Rebus No.218 (5)

Λύση

Δράμα* [Δ(Πηνελόπη Δέλτα**)ραμα***] *Η Δράμα είναι η πρωτεύουσα του ομώνυμου νομού της ανατολικής Μακεδονίας. Πρόκειται για πόλη με μακραίωνη ιστορία, καθώς η περιοχή της κατοικήθηκε ήδη από τους προϊστορικούς χρόνους. Η ετυμολογία της λέξης προέρχεται από το «Υδράμα»-«Δύραμα» λόγω της αφθονίας των νερών που αναβλύζουν στην περιοχή. *Δράμα: Ετυμολογικά προέρχεται από το ρήμα δράω-ω, επομένως σημαίνει το είδος της ποίησης που συνοδεύεται από αναπαράσταση των πράξεων που περιγράφει (σε αντιδιαστολή με το έπος και τη λυρική ποίηση). Το δράμα είναι δημιούργημα του ελληνικού πνεύματος. Γεννήθηκε και αναπτύχθηκε στην Αττική από τις γιορτές που γίνονταν προς τιμήν του θεού Διονύσου, οι οποίες πρόσφεραν σ' αυτό πολλά δραματικά στοιχεία (τα δρώμενα). Ξεκίνησε από το αρχικό άσμα, το διθύραμβο, που τραγουδούσαν κατά τη λατρεία του θεού Διονύσου και το συνόδευαν με αυλό και ορχηστρικές ή μιμητικές κινήσεις. Το διθύραμβο, που αρχικά δεν είχε ρυθμό, τον κατέστησε τεχνικό ο ποιητής Αρίωνας ο Μηθυμναίος. Μετά την τελειοποίησή του από τον Λάσο τον Ερμιονέα, ο φιλόμουσος τύραννος των Αθηνών Πεισίστρατος τον εισήγαγε στις μεγαλόπρεπες εορτές που ο ίδιος καθιέρωσε, στα Μεγάλα Διονύσια. Τα είδη του δράματος είναι τρία: Η κωμωδία Η τραγωδία Το σατυρικό δράμα Στην αρχαιότητα υπήρχαν επίσης δραματικοί αγώνες, στους οποίους λάμβαναν μέρος διάφοροι συγγραφείς. Ίσως οι σπουδαιότεροι τέτοιοι αγώνες να ήταν αυτοί που γίνονταν στα Μεγάλα Διονύσια. **Η Πηνελόπη Δέλτα, (Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου 1874 - Αθήνα 1941) ήταν Ελληνίδα συγγραφέας, γνωστή κυρίως από τα ιστορικά της μυθιστορήματα για παιδιά, η σημαντικότερη ίσως γυναικεία φυσιογνωμία στις κρίσιμες για τον Ελληνισμό πρώτες δεκαετίες του 20ου αι. Τρίτο παιδί του Εμμανουήλ Μπενάκη και της Βιργινίας Χωρέμη. Είχε δύο μεγαλύτερα αδέλφια, την Αλεξάνδρα και τον Αντώνη, τον γνωστό «Τρελαντώνη» του ομώνυμου βιβλίου της. Μετά τη γέννηση της Πηνελόπης ακολούθησαν άλλα τρία παιδιά, ο Κωνσταντίνος (που πέθανε σε ηλικία 2 χρόνων), ο Αλέξανδρος και η Αργίνη. Η οικογένεια Μπενάκη μετακόμησε προσωρινά στην Αθήνα το 1882, όπου η Πηνελόπη παντρεύτηκε τον πλούσιο Φαναριώτη έμπορο Στέφανο Δέλτα το 1895. Μαζί του απέκτησε τρεις κόρες: τη Σοφία (μετέπειτα Μαυροκορδάτου), τη Βιργινία (μετέπειτα Ζάννα) και την Αλεξάνδρα (μετέπειτα Παπαδοπούλου). Επέστρεψαν στην Αλεξάνδρεια το 1905, όπου η Πηνελόπη γνώρισε τον Ίωνα Δραγούμη, τότε υποπρόξενο της Ελλάδας στην Αλεξάνδρεια. Ανάμεσά τους αναπτύχθηκε ένας μεγάλος έρωτας, η Πηνελόπη όμως δεν μπορεί να αντιταχθεί στις κοινωνικές επιταγές και την υποχρέωσή της απέναντι στο σύζυγο και τα παιδιά της. Η πλατωνική αυτή σχέση της Πηνελόπης Δέλτα με τον Δραγούμη τελειώνει το 1908, όταν αυτός συνδέεται με τη Μαρίκα Κοτοπούλη. Το 1910 εγκαινιάστηκε η μακρόχρονη αλληλογραφία της Δέλτα με το Γάλλο βυζαντινολόγο Γκυστάβ Σλυμπερζέ, που την βοηθά στη συγγραφή των μυθιστορημάτων της τα σχετικά με τη βυζαντινή ιστορία. Η Δέλτα που είχε μετακόμισει στη Φρανκφούρτη το 1906 εκδίδει το πρώτο της μυθιστόρημα, με τίτλο «Για την Πατρίδα», 1909. Το μυθιστόρημα εκτυλίσσεται κατά τη διάρκεια της Βυζαντινής Αυτοκρατορίας και σύντομα ακολουθεί και το δεύτερο μυθιστόρημά της, «Τον Καιρό του Βουλγαροκτόνου». Το στρατιωτικό κίνημα στου Γουδή το 1909 την εμπνέει να γράψει το «Παραμύθι χωρίς όνομα» (1911). Το 1913 η οικογένεια Δέλτα επιστρέφει στην Αλεξάνδρεια και το 1916 εγκαταστάθηκαν μόνιμα στην Αθήνα, όπου ο πατέρας της Δέλτα, Εμμανουήλ Μπενάκης, είχε εκλεγεί δήμαρχος. Ανέπτυξαν στενή φιλία με τον Ελευθέριο Βενιζέλο, τον οποίο και προσκαλούσαν συχνά στην εξοχική τους οικία στην Κηφισιά. Το 1925 εκδίδεται «Η ζωή του Χριστού», ενώ την ίδια χρονιά εμφανίζονται τα πρώτα συμπτώματα της Σκλήρυνσης κατά πλάκας, ασθένειας που θα την ταλαιπωρήσει μέχρι τον θάνατό της. Το 1929 ξεκίνησε τη συγγραφή της τριλογίας «Ρωμιοπούλες», η οποία τελείωσε το 1939 και είναι ένα αυτοβιογραφικό μυθιστόρημα το οποίο αφηγείται σε τρεις τόμους τη ζωή της Δέσποινας Κρινά-Δαπέργολα, μιας δραστήριας γυναίκας που η κοινωνία της εποχής της την περιόριζε σε ένα χρυσό κλουβί. Το πρώτο βιβλίο, «Το Ξύπνημα», καλύπτει γεγονότα των ετών 1895-1907, η «Λάβρα» καλύπτει τα έτη 1907-1909 και το «Σούρουπο» τα έτη 1914-1920. Εν τω μεταξύ, εκδόθηκαν άλλα τρία μυθιστορήματά της: ο «Τρελαντώνης» (1932), όπου περιγράφει τις περιπέτειες του αδερφού της, όταν όλα τα αδέρφια ήρθαν από την Αίγυπτο να περάσουν το καλοκαίρι με τη θεία τους (σε ένα σπίτι του Τσίλερ) στον Πειραιά, ο «Μάγκας» (1935), η ζωή στην Αλεξάνδρεια με τα μάτια του μικρού σκυλιού της οικογένειας, και τα «Μυστικά του Βάλτου» (1937), όπου η ιστορία εκτυλίσσεται γύρω από τη λίμνη των Γιαννιτσών κατά τη διάρκεια του Μακεδονικού Αγώνα. Το 1941 ο Φίλιππος Δραγούμης εμπιστεύεται στη Δέλτα τα ημερολόγια και το αρχείο του αδερφού του, Ίωνα Δραγούμη, στα οποία η Δέλτα πρόσθεσε περίπου 1000 χειρόγραφες σελίδες με σχόλια για το έργο του Δραγούμη. Στις 27 Απριλίου 1941, ημέρα κατά την οποία τα γερμανικά στρατεύματα καταλαμβάνουν την Αθήνα, η Πηνελόπη Δέλτα προσπαθεί να αυτοκτονήσει παίρνοντας δηλητήριο και τελικά φεύγει από τη ζωή πέντε ημέρες αργότερα, στις 2 Μαΐου 1941, ενώ είχαν ήδη προηγηθεί άλλες δύο απόπειρες αυτοκτονίας στο παρελθόν. Στον τάφο της, στον κήπο του σπιτιού της, χαράχτηκε η λέξη ΣIΩΠH. Το 2012 κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Τετράγωνο η βιογραφία της, από την Μίτση Πικραμένου, με τίτλο "Η κυρία με μαύρα". Το 2014 εκδόθηκε το τελευταίο της ανέκδοτο έργο ¨Ρωμιοπούλες¨ από τις εκδόσεις Ερμής, το οποίο παρέμενε ανέκδοτο εδώ και 75 χρόνια. Κυκλοφόρησε με επιμέλεια του δισέγγονού της Αλέκου Π Ζάννα. ***Ράμα, ημίθεος μυθικού ήρωα της Ινδίας, που αποτελεί την 7η ενσάρκωση του θεού Βισνού.

