην μπλέξουμε τα πόδια.
Λύση του θεματοδότη
Στο δωμάτιο υπάρχουν 3 σκαμνιά και 4 πολυθρόνες. Έστω «Σ» τα σκαμνιά και «Π» οι πολυθρόνες. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
5Σ+6Π=39 (1)
(α) Σ = Σκαμνί και Άνθρωπος= 3+2=5 πόδια.
(β) Π = Πολυθρόνα και Άνθρωπος=4+2=6 πόδια.
5Σ+6Π=39 ---> 5Σ=39-6Π ---> Σ=(39-6Π)/5 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "Π" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "Σ" είναι ο αριθμός Π=4
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «Π» στη (2) κι’ έχουμε:
Σ=(39-6Π)/5 ---> Σ=(39-6*4)/5 ---> Σ=(39-24)/5 ---> Σ=15/5 ---> Σ=3
Επαλήθευση:
5Σ+6Π=39 ---> [(5*3)+(6*4)]=39 ---> 15+24=39  ο. ε. δ.

Τα Μυρμήγκια

Σε μια κοινότητα μυρμηγκιών, εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 8 μυρμηγκιών δεν  περισσεύει κανένα μυρμήγκι, ενώ εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 6 ή 7 μυρμηγκιών περισσεύουν 4.μυρμήγκια. Από πόσα μυρμήγκια αποτελείται αυτή η κοινότητα, εάν γνωρίζουμε ότι είναι περισσότερα από 60 και λιγότερα από 100; (Κατ.5)

Πηγή:http://pieriakaterini.blogspot.gr/2017/04/o-grifos-tis-imeras-22-4-2017.html

Λύση

Τα μυρμήγκια είναι 88. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο «Ν». Από τη σειρά των αριθμών 6 και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.(6,7) =6*7=42
Συνεπώς ο (Ν-4) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 42:
(Ν-4)=42, (Ν-4)=84, (Ν-4)=126, …, (Ν-4)=∞. Και Ν=(Πολλαπλάσιο+4), δηλαδή Ν=42+4=46, Ν=84+4=88, Ν=126+4=130, …, Ν= ∞+4= ∞.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος, διαλέγουμε το πολλα-πλάσιο που βρίσκεται μεταξύ του 60 και του 100, που είναι το 84.
Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι:
Ν=(Πολλαπλάσιο+4) ----> Ν=84+4 ---> Ν=88
Επαλήθευση:
88mod6=4 ---> 88:6=6*14+υπ.4=84+4=88
88mod7=4 ---> 88:7=7*12+υπ.4=84+4=88
88mod8=0 ---> 88:8=8*11+υπ.0=88+0=88

ΠΑΣΧΑ 2017!!

"Η προσαγωγή του Χριστού ενώπιον του Πιλάτου,

όπου καταδικάζεται σε σταυρικό θάνατο."

Η ιστοσελίδα του "Papaveri48" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Οι Χωρικοί και τ' Αυγά

Δυο χωρικοί έφεραν στην λαϊκή αγορά συνολικά 100 αυγά για να τα πουλήσουν. Ο ένας όμως είχε περισσότερα αυγά από τον άλλο. Και οι δύο όμως, αφού πούλησαν τα αυγά τους, πήραν τα ίδια χρήματα.
Ο πρώτος χωρικός είπε στο δεύτερο:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 15 σακιά πίτουρα».
Ο δεύτερος χωρικός του απάντησε:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα  6 και  2/3 σακιά πίτουρα».
Πόσα αυγά είχε ο καθένας από τους χωρικούς; (Κατ.34)

