Η Μικρότερη Τιμή

Έστω ότι Α^4=75.600*Β. Εάν οι αριθμοί «Α» και «Β» είναι θετικοί ακέριοι, να βρείτε τη μικρότερη τιμή του «Β». (Κατ.34)

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/Pagkiprios%202013/Pagkiprios%20A%20Gimnasiou%202013%20Liseis.pdf

Λύση

Λύση του Νίκου Λέντζου.
Η μικρότερη τιμή του «Β» είναι 25.725. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: Α^4=75.600*Β (1)
Αναλύω τον αριθμό 75.600 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: 75.600= 2^4 * 3^3 * 5^2 * 7 και έχω: Α^4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 * 7 * Β Επειδή το πρώτο μέλος είναι τέταρτη δύναμη ακεραίου οφείλει και το δεύτερο μέλος να είναι τέταρτη δύναμη ακεραίου, δηλ. Β= 3* 5^2 * 7^3 * κ^4, όπου κ θετικός ακέραιος. Αλλά ο Β πρέπει να είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος οπότε κ=1. Έτσι Α^4 = (2^4 * 3^3 * 5^2 * 7) * (3* 5^2 * 7^3) ή Α^4 = (2 * 3 * 5 * 7)^4 οπότε Α = 2 * 3 * 5 * 7=210 και Β = 3* 5^2 * 7^3 = 25.715
(Επαλήθευση:
210^4=1.944.810.000
75.600*25.715=1.944.810.000)
Λύση του Ευθύμη Αλεξίου.
75.600=2^4*3^3*5^2*7^1, οπότε Β=3^(4-3)*5^(4-2)*7^(4-1)=3*5^2*7^3=25.725 και Α^4=75600*25725=210^4 -> A=210=2*3*5*7

Το Παγωτό

Όταν έφτασε στο σχολείο ο Δημήτρης, η πρώτη ώρα είχε αρχίσει ήδη πριν από 35 λεπτά. Έτσι, αποφάσισε να πάει μέχρι το κοντινότερο ζαχαροπλαστείο και να αγοράσει ένα παγωτό. Δυστυχώς, όταν επέστρεψε, είχε αρχίσει και η δεύτερη ώρα. Αμέσως έτρεξε να αγοράσει ένα ακόμη παγωτό, κάνοντας την ίδια ώρα ακριβώς όπως προηγουμένως. Όταν επέστρεψε τη δεύτερη φορά, διαπίστωσε ότι έμεναν ακόμα 50 λεπτά για να αρχίσει η τέταρτη ώρα. Εάν κάθε ώρα μαθήματος (μαζί με το διάλειμμα που την ακολουθεί) διαρκεί 55 λεπτά, έχει αρκετή ώρα για να πάει ν’ αγοράσει και να φάει ένα τρίτο παγωτό; (Κατ.34)

Πηγή:?

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.

Fast Food

Ένα εστιατόριο fast food πουλάει τρία είδη:

Πίτες, τηγανιτές πατάτες και εμφιαλωμένο νερό.

Η τιμή ενός προϊόντος δεν αλλάζει, είναι ανεξάρτητη από την ποσότητα που αγοράστηκε.
Αγοράζοντας μια πίτα, μια σακούλα τηγανιτές πατάτες και ένα εμφιαλωμένο νερό πληρώνετε 6 ευρώ.

Με 9.50 ευρώ μπορείτε να αγοράσετε δύο πίτες, μια σακούλα τηγανιτές πατάτες και ένα εμφιαλωμένο νερό.

Μια πίτα και το εμφιαλωμένο νερό μπορεί να αγοραστεί με 4,70 ευρώ.

Ο Νίκος αγοράζει τρεις πίτες, δύο σακούλες τηγανιτές πατάτες και ένα εμφιαλωμένο νερό. 