Η Αναρρίχηση

Ένα μυρμήγκι θέλει ν’ αναίβει ένα λόφο ύψους 20μέτρων και να κατέβει από την άλλη πλευρά. Την ημέρα ανεβαίνει 3μέτρα και το βράδυ που κοιμάται οπισθοχωρεί 2μέτρα. Πόσες ημέρες θα χρειαστεί ν΄αναίβει και να κατέβει; (Κατ.34/Νο.711)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=356

Λύση

Για ν' αναίβει και να κατέβει το λόφο θα χρειασθεί 20 ημέρες.Το πρωϊ της 21ης ημέρας θα βρίσκεται στο έδαφος από την άλλη πλευρά του λόφου. Τη 18η ημέρας έχει διανύσει 17μ και άρα στο τέλος της ανεβαίνει 3μ ακόμη και βρίσκεται στη κορυφή… Κοιμάται τη νύχτα, άρα κατεβαίνει 2μ... και έρχεται το επόμενο πρωί, 19η ημέρα… Εδώ πρέπει να λάβουμε υπ’ όψιν μας ότι όταν ανεβαίνει έχει επιβράδυνση 2μ./μέρα. Αν δεν την είχε θα ανέβαινε 5μ./μέρα… Τώρα όχι απλά δεν την έχει αλλά την έχει σαν επιτάχυνση! Άρα σύνολο τη μέρα θα κατεβαίνει 7μ (και άλλα 2μ τη νύχτα σύνολο 9μ)! Επομένως τα ξημερώματα της 19ης μέρας θα απέχει 18μ. από το έδαφος. Τα ξημερώματα της 20ης μέρας θα απέχει 9μ. από το έδαφος. Τα ξημερώματα της 21ης μέρας θα βρίσκεται στο έδαφος από την άλλη πλευρά του λόφου!

Rebus No.217 (4)

Λύση

Ραμά* [Ρα(Το μάτι του θεού Ρα)μα**] *Η Ραμά είναι βιβλική πόλη που βρίσκεται στα βόρεια της Ιερουσαλήμ, όπου βρισκόταν και ο τάφος της Ραχήλ. Η πόλη αυτή αναφέρεται τόσο από τη Παλαιά Διαθήκη όσο και από τη Καινή Διαθήκη σε συσχέτιση με τη Δεβόρρα, την ιστορία του Λευίτη, τις οχυρώσεις των Βασιλέων Βαασά και Ασά και την απελευθέρωση του Ιερεμία. (Ματθαίος 2:18, Κριτές 4:15 και 19:13, Α' Βασιλέων 15:17, 22, και Ιερεμίας 40:1). **Ο Μα Γινγκ-Τζέου ή ακριβέστερα Μα Ιν-Τζιόου (Ma Ying-jeou, 13 Ιουλίου 1950 - ...) είναι Ταϊβανέζος πολιτικός. Εξελέγη για πρώτη φορά πρόεδρος το Μάρτιο του 2008 ενώ επανεξελέγη το 2012. Παλαιότερα, διετέλεσε Δήμαρχος της Ταϊπέι, Υπουργός Δικαιοσύνης και αρχηγός του κόμματος Κουομιντάν (KMT), από το 2005 ως το 2007. Γεννήθηκε στο Χονγκ-Κονγκ στις 13 Ιουλίου του 1950 και οι γονείς του εγκαταστάθηκαν στην Ταϊβάν όταν εκείνος ήταν μόλις ενός έτους. Σπούδασε Νομικά στο Εθνικό Πανεπιστήμιο της Ταϊβάν και πήρε το πτυχίο του το 1972. Έκανε επιπλέον σπουδές στις ΗΠΑ. Επέστρεψε στη Δημοκρατία της Κίνας το 1981 για να διδάξει νομικά. Από το γάμο του απέκτησε δύο κόρες.

Το Δίλλημα

Στην αρχαία Ρώμη είναι γνωστό ότι τους αιχμαλώτους πολέμου τους χρησιμοπούσαν για δούλους, για τα λατομεία, για μονομάχους στις αρένες, π.χ. Κολοσσαίο  αφού τους εκπαιδεύανε σε ειδικές σχολές,  είτε μεταξύ τους, είτε με λιοντάρια, για τη ψυχαγωγία τους, ή τους πωλούσαν για σκλάβους. Επίσης, δεν γνωρίζουμε κατά πόσο αληθεύει, αλλά τη μέθοδο αυτή τη χρησιμοποιούσαν για τους στρατιώτες με κάποια παραλλαγή, υπήρχε και η κατωτέρω ψυχαγωγία:
Tοποθετούσαν τους σκλάβους σε ένα μεγάλο κύκλο και έδιναν στον πρώτο ένα μαχαίρι.. Αυτός έπρεπε να σκοτώσει τον διπλανό του και να δώσει το μαχαίρι στον επόμενο. Ο επόμενος θα έκανε το ίδιο και η διαδικασία συνεχιζόταν μέχρι να μείνει μόνο ένας ζωντανός.. Εάν οι σκλάβοι είναι 1.000, ο Lucolus Decius ποια θέση πρέπει να καταλάβει για να είναι ο μοναδικός επιζών; (Κατ. 27/Νο.391)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=138

Λύση

Ο Lucolus Decius για να είναι ο μοναδικός επιζών πρέπει να καταλάβει την 977η θέση. Ας δούμε το παιχνίδι σε γύρους αριθμώντας τους συμμετέχοντες σκλάβοθς από το 1-1.000 Στον 1ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 1 και σκοτώνει όλους εκτός από τους (1+2κ), το μαχαίρι καταλήγει σε αυτόν και μένουν 500 σκλάβοι. Στον 2ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 1 και σκοτώνει όλους εκτός από τους (1+4κ), το μαχαίρι καταλήγει σε αυτόν και μένουν 250 σκλάβοι. (σκεφτείτε το γιατί γίνεται αυτό!) Στον 3ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 1 και σκοτώνει όλους εκτός από τους (1+8κ), το μαχαίρι καταλήγει σε αυτόν και μένουν 125 σκλάβους. Στον 4ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 1 και σκοτώνει όλους εκτός από τους (1+16κ), το μαχαίρι καταλήγει στον 1+16=17ο και μένουν 62 σκλάβοι. Στον 5ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 17ος και σκοτώνει όλους εκτός από τους (17+32κ), το μαχαίρι καταλήγει στον ίδιο και μένουν 31 σκλάβοι. Στον 6ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 17ος και σκοτώνει όλους εκτός από τους (17+64κ), το μαχαίρι καταλήγει στον 17+64=81ο και μένουν 15 σκλάβοι. Στον 7ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 81ος και σκοτώνει όλους εκτός από τους (81+128κ), το μαχαίρι καταλήγει στον 81+128=209ο και μένουν 7 σκλάβοι. Στον 8ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 209ος και σκοτώνει όλους εκτός από τους (209+256κ), το μαχαίρι καταλήγει στον 209+256=465ο και μένουν 3 σκλάβοι. Στον 9ο γύρο ξεκινά με το μαχαίρι ο 465ος και σκοτώνει όλους εκτός από τους (465+512κ), το μαχαίρι καταλήγει στον 977ο και έχει μείνει μόνο αυτός!!! Η λογική λέει ότι για ζυγό αριθμό το μαχαίρι καταλήγει στον αρχικό, ενώ για περιττό αριθμό στον επόμενό του που είναι ζωντανός. Διευκρίνιση: Ένα πολύ γνωστό πρόβλημα που ανάγεται στην ρωμαϊκή περίοδό. Ο Ιώσηπος Φλάβιος (Titus Flavius Iosephus) πιθανότατα εμπνεύστηκε αυτό το γρίφο από την τιμωρία του ρωμαϊκού αποδεκατισμου. Όταν ο άνδρες μιας κοόρτις (στρατιωτική μονάδα του Ρωμαικού στρατού σε επίπεδο τάγματος ) σε μια μάχη έδειχναν απροθυμία να πολεμήσουν ή δειλία, τότε τους τιμωρούσαν με αποδεκατισμό . Οι άνδρες της κοόρτις χωρίζονταν σε δεκάδες και από κάθε δεκάδα με κλήρωση θανατωνόταν φρικτά ένας στρατιώτης με ρόπαλα. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Τέτοιου τύπου αλγοριθμικά προβλήματα καλούνται στη γενική μορφή τους "Πρόβλημα του Ιώσηπου". Από τον εβραιορωμαίο λόγιο Ιώσηπο Φλάβιο,που αναφέρει μια παραλλαγή. Κάθε δύναμη του 2 αφήνει νικητή τον πρώτο (αυτόν που ξεκινάει τον κύκλο του θανάτου). Γενικά: 2*(1.000-2^(floor(log2(1.000)))+1=977 Η θέση 977 επιζεί... Σημείωση: Το floor(log2(1.000)) είναι το ακέραιο μέρος του λογαρίθμου βάσης 2 του 1.000. (=9) Διευκρίνιση: Ο μοναδικός επιζών πρέπει να πάρει την αμέσως προηγούμενη θέση: [1+(2*1.000)-2^10]=1+2.000-1.024=2.001-1.024=977 Ένα άλλο τρικ που λύνει το πρόβλημα για τυχαίο πλήθος ν και βήμα 2,είναι η μετατροπή του ν σε δυαδικό αριθμό: ν=1.000(10) --->1111101000(2) Μετάθεση του πρώτου αριστερά άσσου στα δεξιά 1111101000(2) ---->1111010001(2) ,δυαδικός αριθμός που στο δεκαδικό είναι: 1111010001(2) =997(10).

Rebus No.216 (10)

Λύση

Πραγματεία [Πραγ(+μ)α*τεια(Tia Carrere**)] *Πράγα, πρωτεύουσα της Τσεχίας. **Καλλιτεχνικό όνομα της Althea Rae Duhinio Janairo (Honolulu, 2 gennaio 1967), είναι ηθοποιός, μοντέλο και τραγουδίστρια.

