Τα Δώρα

Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε 9 διαφορετικά δώρα σε τέσσερα παιδιά, εάν θα δώσουμε πρώτα στο πιο μικρό παιδί 3 δώρα και στα άλλα 3 παιδιά από 2 δώρα στο καθένα;

Πηγή: Εξετάσεις για τα Α.Ε.Ι (Κύπρος, 2001) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/blog-post_6246.html

Λύση

Στο μικρότερο παιδί μπορούμε να μοιράσουμε τα 9 δώρα ανά 3 με:
9!/3!6! =(1*2*3*4*5*6*7*8*9)/(1*2*3)*(1*2*3*4*5*6)=(7*8*9)/1*2*3)=504/6=84 τρόπους.
Μένουν 6 δώρα μετά από κάθε συνδυασμό του μικρού παιδιού να μοιρασθούν από 2 στα άλλα 3 παιδιά.Πλήθος συνδυασμών στα 3 παιδιά:
C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=(6!/2!*4!)*(4!/2!*2!)*(2!/2!*0!)=15*6*1=90 τρόπους
Όλοι οι συνδυασμοί για τα 9 παιδιά ανέρχονται σε: 84*90=7.560 τρόπους

Χωρίς Υπόλοιπο

Ο αριθμός 2.520 είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί με καθένα από τους αριθμούς, από το 1 έως το 10, χωρίς υπόλοιπο. Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί  με καθένα από τους αριθμούς, από το 1 ως το 20, χωρίς υπόλοιπο;

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/blog-post_8522.html

Λύση

(α)Το Ε.Κ.Π των αριθμών 1,2,3,..9,10 ήτοι:
2^3*3^2*5*7=8*9*5*7=2.520
(β)Το Ε.Κ.Π των αριθμών 1,2,3,..19,20 ήτοι:
2^4*3^2*5*7*11*13*17*19=16*9*5*7**11*13*17*19=232.792.560

Οι Δείκτες του Ρολογιού

Όπως βλέπετε στην ανωτέρω εικόνα ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης του ρολογιού βρίσκονται ο ένας επάνω στον άλλο στην ένδειξη 12. Ποια ώρα θα ξανασυναντηθούν και πόσες φορές θα συμβεί αυτό μέσα σε διάστημα δώδεκα ωρών; (Κατ.34/386)

Διαβάστε περισσότερα »

Περιπτεράς και Ανέντιμος Πελάτης

Πρωί – πρωί κάποιος σταματάει σε ένα περίπτερο και ζητάει από τον περιπτερά τσιγάρα, έναν αναπτήρα, περιοδικά, και μια εφημερίδα.

Μόλις τα παίρνει ο πελάτης ακολουθεί η εξής στιχομυθία:

- «Πόσο κάνουν;»

- «12€.»

Βγάζει ο πελάτης και δίνει στο περιπτερά ένα χαρτονόμισμα των 50€.

-«Αμάν, πρωΐ – πρωΐ που να βρώ ψιλά να σου χαλάσω 50€. Είσε ο πρώτος πελάτης. Περίμενε, λέει ο περιπτεράς στο πελάτη, να στείλω τον γιό μου δίπλα στο φαρμακείο να το αλλάξει, γιατί δεν έχω ψιλά.»

Σχεδόν αμέσως ο γιος του επιστρέφει με τα ψιλά, παίρνει ο πελάτης και τα ρέστα των 38€, φεύγει κι’ εξαφανίζεται. Όμως, σχεδόν ταυτόχρονα, ο φαρμακοποιός από δίπλα βγαίνει από το φαρμακείο κρατώντας το χαρτονόμισμα των 50€ και λέει στον περιπτερά:

-«Γιώργο, το χαρτονόμισμα που μου έφερε ο γιος σου  είναι πλαστό.»

- «Πλαστό; Α, τον άτιμο!!»

Και βγάζει ο περιπτεράς από το συρτάρι του ένα γνήσιο χαρτονόμισμα των 50€, το δίνει στον φαρμακοποιό και παίρνει το πλαστό με σκοπό να κάνει (ίσως;) καταγγελία στην αστυνομία.

Ερώτημα:

Πόσα χρήματα έχασε ο περιπτεράς από αυτή την συναλλαγή;

Του μαθηματικού Νίκου Φραγκάκη ( Doloros)

Λύση

Βλέπε λύση:
http://papaveri48.blogspot.gr/2017/09/blog-post_27.html

Ο Αριθμός

Να βρεθεί ένας τετραψήφιος θετικός ακέραιος 
αριθμός, τέτοιος ώστε αν τον «σπάσουμε» σε 
δυο διψήφιους αριθμούς, τους προσθέσουμε και 
τους υψώσουμε στο τετράγωνο, το αποτέλεσμα 
να ισούται με τον αρχικό αριθμό.

