Το Άθροισμα

Ο Γιάννης και η οικογένειά του ταξιδεύοντας στην εθνική όδό με το αυτοκίνητό του είδε μια χιλιομετρική πινακίδα. Δεν πρόλαβε όμως να ελαττώσει τη ταχύτητα για να μπορέσει να διαβάσει τον αριθμό που έγραφε. Διέκρινε όμως ότι ήταν ένας τετραψήφιος αριθμός με τα εξής χαρακτηριστικά στοιχεία:

α)Θυμάται ότι ένα από τα ψηφία του ήταν ο αριθμός 1. 

β)Ο αριθμός που ήταν στη θέση των εκατοντάδων ήταν τριπλάσιος από τον αριθμό που υπήρχε στη θέση των χιλιάδων. 

γ)Ο αριθμός που υπήρχε σε μια θέση ήταν τετραπλάσιος από τον αριθμό που υπήρχε στη θέση των δεκάδων. 

δ)Ο αριθμός που υπήρχε στη θέση των χιλιάδων ήταν ο αριθμός 2.

Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων  του αριθμού της χιλιομετρικής πινακίδας που είδε;
(Κατ.34/Νο.817)

Λύση

Η ένδειξη της χιλιομετρικής πινακίδας ήταν ο αριθμός 2614, και το άθροισμα των ψηφίων της ισούται με 13. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: 2+β+γ+δ=ω (1), β=3α (2), δ=4γ (3). Από τη (2) συνάγουμε ότι: β=3α --> β=3*2 ---> β=6 (4) Αντικαθιστούμε τις (3) και (4) στην (1) κι’ έχουμε: 2+β+γ+δ=ω ---> 2+6+γ+4γ=ω ---> 8+5γ=ω --->5γ=ω-8 ---> γ=(ω-8)/5 (5) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ω" τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος και δίνει ακέραιο αριθμό "γ" είναι ο αριθμός ω=13 (4). Αντικαθιστούμε τη τιμή του "ω" στη (5) κι’ έχουμε: γ=(ω-8)/5 ---> γ=(13-8)/5 ---> γ=5/5 ---> γ=1 (6) Επαλήθευση: 2+β+γ+δ=ω ---> 2+6+1+4=13 β=3α ---> β=3*2 ---> β=6 δ=4γ ---> δ=4*1 ---> δ=4 ο.ε.δ. Λύση του Eleochori Kavala. αβγδ, 2βγδ (λογω προτασης δ), 26γδ (γιατι β=3α=3*2, προτασης β), τωρα, γ ή δ = 1 (λογω προτασης α), μας λεει οτι ενας αριθμος ηταν τετραπλασιος απο αυτον στις δεκαδες αρα 4γ = α ή β ή δ 4γ= δ ( γιατι 4γ=α=2 και 4γ=β=6 ειναι αδυνατο, δεν δινουν ακεραιο), οποτε γ=1 αναγκαστικα για να δωσει ακειραιο το δ, λογω της προτασης (α) αρα δ=4 αβγδ=2614

Τα Άτομα

Σε ένα πάρτι 15 άτομα έφαγαν μελομακάρονα και 12 άτομα έφαγαν κουραμπιέδες. Δέκα από αυτά τα άτομα έφαγαν και από τα δύο. Τρία άτομα δεν έφαγαν τίποτα. Πόσα άτομα  ήταν στο πάρτι: (Κατ.34/Νο.816)

Πηγή:θεματα γυμνασιου 2000-2009

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Διακρίνω τα υποσύνολα: Α: 10 έφαγαν και από τα δύο γλυκά, B: 15-10=5 άτομα έφαγαν μόνο μελομακάρονα, C: 12-10=2 άτομα έφαγαν μόνο κουραμπιέδες, D: 3 άτομα δεν έφαγαν τίποτα. Συνεπώς τα άτομα ήταν: A+B+C+D=10+5+2+3=20

Το Ύψος

Στο ανωτέρω σχήμα βλέπουμε μερικούς στοιβαγμένους κυλινδρικούς σωλήνες. Η διάμετρος κάθε σωλήνα είναι 5 cm. Τι ύψος έχουν οι στοιβαγμένες σωλήνες;
(Κατ.34/Νο.815) 
Πηγή:θεματα γυμνασιου 2000-2009

Λύση

h=5[1+2*sqrt(3)] ---> h=5+10sqrt(3)

Η Πιθανότητα

Σε ένα βάζο έχουμε 50 μαύρες χάντρες και 50 άσπρες χάντρες. Τι θα μπορούσαμε να κάνουμε, για να αυξήσουμε την πιθανότητα να πάρουμε στην τύχη μια χάντρα μαύρη;

Α. Να αλλάξουμε τις άσπρες χάντρες με κόκκινες.

Β. Να βάλουμε όλες τις χάντρες σε ένα μεγαλύτερο κουτί.

Γ. Να βγάλουμε από το κουτί μερικές άσπρες χάντρες.

Δ. Να προσθέσουμε στο κουτί μερικές άσπρες χάντρες.

E. Να αφαιρέσουμε από το κουτί 5 άσπρες χάντρες και 5 μαύρες χάντρες.(Κατ.27/Νο.443)
Πηγή:θεματα ε' δημοτικου 2000 - 2009

Λύση

Η σωστή απάντηση είναι η (Γ): «Να βγάλουμε από το κουτί μερικές άσπρες χάντρες.» Λύση του Ε. Αλεξίου. Η πιθανότητα για μαύρη χάντρες είναι: (μαυρες χάντρες) διά (μαυρες χάντρες +άσπρες χάντρες), άρα μειώνοντας τις άσπρες χάντρες, αυξάνουμε την πιθανότητα να βγαλουμε μαύρη χάντρα. 

Νέο Έτος 2015!!

Εύχομαι στους φίλους της ιστοσελίδας:

Χ Ρ Ο Ν Ι Α  Π Ο Λ Λ Α

Ε Υ Τ Y Χ Ι Σ Μ Ε Ν Ο  ΚΑΙ  ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟ

 

Τ Ο  Ν Ε Ο  Ε Τ Ο Σ  2 0 1 5!! 

H A P P Y  N E W  Y E A R  2 0 1 5!!