Ο Ελάχιστος Αριθμός

Έχετε στη διάθεσή σας τρεις κανονικές τράπουλες. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός φύλλων που πρέπει να τραβήξετε προκειμένου να είστε 100% σίγουροι ότι έχετε στα χέρια σας τουλάχιστον μία τετράδα; (4 άσσοι, 4 ντάμες κλπ); (Κατ.33/Νο.36)

Πηγή:?

Λύση

Ο ελάχιστος αριθμός φύλλων που πρέπει να τραβήξουμε είναι 40 φύλλα από τα 156 (52*3=156). Στη χειρότερη περίπτωση πείτε ότι έχουμε 39 φύλλα στα χέρια χωρίς τετράδα… Έχουμε δηλαδή 13 τριάδες. Αναγκαστικά το επόμενο φύλλο θα συμπληρώσει μια τετράδα. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Aν ως "μία τετράδα" νοείται μια τετράδα ανεξαρτήτως χρώματος/φυλής,π.χ 2άσσοι πίκες και 2 άσσοι καρά, τότε 3*13=39 φύλλα το πολύ θα δίνουν όλες τις πιθανές τριάδες οπότε το επόμενο το 40ο κάνει τη δουλειά. Αν ως "τετράδα" νοείται μια κανονική/πλήρης τετράδα τράπουλας,π.χ 4 ρηγάδες ένας από κάθε φυλή, τότε χρειάζονται 3*39+1=118 φύλλα.

Rebus No.215 (8)

Λύση

Πανόραμα [Π(Π= ≈3,14159)ανο*ραμα**] *Διεύθυνση=Άνω επίρρημα **Ο Έντι Ράμα (αλβανικά: Edi Rama), είναι πρωθυπουργός της Αλβανίας και ο ηγέτης του Σοσιαλιστικού Κόμματος της Αλβανίας, το μεγαλύτερο κόμμα της αντιπολίτευσης από το 2005. Ήταν Υπουργός Πολιτισμού, Νεολαίας και Αθλημάτων στην κυβέρνηση του Φάτος Νάνο από το 1998 μέχρι το 2000 και Τίρανα Δήμαρχος Τιράνων (αναγνωρισμένος διεθνώς για την δουλειά του σχετικά με την αναμόρφωση της εικόνας της πρωτεύουσας της Αλβανίας) από το 2000 έως το 2011. Ο Ράμα ηγούταν ενός συνασπισμού συνολικά 37 αριστερών κομμάτων με την ονομασία «Συμμαχία για την Ευρωπαϊκή Αλβανία», με σύνθημα «Αναγέννηση» (Rilindjë), που κέρδισε τις εκλογές στην Αλβανία το 2013, νικώντας το συντηρητικό μπλόκο του Σαλί Μπερίσα στις 23 Ιουνίου 2013. Ανέλαβε καθήκοντα στις 9 Σεπτεμβρίου 2013. Ο Έντι Ράμα γεννήθηκε στις 4 Ιουλίου 1964). Ο πατέρας του, Κριστάτς Ράμα, καταγόταν από το Δυρράχιο και ήταν γλύπτης, ενώ η μητέρα του, Ανέτα Ράμα, καταγόταν από την περιοχή της Χειμάρραςήταν απόφοιτη ιατρικής.

Οι Φίλαθλοι

Τρεις φίλοι και φανατικοί φίλαθλοι του ποδοσφαίρου, ο ένας είναι οπαδός του Π.Α.Ο.Κ, ο άλλος είναι οπαδός του Άρη και ο τρίτος είναι οπαδός του Ηρακλή, κάνουν τη βόλτα τους στην παραλία του Λευκού Πύργου και συζητάνε, τι άλλο, παρά για τις ομάδες τους Ο ένας φοράει ασπρόμαυρα ρούχα, ο άλλος κίτρινα ρούχα και ο τρίτος μπλε ρούχα. Κάποια στιγμή λέει ο οπαδός του Άρη: 

- «Έχετε προσέξει ότι σήμερα κανένας απ’ τους τρεις μας δεν φοράει ρούχα με το χρώματα της ομάδας του;»

- «Ε,…και… σιγά το πράγμα!», απαντά αυτός που φοράει μπλε ρούχα.

Τι χρώμα ρούχα φοράει ο οπαδός του Άρη; (Κατ.27/Νο.390) 

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=554

Λύση

Ο οπαδός του Άρη φοράει ασπρόμαυρα ρούχα (του Π.Α.Ο.Κ.). Ο οπαδός του Άρη δε φοράει ούτε κίτρινα ρούχα, σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος που λέει ότι και οι τρεις φορούσαν διαφορετικού χρώματος ρούχα, ούτε και μπλε ρούχα που τα φορούσε αυτός που επιβεβαίωσε τη παρατήρηση του οπαδού του Άρη. Άρα ο ο παδός του Άρη φοράει απσρόμαυρα ρούχα (του Π.Α.Ο.Κ). Ο ο παδός του Ηρακλή δε φοράει μπλε ρούχα, τα οποία φοράει αυτός που επιβεβαίωσε τη παρατήρηση του οπαδού του Άρη, ούτε και ασπρόμαυρα ρούχα τα οποία φοράει ο οπαδός του Άρη. Άρα φοράει κίτρινα ρούχα. (του Άρη). Και τέλος αυτός που φοράει τα μπλε ρούχα (του Ηρακλή), είναι ο οπαδός του Π.Α.Ο.Κ .

Rebus No.214 (5)

Λύση

Κράμα [Κ(Κάππα=Μοντέλο της Lancia)ραμα*] *Ρενάλντο Ράμα, Αλβανός ποδοσφαιριστής, πρώην της Α.Ε.Κ.

Go

O Αλέξης, ο Κώστας και ο Νίκος παίζουν Go. Κάθε φορά παίζουν οι δύο και ο νικητής παίζει με τον τρίτο. Μετά από αρκετή ώρα καταλήγουν να έχουν παίξει 15 παρτίδες ο Αλέξης, 14 ο Κώστας και 9 ο Νίκος. Μπορείτε να βρείτε ποιοι ήταν αντιμέτωποι στη 13η παρτίδα; (Κατ.32/Νο.42)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=703

Λύση

Σύνολο παρτίδων που παίχτηκαν (15 + 14 + 9) / 2 = 38 / 2 = 19 παρτίδες. Παρατηρούμε τώρα ότι κανένας δε μπορεί να μην παίξει για δύο σερί παρτίδες (αν δε παίζει στην τρέχουσα θα παίξει αναγκαστικά στην επόμενη με τον νικητή της τρέχουσας). Αυτό σημαίνει ότι η μόνη περίπτωση να έχει παίξει ο Νίκος 9 παιχνίδια είναι να έχανε συνέχεια και να μην έπαιζε (Bye) στα μονά παιχνίδια, αλλά στα ζυγά (2-4-6-8-10-12-14-16-18). Αλλιώς θα είχε παίξει πάνω 10 παιχνίδια. Άρα στο 13ο παιχνίδι, αφού ο Νίκος κάθονταν αναγκαστικά (Bye), αντίπαλοι ήταν ο Κώστας με τον Αλέξη! Λύση του Ε. Αλεξίου. Η πλήρης καταγραφή των δεδομένων και αυτών που φαίνονται και αυτών που δεν φαίνονται και η εμβάθυνση σε αυτά οδηγεί σχεδον αυτόματα και ανακλαστικά στην λύση, όχι πάντα βέβαια! Τί έχουμε εδώ? α) Ο Α 15 παρτίδες, ο Κ 14 και ο Ν 9, άρα σύνολο 15+14+9=38 διπλά μετρημένες παρτίδες, άρα 19 πραγματικές παρτίδες. β) Ο Α με τις 15 και ο Κ με τις 14 δεν μου λένε κάτι, ο Ν με τις 9 είναι “όλα τα λεφτά” κατά την όψιμη λαική έκφραση. 9 στις 19, λιγότερες και από τις μισές παρτίδες. Δεν γνωρίζω το Go αλλά το παίζουν οι δύο και ο νικητής παίζει με τον τρίτο το γνωρίζω καλά, άρα το ίδιο θα είναι, δηλαδή ο καλός παίχτης παίζει σχεδόν συνέχεια, (παρεμπιπτόντως στα μαθητικά και φοιτητικά μου χρόνια στο πιγκ-πόγκ έπαιζα συνέχεια ή σχεδόν συνέχεια) και ο κακός παίχτης από τους τρείς στην χειρότερη περίπτωση παίζει κάθε δεύτερη φορά, στην περίπτωση μας ο Ν και μάλιστα σε (ν-1)/2 παρτίδες, άρα δεν πήρε ούτε μία παρτίδα γιατί αν κέρδιζε έστω και μία, άρα θα έπαιζε σε δύο συνεχόμενες και από τις (19-2)=17

Rebus No.213 (8)