Πόσο θα πληρώσει; (Κατ.34) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2015/08/fast-food.html

Λύση

Ο Νίκος θα πληρώσει γι' αυτά που αγόρασε 14,30€. Έστω "α" οι πίτες, "β" οι τηγανιτές πατάτες και "γ" το εμφιλωμένο νερό. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ=6 (1)
2α+β+γ=9,50 (2)
α+γ=4,70 (3)
3α+2β+γ=? (4)
Αντικαθιστούμε την (3) στην (1) κι' έχουμε:
α+β+γ=6 ---> β+4,70=6 ---> β=6-4,70 β=1,30 (5)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
α+γ=4,70 ---> α=4,70-γ (6)
Αντικαθιστούμε τις (5) και (6) στη (2) κι' έχουμε:
2α+β+γ=9,50 ---> 2*(4,70-γ)+1,30+γ=9,50 ---> 9,40-2γ+1,30+γ=9,50 ---> 10,70-γ=9,50 ---> -γ=9,50-10,70 ---> -γ= -1,20 ---> γ=1,20 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στην (6) κι' έχουμε:
α=4,70-γ ---> α=4,70-1,20 ---> α=3,50 (8)
Επαλήθευση:
α)α+β+γ=6€ ---> 3,50+1,30+1,20=6€
β)2α+β+γ=9,50€ ---> 2*3,50+1,30+1,20=9,50=7+2,50=9,50€
γ)α+γ=4,70€ ---> 3,50+1,20=4,70€
δ)3α+2β+γ=?€ ---> 3*3,50+2*1,30+1,20=? ---> 10,50+2,60+1,20=14,30€ ο.ε.δ.

Ο Όρος

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της κατωτέρω ακολουθίας των αθροισμάτων;

 (-5+6),(2+6),(21+6),(58+6),(119+6),(?+?)

(Κατ.2)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2016/02/blog-post_3.html

Λύση

Ο επόμενος όρος του αθροίσματος είναι ο (210+6). Ο κάθε όρος του αθροίσματος της ακολουθίας αποτελεί τον κύβο των φυσικών θετικών αριθμών 2, 3, 4, 5, και 6.
(2+6) ---> 8 ---> 2^3
(21+6) ---> 27 ---> 3^3
(58+6) ---> 64 ---> 4^3
(119+6) ---> 125 ---> 5^3
(?+?) ---> (210+6) ---> 216 ---> 6^3
Να προσθέσω και έναν όρο ακόμα, για να έχουμε πλήρη την σειρά των φυσικών αριθμών:
(-5+6) ---> 1 ---> 1^3

Ο Αριθμός

Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος με τον οποίο είτε πολλαπλασιάσουμε, είτε διαιρέσουμε το 2.016, να προκύπτει ως αποτέλεσμα τέλειο τετράγωνο. (Κατ.34)

Πηγή: 76^ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  «Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ» (2/Β΄ Γυμνασίου)

Λύση

Μετατρέπουμε τον αριθμό 2.016 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:
2.016=(2^5)*(3^2)*7
Για να προκύψει τέλειο τετράγωνο, θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε τον αριθμό 2.016 μ’ έναν αριθμό που να έχει ως παράγοντες τους αριθμούς 2 και 7 με περιττό εκθέτη και ο μικρότερος αριθμός από το γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι ο (2*7=14).Οπότε έχουμε:
2.016*14=[(2^3)*3*7]^2=(8*3*7)^2=168^2=28.224
2.016/14= [(2^2)*3]^2=(4*3)^2=12^2=144

Οι Μπλούζες

Στη ντουλάπα μου όλες οι μπλούζες μου εκτός από πέντε είναι κόκκινες, όλες οι μπλούζες μου εκτός από τέσσερις είναι μαύρες, όλες οι μπλούζες μου εκτός από πέντε είναι πράσινες, όλες οι μπλούζες μου εκτός από πέντε είναι μπλε και όλες οι μπλούζες μου εκτός από πέντε είναι άσπρες. Πόσες μπλούζες έχω συνολικά στην ντουλάπα μου; (Κατ.34)