Πηγή:http://omathimatikos.gr/?p=7177

Λύση

Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη
Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β=100(1)
Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:
α*x ευρώ
Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:
(100-α)*ψ ευρώ
Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:
α*x=(100-α)*ψ (2)
Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:
(100-α)*χ=15*κ ----> x=15*κ/(100-α) (3)
Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:
α*ψ=(20*κ)/3 ---> ψ=(20κ)/3*α (4)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α*x=(100-α)*ψ ---> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α --->3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ
Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:
3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ --->
45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 --->
45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 --->
45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 ---> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 --->
25α^2+4.000α-200.000=0
Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:
25α^2+4.000α-200.000=0 ---> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 ---> α^2+160α-8.000=0 (5)
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:
α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —>
α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —> α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2
α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)
α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)
Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=100 ---> 40+β=100 β=100-40 ---> β=60 (7)
Επαλήθευση:
α+β=100 ---> 40+60=100 ο. ε. δ.
Σημείωση:
Από τη λύση δεν προσδιορίζεται η τιμή πώλησης του ενός αυγού από τον κάθε ένα. Απλά προσδιορίζεται μόνο ο αριθμός των αυγών. Οι μόνες λογικές τιμές, με τα σημερινά δεδομένα, που θα μπορούσαμε να αποδεχτούμε, είναι ο πρώτος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς x=0,60€ και ο δεύτερος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς ψ=0,40€.
Από τη (2) βρίσκουμε πόσα χρήματα εισέπραξε ο καθένας από την πώληση των αυγών:
α*x=(100-α)*ψ ---> α*x=60*ψ ---> 40*0,60=60*0,40 ---> 24=60*0,40
Άρα ο καθένας χωρικός εισέπραξε από την πώληση των αυγών του 24€
Και μια πολύ ωραία και σύντομη λύση του φίλου της ιστοσελίδας Voulagx.
Η εξίσωση (2) γράφεται:
α*x=(100-α)*ψ ---> χ/ψ=(100-α)/α (2)
Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (3) και (4) έχουμε:
[(100-α)/α]*[χ/ψ]=45/20=9/4=(3/2)^2
και λόγω της (2):
[(100-α)/α]^2=(3/2)^2
και επειδή αναζητούμε λύσεις στο σύνολο των ρητών θετικών αριθμών θα έχουμε:
(100-α)/α=3/2 ---> 200-2α=3α ---> 200=5α ---> α=40
άρα β=100-40=60.

Οι Κάρτες

Ο Παναγιώτης έπαιξε από δύο παρτίδες ενός παιχνιδιού µε κάρτες, µε καθέναν από τους φίλους του Αντώνη, Δημήτρη, και Γιώργο. Πρώτα έπαιξε µε τον Αντώνη διπλασιάζοντας τις κάρτες του στην πρώτη παρτίδα, ενώ στη δεύτερη έχασε 25 κάρτες. Στη συνέχεια, παίζοντας µε το Δημήτρη, αρχικά τριπλασίασε τις κάρτες που είχε και μετά έχασε 15 κάρτες. Τέλος, στην πρώτη παρτίδα µε το Γιώργο, κέρδισε 50 κάρτες, αλλά στη δεύτερη έχασε 33. Μετά το τέλος των παρτίδων ο Παναγιώτης είχε 197 κάρτες. Με πόσες κάρτες ξεκίνησε να παίζει; (Κατ.34)

Λύση

Ο Παναγιώτης ξεκίνησε να παίζει με 45 κάρτες. Έστω «x» οι κάρτες που είχε στην αρχή ο Παναγιώτης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:
Διπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη:2χ.
β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:
Ο Παναγιώτης χάνει 25 κάρτες:(2χ-25).
α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρης:
Τριπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη που είχε μετά τη δεύτερη παρτίδα με τον Αντώνη:
3*(2χ-25).
β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρη:
Ο Παναγιώτης χάνει 15 κάρτες: [3*(2χ-25)-15]
α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:
Ο Παναγιώτης κερδίζει 50 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50]
β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:
Ο Παναγιώτης χάνει 33 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50-33].
Μετά τ’ ανωτέρω αποτελέσματα είχε 197 κάρτες, οπότε έχουμε την εξίσωση:
[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> 6x-75 -15+50-33=197 -->
6x=197+75+15-50+33 --> 6x=320-50 --> 6x=270 --> x=270/6 --> x=45
Επαλήθευση:
[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> [[3*(2*45)-25]-15+50-33]=197 -->
[[(3*(90-25]-15+50-33]=197 --> [(3*65)-15+50-33]=197 --> 195-15+50-33=197