Λύση

Παραμάνα [Παρα*(ς)μανα(Μάννα εξ Ουρανού**)] *Ασημένιος παράς που υποδιαιρούνταν σε 3 ακτσέ του Μουσταφά Γ' (1757-1774). **Μάννα ὀνομάζεται ἡ θεόσταλτη ἐκείνη τροφή μέ τήν ὁποία τρεφόντουσαν οἱ Ἑβραῖοι γιά σαράντα χρόνια πού βρίσκονταν στήν ἔρημο. Ἡ λέξη «μάννα» προέρχεται ἀπό τήν Ἑβραϊκή ἐρωτηματική ἀντωνυμία <<μάν>> πού σημαίνει «τί;», καί τοῦτο γιατί οἱ Ἑβραῖοι ὅταν πρωτοεῖδαν τήν τροφή αὐτή ἀναρωτιώντουσαν• «τί ἐστι τοῦτο; Οὐ γάρ ἤδεισαν, τί ἧν. Εἶπε δέ Μωϋσῆς αὐτοῖς• οὗτος ὁ ἄρτος, ὅν ἔδωκε Κύριος ὑμῖν φαγεῖν» (Έξοδ.Κεφ.16, 14-15) Τόν γογγυσμό τῶν Ἑβραίων, ὅπως μᾶς διηγεῖται τό βιβλίο τῆς Ἐξόδου ἄκουσε ὁ Θεός καί εἶπε στόν Μωϋσή• «Τήν ἑσπέραν θά φάγετε κρέατα καί τό πρωΐ θά χορτάσετε ἀπό ἄρτους• ἔτσι θά μάθετε ὅτι ἐγώ εἶμαι Κύριος ὁ Θεός σας». (Ἔξοδ. 16:12) Καί πράγματι, ἐκεῖνο τό ἀπόγευμα ἔπεσαν τόσα πολλά ὀρτύκια στήν περιοχή, πού σκέπασαν τήν κατασκήνωση τῶν Ἑβραίων. (Ἔξοδ. 16:13) Τήν ἑπομένη καί ἐνῶ ὑποχωροῦσε ἡ πρωϊνή καταχνιά, ἔκπληκτοι διέκριναν οἱ Ἰσραηλῖτες νά ἔχει ἁπλωθεῖ στήν ἔρημο κάτι λεπτό σάν σπόροι (πολλοί τό παρομοιάζουν σάν τόν σπόρο τοῦ ἀρωματικοῦ φυτοῦ κόλιανδρο) πού ἔπεφτε στήν γῆ σάν παγετός. Ἀπ’ αὐτό λοιπόν, μάζευαν οἱ Ἑβραῖοι σύμφωνα μέ τήν ὑπόδειξη τοῦ Θεοῦ κάθε ἡμέρα τήν ποσότητα τοῦ 1 γομόρ κατ’ ἄτομο (περίπου 4 λίτρα) ἐνῶ τήν Παρασκευή μάζευαν διπλή δόση διότι τό Σάββατο δέν ἔπεφτε τό Μάννα, ἐνῶ ἀπαγορευόταν ρητά νά μαζέψουν περισσότερο ἤ νά κρατήσουν περίσσευμα τῆς ἡμέρας. (Έξοδ.Κεφ.16, 14-15)

Τα Ψώνια

Ο Κώστας πάει σ’ ένα επώνυμο πολυκατάστημα και ξοδεύει τα μισά χρήματα απ’ όσα είχε στο πορτοφόλι του, για αγορά ρούχων. Τελικά διαπιστώνει ότι έχει πλέον τόσα λεπτά, όσα ευρώ είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ που έχει τώρα είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε αρχικά (π.χ. είχε 12,10 και έχει 5,12). Πόσα χρήματα είχε αρχικά πριν πάει στο πολυκατάστημα;(Κατ.34/Νο.710)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=721

Λύση

Ο Κώστας αρχικά στο πορτοφόλι του, πριν πάει στο πολυκατάστημα είχε 99€ και 98 λεπτά. Έστω α € και β λεπτά τ' αρχικά χρήματα.Μετά από τις αγορές που έκανε του έμειναν β/2 € και α λεπτά. Εξ’ ορισμού έχουμε: α = 2 β/2 + 1 (1) β = 2α – 100 (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: α = 2 β/2 + 1 --> α=β+1 (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: β = 2α – 100 --> β=[2*(β+1)-100) --> β=2β+2-100 --> 2β-β=100-2 --> β=98 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: α=β+1 --> α=98+1 --> α=99 Ο Κώστας είχε αρχικά στο πορτοφόλι του, πριν πάει στο πολυκατάστημα 99.98€ και μετά τις αγορές του έμειναν 49,99€ (99,98/2=49,99€), δηλαδή τα μισά… Επαλήθευση: α = 2 β/2 + 1 --> 99=(2*98)/2+1 --> 99=98+1 β = 2α – 100 --> 98=[(2*99)-100] --> 98=198-100 Λύση του Ε. Αλεξίου. Αρχικά είχε X ευρώ και Υ λεπτά Τελικά του έμειναν Υ/2 ευρώ και Χ λεπτά οπότε : 100Χ +Υ= 100Υ +2Χ --> 100Χ-2Χ=100Υ-Υ --> 98Χ=99Υ Χ=99 Υ=98 → Είχε 99,98€ και έμειναν: 98/2€ +99Λ =49.99€ --> 99.98€/2=49.99€ Λύση του μαθηματικού Θ. Δρούγα. Έστω χ ευρώ και y λεπτά είχε αρχικά στο πορτοφόλι , y άρτιος μεγαλύτερος ή ίσος του μηδέν και μικρότερος του 100. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: • «x» άρτιος: Μετά την αγορά στο πορτοφόλι του έχει: χ/2 ευρώ και y/2 λεπτά. Από υπόθεση προκύπτουν οι εξισώσεις χ=y/2 και χ/2=y/2 δίνουν μηδενική λύση. Άρα απορρίπτονται. • «x» περιττός: Τότε μετά την αγορά του μένουν: ( χ-1)/2 ευρώ και y/2+50 λεπτά Εφοσον εχουμε περιττο αριθμο ευρω χ=2κ+1 ευρω και y λεπτα, για να μπορέσουμε να το διαιρέσουμε σε δυο ίσα ποσά το γράφουμε χ-1 =2κ ευρω και 100+y λεπτα (1 ευρω =100λεπτα) και μετα τον υποδιπλασιασμό προκύπτει (χ-1)/2 και 50+y/2 λεπτα Από υπόθεση προκύπτουν δυο εξισώσεις : x=(y/2+50) (1) y/2=(x-1)/2 (2) Από τη (2) συνάγουμε ότι: y/2=(x-1)/2 --> y=2*(x-1)/2 --> y=(x-1) (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε: x=(y/2+50) --> x=[(x-1)/2+50] --> 2x=[x-1+(2*50)] --> 2x=x-1+100 --> 2x-x=100-1 --> x=99 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: y=(x-1) --> y=99-1 --> y=98 (5) Άρα, αρχικά είχε 99€ και 98 λεπτά. Το ποσό που του έμεινε είναι 49€ και 99 λεπτά που πληρει τις προϋποθέσεις του προβλήματος. Επαλήθευση: x=(y/2+50) --> x=98/2+50 --> x=49+50 --> x=99 y/2=(x-1)/2 --> y=2*(x-1)/2 --> y=(x-1) --> y=99-1 --> y=98

Rebus No.212 (7)

Λύση

Βάλανος (Βελανίδι) [Βα(Βάριο*)λανος(Μοντέλο της Daewoo)] *Το χημικό στοιχείο Βάριο είναι ένα μέταλλο με ατομικό αριθμό 56 και ατομικό βάρος 137,33. Αναφέρεται με το διεθνές σύμβολο Ba. Έχει θερμοκρασία τήξης 725 C° και θερμοκρασία βρασμού 1140 C°. Στην κατάσταση καθαρού μετάλλου, έχει το χρώμα του αργύρου, είναι κάπως σκληρότερο από τον μόλυβδο, ευήλατο και σφυρήλατο. Με σημείο τήξης 850 C° και σε υγρασία, καίγεται με φλόγα κιτρινοπράσινη πολύ λαμπερή. Δε συναντάται ελεύθερο στη φύση, αλλά μόνο στα άλατά του. Το βάριο είναι μέταλλο πολύ δραστικό.

Το Λάθος

Ο Κώστας πάει στην τράπεζα για να εξαργυρώσει μια επιταγή και η ταμίας μπερδεύεται και του δίνει αντί για ευρώ λεπτά και αντί για λεπτά ευρώ (π.χ. αντί για 5€ και 12 λεπτά, η ταμίας του έδωσε 12€ και 5 λεπτά). Ο Κώστας δεν αντελίφθηκε το λάθος που έγινε και έφυγε από την τράπεζα για να πάει σπίτι. Στο δρόμο του πέφτει από την τσέπη 5 λεπτά. Φτάνοντας στο σπίτι διαπιστώνει ότι τα λεφτά που έχει είναι τα διπλά από όσα γράφει η επιταγή. Μπορείτε να βρείτε το ποσό της επιταγής; 
Διευκρίνιση: 
Πριν ξεκινήσει ο Κώστς για τη τράπεζα δεν είχε καθόλου λεφτά πάνω του. 
(Κατ.34/Νο.709) 
Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=721

