Η Τιμή

Εάν:

Να βρεθεί η τιμή του «x». (Κατ.34/Νο.768)

Διαβάστε περισσότερα »

Η Αγορά

Η Άννα και ο Κώστας αγόρασαν από ένα βιβλιοπωλείο μερικά βιβλία και πλήρωσαν 36€. Η Άννα πλήρωσε το 1/3 του ποσού και ο Κώστας το υπόλοιπο ποσό.

α) Πόσα ευρώ πλήρωσε καθένας;

β) Το ποσό που πλήρωσε ο Κώστας αντιστοιχούσε στα 3/7 των χρημάτων που είχε στο πορτοφόλι του. Πόσα ευρώ του έμειναν; (Κατ.34/No.767)

Λύση

α)Η Άννα πλήρωσε 12€ και ο Κώστας πλήρωσε 24€. β)Στο πορτοφόλι του Κώστα έμειναν 32€. Η Άννα πλήρωσε το 1/3 του ποσού, άρα πλήρωσε: (1/3)*36 =36/3= 12€. Ο Κώστας πλήρωσε τα υπόλοιπα, άρα πλήρωσε: 36€−12€=24€. Τα 24€ που πλήρωσε ο Κώστας αντιστοιχούν στα 3/7 από αυτά που είχε στο πορτοφόλι του, άρα στο πορτοφόλι του αρχικά είχε: 24/(3/7) = (24*7)/3) = 168/3= 56€. Και του έμειναν: 56€−24€=32€.

Ο Θαυματουργός Θάμνος

Μια ημέρα ένας χωρικός, που έκανε τη συνηθισμένη του βόλτα στο δάσος,
συνάντησε έναν παράξενο γέρο κι’ έπιασαν κουβέντα. Μετά από λίγη ώρα ο γέρος, ο οποίος ήταν έξυπνος, θέλοντας να εκμεταλλευτεί την αγαθοσύνη του χωρικού για να εξοικονομήσει μερικά χρήματα, λέει στο χωρικό:

-«Μέσα στο δάσος υπάρχει ένας μικρός θαυματουργός θάμνος που βοηθάει όσους ανθρώπους έχουν ανάγκη.»

-«Αλήθεια;», ρωτάει ο αγαθός χωρικός με λαχτάρα. «Και πως τους βοηθάει; Τους θεραπεύει από ασθένειες;»

-«Όχι ακριβώς. Διπλασιάζει τα χρήματά τους. Κρύβεις το πορτοφόλι σου μέσα στο θάμνο, μετράς έως το 100, και – ώ του θαύματος – τα χρήματα που βρίσκονται μέσα στο πορτοφόλι διπλασιάζονται. Είναι πραγματικά ένας θαυματουργός θάμνος.»

-«Μπορώ να δοκιμάσω κι’ εγώ;», ρωτάει με λαχτάρα ο αγαθός χωρικός.

-«Βεβαίως.», του απαντάει ο γέρος. «Πρέπει όμως να πληρώσεις πρώτα.»

-«Ποιον να πληρώσω και πόσα;», ρωτάει ο αγαθός χωρικός.

-«Τον άνθρωπο που θα σε οδηγήσει στο θάμνο. Δηλαδή εμένα. Όσο για το πόσα

θα πληρώσεις, αυτό είναι ένα άλλο ζήτημα.»

Μετά από πολλές διαπραγματεύσεις κατέληξαν να πληρώνει ο χωρικός τον γέρο 1,20 δρχ. μετά από κάθε διπλασιασμό των χρημάτων.

Μετά από πορεία αρκετών ωρών ο γέρος οδήγησε τον χωρικό στον θαυματουργό θάμνο.Ο γέρος πήρε το πορτοφόλι του χωρικού και το τοποθέτησε μέσα στο θάμνο.Αφού ο χωρικός μέτρησε έως το 100 , ο γέρος πήρε το πορτοφόλι από το θάμνο και  το επέστρεψε στο χωρικό. Εκείνος το άνοιξε και να! Τα χρήματα είχαν πράγματι  διπλασιασθεί. Μετά από το απροσδόκητο αυτό γεγονός ο χωρικός πλήρωσε στο γέρο την αμοιβή που
είχαν συμφωνήσει, 1,20 δρχ.Η διαδικασία αυτή επαναλήφθηκε άλλες δύο φορές πληρώνοντας ο χωρικός στον γέρο από 1,20 δρχ. τη φορά. Μετά την τρίτη πληρωμή το πορτοφόλι του χωρικού άδειασε από τα χρήματα που είχε κατά την διαδικασία του διπλασιασμού. Ο χωρικός μη μπορώντας να διπλασιάσει εκ νέου τα χρήματά του πήρε το δρόμο της επιστροφής για το σπίτι του αμίλητος και σκυθρωπός, αναλογιζόμενος την ατυχία του και την ανοησία του να πιστέψει ότι μπορούσε  να κερδίσει εύκολα χρήματα.