Λύση

Έστω «α^2» ο ζητούμενος αριθμός τότε ονομάζουμε «x» και «y» τους δύο διψήφιους που προκύπτουν από το σπάσιμο του. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος λαμβάνουμε τις σχέσεις:
(x+y)^2=α^2 (1)
x+y=α (2)
οπότε οι δυο διψήφιοι είναι ο «x», και ο (y=α-x).
α^2=100x+y ---> α^2=100x+α-x ---> α^2=99x+α ---> α^2-α=99x ---> x=α*(α-1)/99 (3)
Ο «x» είναι θετικός ακέραιος πολλαπλάσιο του 99. ∆ιακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Για α=99 ---> x=α*(α-1)/99 ---> x=99*(99-1)/99 ---> x=99-1 ---> x=98
Για α=99 ---> x+y=α ----> y = α-x ----> y=99-98 ---> y=1 ή 01
Άρα ο αριθμός σε αυτήν την περίπτωση είναι ο 9.801
Για α=45 ---> x=α*(α-1)/99 ---> x=45*(45-1)/99 ---> x=(45*44)/99 ---->
x= 1.980/99 ----> x=20
Για α=45 ---> x+y=α ----> y = α-x ----> y=45-20 ----> y=25
Άρα ο αριθμός σε αυτήν την περίπτωση είναι ο 2.025
Για α=55 ----> x=α*(α-1)/99 ---> x=55*(55-1)/99 ---> x=(55*44)/99 ---->
x= 2.970/99 ----> x=30
Για α=55 ---> x+y=α ----> y = α-x ----> y=55-30 ----> y=25
Άρα ο αριθμός σε αυτήν την περίπτωση είναι ο 3.025
Επαλήθευση:
(x+y)^2=α^2 ---> (98+01)^2=99^2 ---> 99^2=99^2=9.801
x+y=α ---> 98+01=99
(x+y)^2=α^2 ---> (20+25)^2=45^2 ---> 45^2=45^2=2.025
x+y=α ---> 20+25=45
(x+y)^2=α^2 ---> (30+25)^2=55^2 ---> 55^2=55^2=3.025
x+y=α ---> 30+25=55

Νέο Έτος 2018!!

Εύχομαι στους φίλους της ιστοσελίδας:

Χ Ρ Ο Ν Ι Α  Π Ο Λ Λ Α!!

Ε Υ Τ Y Χ Ι Σ Μ Ε Ν Ο

ΚΑΙ  ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟ

Τ Ο  Ν Ε Ο  Ε Τ Ο Σ  2 0 18!!

H A P P Y  N E W  Y E A R  2 0 18!!

 

Το Δίλλημα

Ένας κλέφτης, που ζυγίζει 80κιλά, έκλεψε από ένα χρυσοχοΐο  τρεις χρυσές σφαίρες, που η κάθε μια ζυγίζει ένα κιλό. Κι ενώ η αστυνομία τον κυνηγάει, φτάνει μπροστά σε μια κρεμαστή γέφυρα όπου μια πινακίδα προειδοποιεί:

"Το ανώτατο βάρος, για να διασχίσει κάποιος τη γέφυρα, είναι μέχρι 82κιλά".

Με ποιο τρόπο θα περάσει τη γέφυρα, χωρίς να στερηθεί τη τρίτη χρυσή σφαίρα;

Λύση

Λύση του Ανώνυμου
Σε πραγματικές συνθήκες δεν χρειάζεται να κάνει τίποτε. Θα περάσει την γέφυρα, η οποία θα αντέξει το βάρος του, καθώς σε οποιαδήποτε κατασκευή υπάρχει πάντα συντελεστής ασφαλείας. Αν ωστόσο υποθέσουμε ότι η γέφυρα θα πέσει άμεσα αν φορτιστεί με βάρος μεγαλύτερο των 82 κιλών, τότε τα πράγματα είναι πολύ επικίνδυνα, αφού η γέφυρα μπορεί να πέσει ακόμη κι αν την περάσει χωρίς έξτρα βάρος. Ο βηματισμός του και μόνο αυξάνει την μέγιστη φόρτιση της γέφυρας πάνω από τα 80 κιλά. Αν έχει σκοινί, το καλύτερο είναι να δέσει τον σάκο και να τον τραβήξει αφού περάσει απέναντι. Αν δεν έχει, αλλά έχει τον απαιτούμενο χρόνο, τον συμφέρει να τις περάσει μία-μία με προσοχή να μην μετακινεί το σώμα του κατακόρυφα. Αν δεν έχει ούτε τον χρόνο, το καλύτερο είναι να προσπαθήσει να τις πετάξει απέναντι και να περάσει μετά. Εννοείται, ότι δεν μπορεί να περάσει τη γέφυρα κάνοντας τον ζογκλέρ με τις μπάλες, έτσι ώστε ανά πάσα στιγμή να έχει 2 στα χέρια του και την άλλη στο αέρα, αφού κάτι τέτοιο θα δημιουργούσε στη γέφυρα μια φόρτιση άνω των 83 κιλών.