Λύση

Το ποσό της επιταγής ήταν 31,63€. Έστω «χ» ευρώ και «ψ» λεπτά. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Ο Κώστας έπρεπε να πάρει 100χ+ψ ευρώ, ενώ η ταμίας του έδωσε κατά λάθος 100ψ+χ ευρώ.Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: 5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ (1) Από την (1) συνάγουμε ότι: 5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ --> 5+200χ+2ψ=100ψ+χ --> 200χ-χ=100ψ-2ψ-5 --> 199χ=98ψ-5 --> χ=(98ψ-5)/199 (2) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ψ" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "χ" είναι ο αριθμός 63 Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ψ» στη (2) κι’ έχουμε: χ=(98ψ-5)/199 --> χ=[(98*63)-5]/199 --> χ= (6.174-5)/199 --> χ= 6.169/199 --> χ=31 (3) Επαλήθευση: Λανθασμένη εξαργύρωση επιταγής από τη ταμία: από 31,63€ σε 63,31€ Το πραγματικό ποσό της επιταγής: 31,63€ Διαφορά: 63,31€-31,63€=31,68€ (31,63€+5λεπτά) Έχασε στο δρόμο 5 λεπτά, οπότε του έμειναν: 63,31-5=63,26€ τα οποία αντιπροσωπεύουν το διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει. (31,63€*2) Επαλήθευση: 5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ --> 5+2*[(100*31)+63]=[(100*63)+31] --> [5+2*(3.100+63)]=6.300+31 --> [5+(2*3.163)]=6.331 --> 5+6.326=6.331 λεπτά Μετατρέπουμε τα λεπτά σε Ευρώ κι’ έχουμε: 6.331/100=63,31€ Ο Κώστας από λάθος της ταμία εισέπραξε 63,31€, αντί του σωστού 31,63€. Διαφορετική Προσέγγυση: Εξ’ ορισμού έχουμε ότι ο Κώστας έπρεπε να πάρει από την επιταγή που εξαργύρωσε α € και β λεπτά, αλλά πήρε β € και α λεπτά. Χάνοντας ο Κώστας στο δρόμο 0,05 λεπτά του έμειναν β € και (α-5) λεπτά Η σχέση διπλάσιο στα λεφτά είναι στην ουσία δυο περιπτώσεις 1.α € και β λεπτά –> 2α € και 2β λεπτά π.χ. 1,30 –> 2,60€ 2. α € και β λεπτά –> (2α+1) € και (2β-100) λεπτά π.χ. 1,70 –> 3,40€ Αν δοκιμάσουμε την πρώτη περίπτωση φτάνουμε σε αδύνατο σύστημα, ενώ εάν δοκιμάσουμε τη δεύτερη περίπτωση, αφού μετατρέψουμε τα Ευρώ σε λεπτά, έχουμε: β = 2α + 1 (1) α-5 = 2β – 100 (2) Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε: α-5 = 2β – 100 --> α-5=2(2α+1)-100 --> α-5=4α+2-100 --> 4α-α=100-(5+2) --> 3α=100-7 --> 3α=93 --> α=93/3 --> α=31 (3) Αντικαθιστώ τη (3) στην (1) κι’ έχουμε: β = 2α + 1 --> β=[(2*31)+1] --> β=62+1 --> β=63 (4) Το ποσό της επιταγής ήταν 31,63€, η ταμίας κατά λάθος του έδωσε 63,31€ , έχασε 5 λεπτά στο δρόμο και του έμειναν 63,26€ (63,31-5=63,26€), που είναι το διπλάσιο των 31,63€ (31,63*2=63,26€). Επαλήθευση: β = 2α + 1 --> β=[(2*31)+1] --> β=62+1 --> β=63 α-5 = 2β – 100 --> 31-5=[(2*63)-100] --> 26=126-100 Λύση του Ε. Αλεξίου. Το 1 ευρώ αντιστοιχεί σε 100 λεπτά (αν τα λεπτά αρχικά ήταν α μεγαλύτερο του 50 διπλασιαζόμενα γίνονται 2α μεγαλύτερο του 100, άρα 1 ευρώ +(2α-100) λεπτά Ας πούμε ότι έπρεπε να πάρει k ευρώ και μ λεπτά και πήρε m ευρώ και k λεπτά, οπότε: m=2k+1 (1 που προέρχεται από τα 100 λεπτά) k-5=2m-100 και η επίλυση δίνει k=31 kai m=63, έπρεπε να πάρει 31 ευρώ και 63 λεπτά και πήρε 63 ευρώ και 31 λεπτά και χάνοντας τα 5 λεπτά μένει με 63 ευρώ και 26 λεπτά που είναι το διπλάσιο, 2*31ε +2*63λ=62ε+126λ=63ε+26λ Λύση του Γ. Ριζόπουλου. 2(100x + y) = 100y + x - 5 200x + 2y = 100y + x - 5 98y = 199x + 5 y = (199x + 5)/98 = 2x + (3x + 5)/98 (3x+5)/98=ακέραιος... y = 63 και x = 31 Επιταγή: 31,63. Πήρε: 63,31 63,31-0,05=63,26=2*31,63.

Rebus No.211 (8)

Λύση

Πολύφωτο [Πολυ(Guanajuato: Η πόλη* των χρωμάτων)φωτο(Φωτογραφία**)] *Το Guanajuato είναι μια πόλη στο κεντρικό Μεξικό, χτισμένη σε μια πολύ στενή κοιλάδα, η οποία καθιστά τους δρόμους της πόλης πολύ στενούς και γεμάτους στροφές. Οι περισσότεροι είναι σοκάκια, μέσω των οποίων τα αυτοκίνητα δεν μπορούν να περάσουν ενώ μερικοί περιλαμβάνουν και σακλοπάτια μέχρι τις πλαγιές των παρακείμενων λόφων. Πολλές από τις οδικές αρτηρίες της πόλης είναι πλήρως ή εν μέρει υπόγειες. Το ιστορικό κέντρο της πόλης είναι γεμάτο με αποικιακού αρχοντικά περιοχής, εκκλησίες και αστικές κατασκευές, φτιαγμένες με ροζ ή πράσινο ψαμμίτη και μικρές πλατείες. Η δημιουργία της πόλης ήταν το αποτέλεσμα της ανακάλυψης κοιτασμάτων αργύρου στα βουνά που την περιβάλλουν. Τα ορυχεία της περιοχής ήταν τόσο πλούσια που η πόλη ήταν μια από τις πλέον σημαντικές κατά την περίοδο της αποικιοκρατίας. Ένα από τα ορυχεία, το La Valenciana, έφτασε στο αποκορύφωμά του να παράγει τα δύο τρίτα της παγκόσμιας παραγωγής αργύρου. Ένα άλλο βασικό χαρακτηριστικό της πόλης είναι τα πολύχρωμα σπίτια που δίνουν ένα μοναδικό τόνο στο αστικό περιβάλλον. Βαμμένα με έντονα χρώματα δημιουργούν ένα μοναδικό σκηνικό. Από το 1988 η πόλη χαρακτηρίστηκε μνημείο Παγκόσμιας Κληρονομιάς της UNESCO. **Καλαμάτα:Οδός Φαρών, 1920

Τουρνουά Σκακιού

Ο Κώστας και η Άννα συμμετέχουν σε ένα σκακιστικό τουρνουά. Πρόκειται για ένα «κλασικό» τουρνουά, όπου κάθε ζευγάρι παίζει μια φορά. Δυστυχώς όμως ο Κώστας και η Άννα αρρώστησαν και αναγκάζονται να αποχωρήσουν από  το τουρνουά. Όταν αποχώρησαν είχαν παίξει και οι δύο τον ίδιο αριθμό αγώνων. Οι υπόλοιποι συνέχισαν μέχρι τη λήξη του τουρνουά. Παίχθηκαν συνολικά 23 παρτίδες. Ο Κώστας και η Άννα βρέθηκαν αντιμέτωποι σε κάποιον αγώνα; (Κατ.32/Νο.41)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=736

Λύση

Το σύνολο των παρτίδων χωρίς αποχωρήσεις είναι Σο=n(n-1)/2 (ο καθένας με όλους τους άλλους δια δύο, γιατί έτσι μετράμε κάθε παιχνίδι δυο φορές). Εάν, εκτός από την Άννα και το Κώστα ήταν κι άλλοι 8, αυτοί θα έπαιζαν μεταξύ τους (χωρίς την Άννα και τον Κώστα) 28 ( 8*7 /2 ) παρτίδες, αδύνατο! Εάν πάλι, εκτός από την Άννα και το Κώστα ήταν κι άλλοι 5, θα έπαιζαν το πολύ (ακόμα κι αν δεν αποχωρούσαν η Άννα και ο Κώστα) 21 παρτίδες ( 7*6 / 2 ), αδύνατο! Άρα έχουμε δυο περιπτώσεις… Σύνολο 8 άτομα, οι 6 παίζουν μεταξύ τους 15 παρτίδες και από 4παρτίδες ο καθ’ ένας η Άννα και ο Κώστας, σύνολο 23 παρτίδες. Σύνολο 9 άτομα, οι 7 παίζουν μεταξύ τους 21 παρτίδες και από 1 παρτίδα ο καθ’ ένας η Άννα και ο Κώστας, σύνολο 23 παρτίδες. Και στις δυο περιπτώσεις ο Κώστας και η Άννα δεν μπορεί να συναντήθηκαν, γιατί τότε οι 8 παρτίδες που θα είχαν παίξει (από 4 παρτίδες ο καθ’ ένας) δεν θα μετρούσαν συνολικά για 8 αλλά για 7 (από τρεις ο καθένας και μία η κοινή), άρα σύνολο παρτίδων 15 + 7 = 22 και όχι 23 που θέλουμε. Επομένως o Κώστας και η Άννα δεν βρέθηκαν αντιμέτωποι! Λύση του Ε. Αλεξίου. Εάν Χ οι άλλοι παίχτες πλην Κώστα και Άννας τότε ισχύει για τις παρτίδες μεταξύ των Χ παιχτών Χ*(Χ-1)/2 μικρότερο του 23 → X μικρότερο ή ίσο με 7. Έστω: *7 οι άλλοι και οι παρτίδες που έπαιξαν μεταξύ τους 7*6/2=21 Κώστας και Άννα το πολύ απο μία, αν έπαιξαν μεταξύ τους μετράει μία +21= 22 άτοπο, άρα δεν έπαιξαν μεταξύ τους και οι παρτίδες 21+2=23, δεκτό. *6 οι άλλοι παίχτες, άρα παρτίδες μεταξύ τους 6*5/2 =15, άρα Κώστα ς και Άννα 8 από 4 παρίδες, αν είχαν παίξει μεταξύ τους θα μετρύσαν 7 παρτίδες 15+7=22, άτοπο. Άρα και σε αυτή την περίπτωση δεν έπαιξαν μεταξύ τους. 5 οι άλλοι παίχτες, και οι παρτίδες μεταξύ τους 5*4/2=10 και οι παρτίδες Κώστα και Άννας 23-10=13, άτοπο, αδύνατον να συμβεί Άρα τελικά και συμπερασματικά ο Κώστας και η Άννα δεν έπαιξαν μεταξύ τους. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. O αριθμός των παρτίδων σε ένα απλό (ενός γύρου)round robin τουρνουά για ν παίκτες είναι όπως ο αριθμός των χειραψιών μεταξύ τους: v(v-1)/2 Aν ο Κώστας και η Άννα έπαιξαν αντίπαλοι πριν αποχωρήσουν έχουν συνεισφέρει στο σύνολο περιττό αριθμό παρτίδων (1 η μεταξύ τους + 2*κ με κ άλλους αντιπάλους έκαστος). Αρα οι παρτίδες των υπολοίπων μεταξύ τους είναι άρτιος αριθμός. Αν οι υπόλοιποι είναι 7 ,έπαιξαν συνολικά 6*7/2=21 παρτίδες. Άτοπο. Για λιγότερους παίκτες επίσης άτοπο. Άρα δεν έπαιξαν μεταξύ τους ο Κώστας και η Άννα.