Μπορείτε να βρείτε πόσα χρήματα είχε στην αρχή μέσα στο πορτοφόλι του ο χωρικός; (Κατ.34/Νο.345)

Διαβάστε περισσότερα »

Οι Διψήφιοι Αριθμοί

Να βρείτε όλους τους διψήφιους αριθμούς, ώστε το γινόμενο του διψήφιου αριθμού με το άθροισμα των ψηφίων του διψήφιου αριθμόυ ν’ αποτελεί δύναμη φυσικού αριθμού.(Κατ.34/Νο.762)

Πηγή:Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Επαρχιακός Μαθηματικός Διαγωνισμός (Νοέμβριος 2013)

Διαβάστε περισσότερα »

Η Χοροεσπερίδα

Ο αριθμός των ατόμων που χόρεψαν σε μία χοροεσπερίδα με περιττό πλήθος ατόμων, είναι άρτιος ή περιττός αριθμός; (Κατ.34/Νο.761)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_8779.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω Α ο αριθμός όλων των χορών, που χόρεψαν όλοι. Έστω ν οι χορευτές και {α1,α2,α3,...,αν} οι χοροί των ν χορευτών. α)Το Α είναι άρτιος αριθμός, καθώς σε κάθε χορό συμμετέχουν 2 χορευτές. β)α1+α2+α3+..+αν=Α(=άρτιος αριθμός). Επειδή οι α1,α2,α3,...,αν είναι όλοι περιττοί αριθμοί, για να έχουν άρτιο άθροισμα πρέπει το πλήθος τους να είναι άρτιο, άρα ν (=πλήθος χορευτών) άρτιος αριθμός.

Η Τιμή

Ένα βιβλίο μαθηματικών κυκλοφορεί σε 2 τόμους «Α» και «Β». Εκατό αντίτυπα του τόμου «Α» και 120 αντίτυπα του τόμου «Β» κοστίζουν συνολικά 4.000 ευρώ. Ένα βιβλιοπωλείο πούλησε 50 αντίτυπα του τόμου «Α» με έκπτωση 10% και 60 αντίτυπα του τόμου «Β» με έκπτωση 20% και εισέπραξε συνολικά 1680 ευρώ. Να προσδιορίσετε την τιμή πώλησης του ενός βιβλίου από κάθε τόμο. (Κατ.34/Νο.758)

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0B9uh0VymSVrpeXpsaVdNdjRGVlE/view

Λύση

Η τιμή πώλησης του τόμου «Α» ήταν 16€ και η τιμή πώλησης του τόμου «Β» ήταν 20€. Έστω «x» η τιμή πώλησης του τόμου «Α» και «y» η τιμή πώλησης του τόμου «Β». Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος προκύπτουν οι εξής δύο εξισώσεις προς επίλυση: 100x+120y=4.000 (1)και 50x-(50x*10/100)+60y-(60y*20/100)=1.680 (2) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της (1) με τον αριθμό 20 κι’ έχουμε: 100x+120y=4.000 ---> 100x/20+120y/20=4.000/20 ---> 5x+6y=200 (3) Από την (2) συνάγουμε ότι: 50x-(50x*10/100)+60y-(60y*20/100)=1.680 ---> 50x-5x+60y-12y=1.680 ---> 45x+48y=1.680 (4) Προσθέτουμε κατά μέλη τις (3) και (4) κι’ έχουμε: 5x+6y=200 και 45x+48y=1.680 50x+54y=1.880 ---> 50x=1.880-54y ---> x=(1.880-54y)/50 (5) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός 20 Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στη (5) κι’ έχουμε: x=(1.880-54y)/50 ---> x=(1.880-54*20)/50 ---> x=(1.880-1.080)/50 ---> x=800/50 ---> x=16 Επαλήθευση: 100x+120y=4.000 ---> (100*16)+(120*20)=4.000 ---> 1.600+2.400=4.000 50x-(50x*10/100)+60y-(60y*20/100)=1.680 ---> [(50*16)-(50*16*0,1)+(60*20)-(60*20*0,2)=1.680 ---> [800-(800*0,1)+1.200-(1.200*0,2)]=1.680 ---> 800-80+1.200-240=1.680 ---> 720+960=1.680 ο.ε.δ.

Η Αγορά

Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο παλαιά ραδιόφωνα «Α» κα «Β» αντί 200 ευρώ και στη συνέχεια τα πούλησε με συνολικό κέρδος 40% πάνω στην τιμή της αγοράς τους. Αν το ραδιόφωνο «Α» πουλήθηκε με κέρδος 25% και το ραδιόφωνο «Β» πουλήθηκε με κέρδος 50%, πάνω στην τιμή της αγοράς τους. Να βρείτε πόσο πλήρωσε ο έμπορος για να αγοράσει το καθένα από τα ραδιόφωνα «Α» και «Β».(Κατ.34/Νο.754)
Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0B9uh0VymSVrpeXpsaVdNdjRGVlE/view

Λύση

Ο έμπορος για ν’ αγοράσει το ραδιόφωνο «Α» πλήρωσε 80€ και για ν’ αγοράσει το ραδιόφωνο «Β» πλήρωσε 120€. Έστω ότι ο έμπορος αγόρασε «x»€ το ραδιόφωνο «Α». Τότε η τιμή αγοράς του ραδιόφωνου «Β» ήταν (200-x)€. Το ραδιόφωνο «Α» πουλήθηκε: x+(25x)/100=(100x+25x)/100=[(125x)/100]€ Ενώ το ραδιόφωνο «Β» πουλήθηκε: [(200-x)*150/100]€. Συνολικά τα δύο ραδιόφωνα πουλήθηκαν: 200*140/100=2*140= 280€ Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτει η εξίσωση (125x)/100+(200-x)*150/100=200*140/100 ---> 1,25x+(200-x)*1,50=2*140 ---> 1,25x+300-1,50x=280 ---> -0,25x=-300+280 ---> -0,25x= -20 ---> x= -20/-0,25 ---> x=80€ Άρα ο έμπορος αγόρασε 80€ το ραδιόφωνο «Α». Και το ραδιόφωνο «Β» το αγόρασε: 200-80 =120€