Πηγή:http://www.grifoi.gr/blouzes-ble/

Λύση

Στην ντουλάπα μου έχω 6 μπλούζες. Με την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν μπλούζες άλλου χρώματος, ας ονομάσουμε «x» όλες τις μπλούζες, «Κ» τις κόκκινες, «Μ» τις μαύρες, «Π» τις πράσινες «Μπ» τις μπλε και «Α» τις άσπρες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Κ+Μ+Π+Μπ+Α=Χ (1)
Χ-5=Κ (2)
Χ-4=Μ (3)
Χ-5=Π (4)
Χ-5=Μπ (5)
Χ-5=Α (6)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις (από 2 έως 6) κι’ έχουμε:
5Χ-24= Κ+Μ+Π+Μπ+Α (7)
Αντικαθιστούμε το δεύτερο μέλος της εξίσωσης (7) με την εξίσωση (1) κι’ έχουμε:
5Χ-24= Κ+Μ+Π+Μπ+Α ---> 5Χ-24=Χ ---> 5Χ-Χ=24 ---> 4Χ=24 ---> Χ=24/4 ---> Χ=6
Επαλήθευση:
5x-24= Κ+Μ+Π+Μπ+Α=x ---> 5x-24=x ---> 5*6-24=6 ---> 30-24=6
Λύση του Ευθύμη Αλεξίου.
Αν "x" οι κόκκινες μπλούζες, τότε και οι πράσινες και οι μπλε και οι άσπρες θα είναι "x" και οι μαύρες θα είναι (x+1), άρα όλες οι μπλούζες είναι (5x+1) και αφού όλες οι μπλούζες μου εκτός από πέντε είναι κόκκινες (φτάνει μία εξίσωση αφού όλες είναι ισοδύναμες) έχουμε:
5x+1-5=x → x=1 → συνολικά είναι 5*1+1=6 μπλούζες.

Ο Αριθμός

 

Να βρείτε τον εξαψήφιο αριθμό (Α = 3xy97z), εάν γνωρίζετε ότι ο αριθμός «Α» διαιρείται με τον αριθμό 2.475. (Κατ.34)

Πηγή:ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2014 (Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ)

Λύση

Λύση του Νίκου Λέντζου (Μαθηματικού)
Αν Α είναι ο αριθμός που ζητείται τότε:
301950 = 122*2475 = < Α < = 161*2475 = 398475
Βάζοντας όλα τα πολ/σια του 2.475 από το 122 έως 161 και υπολογίζοντάς τα σε ένα exel έχω:
2,475 * 122 = 301,950
2,475 * 123 = 304,425
2,475 * 124 = 306,900
2,475 * 125 = 309,375
2,475 * 126 = 311,850
2,475 * 127 = 314,325
2,475 * 128 = 316,800
2,475 * 129 = 319,275
2,475 * 130 = 321,750
2,475 * 131 = 324,225
2,475 * 132 = 326,700
2,475 * 133 = 329,175
2,475 * 134 = 331,650
2,475 * 135 = 334,125
2,475 * 136 = 336,600
2,475 * 137 = 339,075
2,475 * 138 = 341,550
2,475 * 139 = 344,025
2,475 * 140 = 346,500
2,475 * 141 = 348,975
2,475 * 142 = 351,450
2,475 * 143 = 353,925
2,475 * 144 = 356,400
2,475 * 145 = 358,875
2,475 * 146 = 361,350
2,475 * 147 = 363,825
2,475 * 148 = 366,300
2,475 * 149 = 368,775
2,475 * 150 = 371,250
2,475 * 151 = 373,725
2,475 * 152 = 376,200
2,475 * 153 = 378,675
2,475 * 154 = 381,150
2,475 * 155 = 383,625
2,475 * 156 = 386,100
2,475 * 157 = 388,575
2,475 * 158 = 391,050
2,475 * 159 = 393,525
2,475 * 160 = 396,000
2,475 * 161 = 398,475
που με έναν έλεγχο βλέπω ότι το μόνο πολ/σιο που πληρεί τις προϋποθέσεις είναι:
2,475 * 141 = 348,975
που είναι και ο ζητούμενος αριθμός.