Το Ακριβότερο

Στις ψαραγορές του Καστελλόριζου και του Πευκοχωρίου (Χαλκιδική) τα ψάρια χωρίζονται σε δυο ποιότητες…: 

Για το Καστελλόριζο: «α» (καλή) και «β» (μέτρια)

Για το Πευκοχώρι: «Α» (καλή) και «Β» (μέτρια)! 

1) Στο Καστελλόριζο μπορείτε να αγοράσετε τρία ψάρια «α» κατηγορίας και 
ένα ψάρι «β» κατηγορίας με τα ίδια λεφτά που θα δίνατε στο Πευκοχώρι για 
πέντε ψάρια «Α» κατηγορίας.  

2) Στο Καστελλόριζο δύο ψάρια «α» κατηγορίας και ένα ψάρι «β» 
κατηγορίας κοστίζουν όσο τρία ψάρια «Α» κατηγορίας  και ένα ψάρι «Β» 
κατηγορίας στο Πευκοχώρι.

Τι είναι ακριβότερο, ένα ψάρι «α» κατηγορίας και δύο ψάρια «β»
κατηγορίας στο Καστελλόριζο ή πέντε ψάρια «Β» κατηγορίας στο 
Πευκοχώρι; (Κατ.9/Α΄/Νο.23)

Πηγή: http://www.youreka.gr/?p=706

Λύση

Ένα ψάρι «α» κατηγορίας και δύο ψάρια «β» κατηγορίας στο Καστελλόριζο κοστίζουν το ίδιο με πέντε ψάρια «Β» κατηγορίας στο Πευκοχώρι! Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: 3α+1β=5Α (1), 2α+1β=3Α+Β (2). Στην (1) πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί 3, κι’ έχουμε: 3*(3α+1β)=3*5Α --> 9α + 3β = 15Α (3) Στη (2) πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί 5, κι’ έχουμε: 5*(2α+1β)=5*(3Α+Β) --> 10α + 5β = 15Α + 5Β (4) Αφαιρούμε από τη (4) τη (3), κι’ έχουμε: (10α + 5β = 15Α + 5Β)-(9α + 3β = 15Α) --> α + 2β = 5Β (5)

Rebus No. 210 (8)

Λύση

Καζανόβα [Καζα(ς)(Π. Καζάς*)νοβα(ς)( Θεμιστοκλής Αθανασιάδης-Νόβας**)] *Παναγιώτης Καζάς γεννήθηκε στο Αιγίνιο το 1956, από τον Αθανάσιο και την Μαρία Καζά. Είναι πτυχιούχος Εκτελωνιστής. Από το 1985 ασκεί το επάγγελμα, συν-εργαζόμενος επί σειρά ετών με τις μεγαλύτερες εισαγωγικές και εξαγωγικές επιχειρήσεις του Νομού Πιερίας και όχι μόνο. Παράλληλα, ασχολήθηκε και με τον χώρο του εμπορίου, διατηρώντας επί 10 χρόνια Βιοτεχνία ξηρών καρπών στο Αιγίνιο Πιερίας. Με την Τοπική Αυτοδιοίκηση ασχολείται από το 1985 και στις Δημοτικές εκλογές του 2006 εκλέχθηκε 1ος Δημοτικός Σύμβουλος στο Δήμο Αιγινίου. Κατά την τετραετία αυτή διετέλεσε Αντιδήμαρχος Δήμου Αιγινίου Πιερίας και έπειτα ως Πρόεδρος Δημοτικού Συμβουλίου Δήμου Αιγινίου Πιερίας. Η πολιτική του σταδιοδρομία συνεχίστηκε στις Περιφερειακές Εκλογές του 2010 στις οποίες και εκλέχθηκε 1ος Αναπληρωματικός Περιφερειακός Σύμβουλος Ν. Πιερίας με τον Συνδυασμό «Δύναμη για την Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας», συγκεντρώνοντας 5005 σταυρούς προτίμησης. Είναι παντρεμένος με την Παρτούλα Σταυρούλα, η οποία εργάζεται ως ελεύθερη επαγγελματίας, διατηρώντας Εργαστήριο Οδοντοτεχνικής στο Αιγίνιο Πιερίας και με την οποία έχουν απόκτηση δυο παιδία, τον Αθανάσιο και την Μαρία. Διαμένει μόνιμα με την οικογένεια του στο Αιγίνιο Πιερίας. **Ο Θεμιστοκλής Αθανασιάδης-Νόβας, (πεζογράφος και κριτικός), μικρότερος αδελ-φός του συγγραφέα Γεωργίου Αθάνα (Γεώργιος Αθανασιάδης-Νόβας), γεννή-θηκε στην Ναύπακτο, στα 1896 και πέθανε στα 1961 στην Κέρκυρα, κυριολεκτικά απάνω στα Γράμματα. Στην Κέρκυρα είχε πάει από μέρους της «Εθνικής Εταιρείας Λογοτεχνών», να δώσει διάλεξη, για τον Αλέξανδρο Παπαδιαμάντη, στις 13 Μαΐου 1961, και την άλλη μέρα 14 Μαΐου, έπαθε καρδιακή εμβολή και πέθανε. Ο Θεμιστοκλής Νόβας είχε σπουδάσει νομικά στην Αθήνα και πολιτικές επιστήμες στο πανεπιστήμιο της Ιένας. Χρημάτισε νομάρχης Κερκύρας, Ζακύνθου, Λέσβου, Πατρών, Θεσσαλονίκης, Βόλου και Σάμου και, μέχρι το 1960, επιθεωρητής νομαρχιών. Ο Θεμιστοκλής Αθανασιάδης-Νόβας παρουσιάζεται στα Γράμματα, μαθητής ακόμα, από τις στήλες των περιοδικών «Παρνασσός», «Μεγάλη Ελλάς», «Ελλάς» και άλλων. Είναι η εισαγωγή σε μια πολυκύμαντη πνευματική πορεία δεκαπέντε τόμων, στη δύσβατη ανηφοριά της δημιουργίας.

Rebus No.209 (4,9)

Λύση

Καλό Καλοκαίρι [Καλο(Φρίντα Κάλο*) Καλο(Φρίντα Κάλο*)καιρι(John Forbes Kerry**)] *Η Φρίντα Κάλο (Magdalena del Carmen Frida Kahlo y Calderón, η ορθή προφορά είναι Φρίδα Κάλο, 6 Ιουλίου 1907 – 13 Ιουλίου 1954), ήταν Μεξικάνα ζωγράφος. **Ο John Forbes Kerry (γεννηθείς 11η Δεκεμβρίου 1943) Αμερικανός πολιτικός, ο 68η Γραμματέας του κράτους στις Ηνωμένες Πολιτείες. Έχει υπηρετήσει στην Γερουσία των Ηνωμένων Πολιτειών, και ήταν πρόεδρος της Επιτροπής Εξωτερικών Σχέσεων της Γερουσίας. Ο Kerry ήταν ο υποψήφιος του Δημοκρατικού Κόμματος στις προεδρικές εκλογές του 2004, αλλά έχασε από τον George W. Bush. Γιος ενός βετεράνου της Αεροπορίας Στρατού των ΗΠΑ, ο Kerry γεννήθηκε στο Aurora, του Colorado. Ήταν οικότροφος σε σχολείο στη Μασαχουσέτη και στο Νιου Χαμσάιρ απεφοίτησε από το πανεπιστήμιο του Yale το 1966, όπου ειδικεύτηκε στην πολιτική επιστήμη και έγινε μέλος της μυστική αδελφότητας «Κρανίο και Οστά».

Η Πιθανότητα

Ποια είναι η πιθανότητα από μια τράπουλα με 52 φύλά. να τραβήξουμε 6 φύλλα και να έχουμε 4 ίδια φύλλα (π.χ. Τέσσερις Βαλέδες, Τέσσερις Ντάμες, Τέσσερα Επτάρια, κλπ.); (Κατ.33/Νο.36)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=486

Διαβάστε περισσότερα »

Ο Γρίφος των Αυγών

Η κυρά Μαρία πήγαινε κάθε Τετάρτη στη λαϊκή  για να πουλήσει φρέσκα αυγά 
από τις κότες της. Μια από αυτές τις Τετάρτες έγινε το εξής περίεργο:

Πούλησε τo 1/2 των αυγών που είχε σε κάποιον και του έδωσε και μισό αυγό ως 
δώρο. Μετά πούλησε το 1/3 από όσα αυγά είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και 
του έδωσε και 1/3 του αυγού ως δώρο. Μετά πούλησε το 1/4 από όσα αυγά 
είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και του έδωσε και 1/4 του αυγού ως δώρο.

Τέλος πούλησε το 1/5 από όσα αυγά είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και του
έδωσε και 1/5 του αυγού ως δώρο.

Ό,τι αυγά περίσσεψαν τα μοίρασε εξίσου σε 13 συγγενείς της.

Ποτέ, όμως, δεν χρειάστηκε να σπάσει κάποιο αυγό σ’ αυτή τη διαδικασία.

Πόσα ήταν τα ελάχιστα αυγά που μπορεί να είχε αρχικά η κυρά Μαρία; (Κατ.34/Νο.708)

Πηγή:http://www.youreka.gr/?p=355

Λύση

Λύση του μαθηματικού Θεόδωρου Δρούγα. Η κυρά Μαρία είχε 719 αυγά όταν πήγε στη Λαϊκη για να τα πουλήσει. Έστω «χ» το αρχικο πληθος των αυγών. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: Στον πρώτο πούλησε: χ/2+1/2= (χ+1)/2 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: χ-(χ+1)/2=(2χ-χ-1)/2=(χ-1)/2 αυγά. Στον δεύτερο πούλησε: (1/3)(χ-1)/2+1/3=(χ-1)/6+1/3=(χ-1+2)/6=(χ+1)/6 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-1)/2-(χ+1)/6=[3*(χ-1)-(χ+1]/6=(3χ-3-χ-1)/6=(2χ-4)/6=2*(χ-2)/6=(χ-2)/3αυγά. Στον τρίτο πούλησε: (1/4)*(χ-2)/3+1/4=(χ-2)/12+1/4=(χ-2+3)/12=(χ+1)/12 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-2)/3-(χ+1)/12=[4*(χ-2)-(χ+1)/12=(4χ-8-χ-1)/12=(3χ-9)/12=3*(χ-3)/12=(χ-3)/4 αυγά. Στον τέταρτο πούλησε: (1/5)*(χ-3)/4+1/5=(χ-3)/20+1/5=(χ-3+4)/20=(χ+1)/20 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-3)/4-(χ+1)/20=[5*(χ-3)-(χ+1)]/20=(5χ-15-χ-1)/20=(4χ-16)/20=4*(χ-4)/20=(χ-4)/5 αυγά. Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, μετά τη πώληση των αυγών της έμειναν ένας αριθμός αυγών, τα οποία μοίρασε εξίσου σε 13 συγγενείς, έχουμε την εξίσωση: (χ-4)/5=13κ --> χ-4=5*13κ --> χ-4=65κ --> χ=65κ+4 (1), (κ ακέραιος μεγαλύτερος ή ισος του 1, που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των αυγών που πήρε κάθε συγγενής. Διερεύνηση με Διαρετότητα:. Από την πρώτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν αρχικά: (χ+1)/2=(65κ+4+1)/2=(65κ+5)/2=5(13κ+1)/2, άρα το (13κ+1) είναι άρτιος αριθμός (αρκεί να θυμηθούμε ότι δεν έσπασε κανένα αυγό) οπότε κ είναι σίγουρα περιττός αριθμός. (πιθανοί υποψήφιοι 1,3,5,7,9,11,… αναζητούμε τον μικρότερο) Περισσεύουν:(65κ+4)- (65κ+5)/2=[2*(65κ+4)-(65κ+5)]/2=(130κ+8-65κ-5)/2= (65κ+3)/2 Από την δεύτερη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/3)(65κ+3)/2+1/3=(65κ+3)/6+1/3=(65κ+3+2)/6=(65κ+5)/6=5*(13κ+1)/6, αρκεί να διαιρείται το (13κ+1) με το 6 έχουμε καταλήξει προηγούμενα ότι το (13κ+1) διαιρείται με το 2, άρα αρκεί να διαιρείται και με το 3 το (13κ+1), οπότε απορρίπτουμε για κ τους 1 ,3,7 ,9. Περισσεύουν:(65κ+3)/2-(65κ+5)/6=[3*(65κ+3)-(65κ+5)]/6=(195κ+9-65κ-5)/6= (130κ+4)/6=2(65κ+2)/6=(65κ+2)/3 Από την τρίτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/4)*(65κ+2)/3+1/4= (65κ+2)/12+1/4=(65κ+2+3)/12=(65κ+5)/12=5(13κ+1)/ 12 Ο (13κ+1) πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 12, κάτι το οποίο δεν ισχύει για κ=5, οπότε απορρίπτεται και ο 5. Περισσεύουν: (65κ+2)/3-(65κ+5)/12=[4*(65κ+2)-(65κ+5)]/12=(260κ+8-65κ-5)/12= (195κ+3)/12=3*(65κ+1)/12=(65κ+1)/4 Από την τέταρτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/5)(65κ+1)/4+1/5=(65κ+1)/20+1/5=(65κ+1+4)/20=(65κ+5)/20 Περισσεύουν: (65κ+1)/4-(65κ+5)/20=[5*(65κ+1)-(65κ+5)]/20=(325κ+5-65κ-5)/20= 260κ/20=13κ Από τ’ ανωτέρω διαπιστώνουμε ότι ο «κ» ισούται με 11, η οποία είναι η μικρότερη τιμή που ικανοποίει όλες τις συνθήκες. Αντικαθιστούμε τη τιμή του κ=11 στην (1) κι’ έχουμε: χ=[(65*κ)+4] --> χ=[(65*11)+4] --> χ=715+4 --> χ=719 αυγά. Επαλήθευση: 1)Πρώτη Πώληση:(χ+1)/2=(719+1)/2=720/2=360 αυγά. 2)Δεύτερη Πώληση:(χ+1)/6=(719+1)/6=720/6=120 αυγά. 3)Τρίτη Πώληση:(χ+1)/12=(719+1)/12=720/12=60 αυγά. 4)Τέταρτη Πώληση:(χ+1)/20=(719+1)/20=720/20=36 αυγά. Συνολικά πούλησε:360+120+60+36=576 αυγά. Της έμειναν απούλητα:719-576=143 αυγά. Τα 143 αυγά, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος τα μοίρασε εξίσου στους 13 συγγενείς, οι οποίοι πήραν από:143:13=11 αυγά (13*κ=13*11=143) ο κάθε συγγενής.

Ο Γρίφος των Χαμένων Φύλλων

Ο Κώστας, μανιώδης συλλέκτης παλαιών βιβλίων, αγόρασε από ένα παλαιοπωλείο βιβλίων στο Μοναστηράκι ένα σπάνιο βιβλίο. Όταν επέστρεψε στο σπίτι του άρχισε να το διαβάζει. Κάποια στιγμή όμως διαπίστωσε πως έλειπαν από το βιβλίο κάποια φύλλα… Οι αριθμοί των σελίδων από τα φύλλα που έλειπαν ήταν συνεχόμενοι και το άθροισμα των αριθμών των σελίδων ήταν ισον με τον αριθμό 4.352. Οργισμένος που δεν το έλεγξε όταν το αγόρασε, και με βάση την προσφιλή του συνήθεια προσπέρασε τις σελίδες που έλειπαν και συνέχισε απλά την ανάγνωση… έχοντας χάσει βέβαια ένα αρκετά μεγάλο κομμάτι της υπόθεσης… Μπορείτε να βρείτε πόσα φύλλα και ποιοι αριθμοί σελίδων έλειπαν;  (Κατ.3/Νο.29)

Λύση

Έλειπαν 17φύλλα, από τη σελίδα 248 έως τη σελίδα 264. Το άθροισμα των αριθμών των σελίδων των «ν» χαμένων φύλλων, που ξεκινάνε από το «α» είναι: Σο=α+(α+1)+(α+2)+(α+3)…. +(α+ν-1) Στον τύπο της αριθμητικής προόδου Σο=[(α+τ)*ν]/2 αντικαθιστούμε τη τιμή του «τ» με τον τύπο τ= α+(ν-1)*ω της εύρεσης του τελευταίου όρου της αριθμητικάς προόδου, κι’ έχουμε: Σο=[(α+τ)*ν]/2 --> Σο=[α+[α(ν-1)*]ν]/2 --> Σο=[[2α+(ν-1)]*ν]/2 Σο=Συνολικό Άθροισμα. α=Ο πρώτος Όρος. τ=Ο τελευταίος Όρος ν=Το Πλήθος των Όρων. ω=Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο δια να δώσει τον επόμενο όρο. Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Σο=[[2α+(ν-1)]*ν]/2 --> 4.352=[[2α+(ν-1)]*ν]/2 (1) Αναλύουμε τον αριθμό 4.352 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, κι’ έχουμε: 4.352=(2^8)*17 Άρα από τη σχέση (1) έχουμε: 4.352=[[2α+(ν-1)]*ν]/2 --> (2^8)*17=[2α+(ν-1)]*ν]/2 --> (2^8)*2*17=[2α+(ν-1)]*ν --> (2^9)*17=[2α+(ν-1)]*ν (1) Στο πρώτο μέλος: Το 17 δηλώνει τα φύλλα που λείπουν και το (2^9) το άθροισμα των αριθμών των σελίδων από τα φύλλα που λείπουν. Στο δεύτερο μέλος: Εάν «ν» ζυγός τότε (2α+ν-1) περιττός Ενώ εάν «ν» περιττός τότε (2α+ν-1) ζυγός και μάλιστα ν μικρότερο του (2α+ν-1) Άρα από την παραπάνω σχέση έχουμε: Για ν=1 --> 2α+ν-1 = 2^9*17 (απορρίπτεται γιατί λείπει πάνω από μία σελίδα, άρα ν μεγαλύτερο του 1) Για ν=17 --> 2α+ν-1=29 --> 2α+17-1=512 --> 2α+16=512 --> 2α=512-16 --> 2α=496 --> α=496/2 --> α=248 Επαλήθευση: 2α+ν-1=29 --> [(2*248)+17-1]=2^9 --> 496+16=512 Λύση του Ε. Αλεξίου. [n(1+n) - k(1+k)]/2 = 4.352, n μεγαλύτερο του 0 => n=264 kai k=247. Άρα έλειπαν οι σελίδες 248 έως και 264, 17 σελίδες ή αλλιώς 4352=2^8(=256)*17, άρα 17 σελίδες με μέση σελίδα, 9η από τις 17 την 256, άρα 246 έως και 264 Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Ενδιαφέρον θέμα ,αλλά ο αριθμός 4352 το καθιστά προβληματικό ή μάλλον...αδύνατο να συμβεί. Εξηγούμαι: Έστω πως λοίπουν οι διαδοχικές σελίδες από την μ έως και τη ν. μ0. Δεν χρειάζεται να θυμάται κάποιος απέξω τον τύπο τέτοιου αθροίσματος αριθμητικής προόδου, διότι η απλή σκέψη πως έχουμε (ν-μ+1) όρους στην ακολουθία, άρα το άθροισμά τους είναι αυτός ο αριθμός επί τον μέσο (αριθμητικό) όρο που προφανώς είναι (ν+μ)/2 ,αρκεί (και εξηγεί και τον "ετοιματζίδικο" τύπο) Ισχύει λοιπόν: (ν - μ + 1)(ν + μ)/2=4352 Αυτή είναι μια περίπλοκη σχετικά διοφαντική εξίσωση υπερβολής ,και τελικά η μόνη συμβατή ακέραια λύση είναι η: μ=248 και ν=264 Όντως Σ(248 ώς 264)ν=4.352 Ο.κ. Το ζήτημα όμως είναι πως αυτές είναι 17 σελίδες (από την 248 ώς και την 264) και προφανώς είναι άτοπο να έχουμε μονό αριθμό σελίδων,αφού σκίζονται φύλλα. Αν δινόταν στην εκφώνηση ενα περιττό άθροισμα θα ήμαστε Ο.κ. (ασχέτως αν το κάθε φύλλο ξεκινούσε από περιττό αριθμό ή από άρτιο. Π.χ το πρώτο φύλλο να ήταν 1-2,3-4,κ.λ.π. ή 0-1,2-3, κ.λ.π.) Αν π.χ είχαμε τον αριθμό 4.617 θα έλειπαν οι 18 σελίδες (9 φύλλα) από 248 έως και 265 και θα ήμασταν ο.κ.

Rebus No.208 (10)

Λύση

Διαγώνισμα [Δια(Ο θρόνος του Δία*)γωνις(Γονείς)μα(Ma Zehua**)] *Ο θρόνος του Δία στον Όλυμπο (το σημερινό Στεφάνι), φιλοξενούσε αποκλειστικά τον αρχηγό των θεών, τον Δία (Ζευς). Από κει έριχνε τους κεραυνούς του δείχνοντας έτσι την «Θεϊκήν του μήνιν». **Ο Μα Ζεχούα (Ma Zehua), είναι πρόεδρος και αναπληρωτής γραμματέας στην Επιτροπή του Κόμματος, και ο νέος πρόεδρος του Δ.Σ. του κρατικού ομίλου COSCO.

Ο Βαθμός

Ο Κωνσταντίνος στο μάθημα των Μαθηματικών θα γράψει 4 διαγωνίσματα των 100 μονάδων το καθένα . Έθεσε ως στόχο του να γράψει στα διαγωνίσματα τουλάχιστον μέσο όρο 95. Στα δύο πρώτα διαγωνίσματα έγραψε για 97 μονάδες και 91 μονάδες αντίστοιχα. Όταν είδε το βαθμό του 3^ου διαγωνίσματος κατάλαβε ότι μπορούσε ακόμα να φτάσει το στόχο του. Ποιος θα μπορούσε να ήταν ο πιο χαμηλός βαθμός του 3^ου διαγωνίσματος. (Κατ.34./Νο.707)

Πηγή:Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Επαρχιακός Μαθηματικός Διαγωνισμός (Νοέμβριος 2013)

Λύση

Πρέπει το άθροισμα όλων των γραπτών να είναι 95*4 = 380 μονάδες. Αφού στα δύο πρώτα έγραψε 97 και 91, άρα στα άλλα δύο πρέπει να γράψει 380 − 97 − 91 = 192 μονάδες Ο πιο ψηλός βαθμός στο 4ο διαγώνισμα είναι το 100, άρα ο πιο χαμηλός βαθμός που μπορεί να πάρει στο 3ο διαγώνισμα είναι: 192 − 100 = 92 μονάδες. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. [(4*95)-97-91-100]=380-288=92 Λύση του Ε. Αλεξίου. Αν και είναι από τα εύκολα θέματα ( εφαρμογή μιας σχέσης ή τύπου), και πιθανόν κανείς να μην ενδιαφερθεί, χάριν της ομαλής ροής ανάρτησης θεμάτων θα δώσω μια απάντηση. Έστω «Χ» ο βαθμός του 3ου διαγωνίσματος. Για να είναι ο ελάχιστος δυνατός για μέσο όρο μεγαλύτερο ή ίσο με 95, ο βαθμός του 4ου πρέπει να είναι ο μέγιστος δυνατός, δηλαδή 100. Μέσος όρος 4 διαγωνισμάτων: [(97+91+Χ+100)/4] μεγαλύτερο ή ίσο με 95 --> (97+91+Χ+100) μεγαλύτερο ή ίσο με 95*4 --> Χ μεγαλύτερο ή ίσο με [380-(97+91+100)] --> Χ μεγαλύτερο ή ίσο με (380-288) --> Χ μεγαλύτερο ή ίσο με 92. Άρα 92 ο χαμηλότερος αριθμός του 3ου διαγωνίσματος για Μ.Ο. 95

Η Ψηφοφορία

Όσοι ψηφίζουν "Υπέρ", να σηκώσουν το χέρι τους, είπε ο πρόεδρος του δεκαπεντα-μελούς συμβουλίου ενός σχολείου. Μετά την καταμέτρηση, βρέθηκε ότι "Υπέρ" της πρότασης είχε ψηφίσει μια πλειοψηφία 8 μαθητών. Αποκαλύφθηκε όμως, ότι μερικοί μαθητές είχαν σηκώσει και τα δύο χέρια τους. Οι μαθητές αυτοί ήταν το 8% , εκείνων που ψήφισαν "Υπέρ". Έγινε λοιπόν νέα ψηφοφορία που έφερε το αντίθετο αποτέλεσμα. Δηλαδή, τα "Κατά", ήταν περισσότερα των "Υπέρ" κατά 4 . Πόσοι ήταν οι παρευρισκόμενοι μαθητές; (Κατ.34/Νο.706)

Λύση

Οι παραβρισκόμενοι μαθητές ήσαν 280. Έστω ότι οι μαθητές ήταν «α». Κατά την δεύτερη ψηφοφορία, όπου ήταν και η σωστή, αυτοί που ψήφισαν «Κατά» ήταν 4 περισσότεροι από αυτούς που ψήφισαν «Υπέρ». Συνεπώς «Κατά» ψήφισαν [(α/2)+2] μαθητές και «Υπέρ» ψήφισαν [(α/2-2)] μαθητές. Στην πρώτη ψηφοφορία, εκείνοι που ψήφισαν «Κατά» ήταν όσοι και στην δεύτερη ψηφοφορία, δηλαδή [(α/2)+2]. Οι ψήφοι όμως που βρέθηκαν «Υπέρ», ήσαν όσοι στην δεύτερη φορά , συν τόσοι παραπάνω, όσοι ήσαν και αυτοί που σήκωσαν και τα δύο χέρια. Αν λοιπόν ονομάσουμε «χ» τους μαθητές που διπλοψήφισαν , τότε τα «Υπέρ» την πρώτη φορά ήταν[(α/2)-2+χ]. Με βάση όμως των δεδομένων του προβλήματος, έχουμε: χ=(8/100)*[(α/2)-2+χ] --> 100χ=8*(α-2*2+2χ)/2 --> 100χ=4*(α-4+2χ) --> 100χ=4α-16+8χ --> 100χ-8χ= 4α-16 --> 92χ= 4α-16 (1) Αλλά κατά την πρώτη ψηφοφορία, οι ψήφοι που ήσαν «Υπέρ» βρέθηκαν να είναι περισσότεροι από αυτούς που ήσαν «Κατά». Συνεπώς έχουμε την εξίσωση: [(α/2)-2+χ]=[(α/2)+2+8 --> [(α-(2*2)+2χ)]/2=[(α+(2*2)+2*8]/2 --> (α-4+2χ)/2=(α+4+16)/2 --> 2*(α-4+2χ)=2*(α+20) --> 2α-8+4χ=2α+40 --> 2α-2α+4χ=40+8 --> 4χ=48 --> χ=48/4 --> χ=12 (2) Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε: 92χ= 4α-16 --> 92*12=4α-16 --> 1.104=4α-16 --> 4α=1.104+16 --> 4α=1.120 --> α=1.120/4 --> α=280 (3) Λύση του Γ. Ριζόπουλου. log(sqrt(8)*8)/log(sqrt(sqrt(8)))*log(sqrt(4)*4)/log(sqrt(sqrt(4)))*8 -8 = 6*6*8-8=280