Χριστούγεννα 2015!!

Η Ιστοσελίδα του Papaveri εύχεται σε όλους τους φίλους της

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!

Και

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!

Ο Αριθμός

Να βρείτε έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό, με τα εξής χαρακτηριστικά:

(α)Το ψηφίο των μονάδων του είναι πολλαπλάσιο του  4.

(β)Το ψηφίο των δεκάδων του είναι το μισό του ψηφίου των μονάδων του.

(γ)Το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι διαιρέτης του 5.

(δ)Το ψηφίο των χιλιάδων του είναι ίσο με το ψηφίο των εκατοντάδων του
μειωμένο κατά μια μονάδα.(Κατ.34)

Πηγή:http://49gym-athin.att.sch.gr/math/Math_Et_C_class.htm
Διευκρίνιση:
Το πρόβλημα έχει τρεις λύσεις, οι οποίες είναι αποδεκτές.

Λύση

(α)Επειδή το ψηφίο των μονάδων είναι πολλαπλάσιο του 4, θα είναι 0, 4, ή 8.
(β)Επειδή το ψηφίο των δεκάδων είναι το μισό του ψηφίου των μονάδων, θα είναι 0, 2, ή 4.
(γ)Επειδή το ψηφίο των εκατοντάδων είναι διαιρέτης του 5, θα είναι 1, ή 5.
(δ)Επειδή το ψηφίο των χιλιάδων είναι ίσο με το ψηφίο των εκατοντάδων μειωμένο κατά μια μονάδα, θα είναι 0, ή 4. Μηδέν, όμως, αποκλείεται, διότι τότε ο αριθμός θα είναι τριψήφιος και όχι τετραψήφιος.
Άρα ο αριθμός που ζητάμε είναι: 4.500, ή 4.524, ή 4.548. Επίσης και οι αριθμοί:5.500, 5.524, 5.548 και 1.100,1.124, 1.148 Και οι τρεις αριθμοί διαφέρουν μεταξύ τους κατά είκοσι τέσσερις μονάδες.

Μαγικά Τετράγωνα και Μαγικά Άστρα

Εκδόθηκε το βιβλίο μου με τίτλο "Ιστορική Αναφορά για τα Μαγικά Τετράγωνα και τα Μαγικά Άστρα". Περιέχει την ιστορική αναδρομή από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, το "στήσιμο" των Μαγικών Τετραγώνων και Άστρων κ.α. Όσοι επιθυμούν να το αγοράσουν μπορούν ν' απευθυνθούν σ' εμένα μέσω του ιστολογίου μου.

Rebus No.309 (7)

Λύση

Παλμύρα* [Παλ**μοιρα***]
*Η Παλμύρα υπήρξε κατά την αρχαιότητα σημαντική πόλη της κεντρικής Συρίας, κτισμένη σε μία όαση 215 χιλιόμετρα βορειοανατολικά της Δαμασκού και 120 χιλιόμετρα νοτιοδυτικά του Ευφράτη. Για αιώνες ήταν ζωτικός σταθμός για τα καραβάνια που διέσχιζαν τη Συριακή έρημο και ήταν γνωστή ως η «Νύμφη της Ερήμου». Το ελληνικό όνομα «Παλμύρα» αποτελεί μετάφραση του αρχικού αραμαϊκού ονόματος Tadmor, που σημαίνει «φοινίκια πόλη». Η σύγχρονη κωμόπολη, δίπλα στα αρχαία ερείπια ονομάζεται και πάλι Tadmor. Η οικονομία της εξαρτάται από τον τουρισμό. Στη Βίβλο αναφέρεται ως Ταμάρ ή Θεδμόρ ή Θοεδμόρ ενώ στα αραμαϊκά Ταδμόρ ή Ταμμόρ, λέγεται πως την έκτισε ο Βασιλιάς Σολομών ως πόλη σταθμό των καραβανιών μεταξύ Συρίας και Μεσοποταμίας. Η Παλμύρα έμεινε ονομαστή για τον πλούτο της κατά τη ρωμαϊκή εποχή, οπότε βασίλευσε και η θρυλική βασίλισσά της Ζηνοβία. Ωστόσο, μνημονεύεται για πρώτη φορά τη 2η χιλιετία π.Χ.. Τότε ήταν ένας ακόμα κόμβος στο εκτεταμένο εμπορικό δίκτυο που ένωνε τη Μεσοποταμία με τη βόρειο Συρία. Το Tadmor μνημονεύεται στη Βίβλο (Β΄ Χρονικών 8:4) ως μια πόλη της ερήμου που οχυρώθηκε από τον Σολομώντα. Επίσης, από τον Ιώσηπο, ως κτισμένη από τον Σολομώντα (Ιουδαϊκή Αρχαιολογία - Βιβλίο VIII), μαζί με το ελληνικό όνομα Παλμύρα. (Tadmor είναι το όνομα της Παλμύρας και στη σύγχρονη εβραϊκή γλώσσα). Για τη πόλη αυτή, πριν τη Ρωμαϊκή περίοδο, υπάρχει επίσης η είδηση εκ παραδόσεως ότι είχε καταστραφεί από τον Βασιλιά των Βαβυλωνίων Ναβουχοδονόσορα.
**Κόμης Pál Teleki de Szék (Budapest1879 – Budapest1941) Ούγγρος πολιτικός, πρωθυπουργός της Ουγγαρίας 1920- 1921 και 1939 - 1941. Ήταν επίσης ένας διάσημος ειδικός στη γεωγραφία, καθηγητής πανεπιστημίου, γαιοκτήμονα στην Τρανσυλβανία, πολιτικός, ηγέτης προσκόπων επίτιμο μέλος της Ουγγρικής Ακαδημίας Επιστημών.
***Οι Μοίρ(ες)α, οντότητες της αρχαίας ελληνικής μυθολογίας, παριστάνονταν συνήθως ως τρεις γυναικείες μορφές που κλώθουν. Η κλωστή που κρατούν στα χέρια τους, συμβολίζει την ανθρώπινη ζωή, δεικνύοντας το πόσο μικρή και αδύναμη μπορεί αυτή να είναι.
Η πρώτη Μοίρα, η Κλωθώ (συμβολίζει και το παρόν), γνέθει το νήμα της ζωής.
Η δεύτερη Μοίρα, η Λάχεσις (το παρελθόν), μοιράζει τους κλήρους, καθορίζει τι θα «λάχει» στον καθένα (εξού και λαχείο).
Η τρίτη Μοίρα, τέλος, η Άτροπος (το μέλλον), κόβει,όταν έρθει η ώρα, την κλωστή της ζωής των ανθρώπων.
Οι Μοίρες είναι επομένως οι δυνάμεις που ευθύνονται για τα καλά και τα κακά της ζωής του κάθε θνητού, από τη γέννηση μέχρι το θάνατό του. Παίρνουν την δύναμή τους από τον Δία. ο οποίος για το λόγο αυτό καλείται και «Μοιραγέτης». Στις Μοίρες υπακούουν μέχρι και οι θεοί, οι οποίοι έχουν όμως τη δύναμη να την αλλάζουν. Μια αλλαγή τέτοια όμως θα διατάρασσε την αρμονία του σύμπαντος κόσμου. Στον Ησίοδο οι Μοίρες είναι κόρες της Νύχτας ή του Δία και της Θέμιδας. Στα ομηρικά έπη παρουσιάζονται ως μία και μόνη: η «Αίσα ή Μοίρα», η οποία είναι σύνθρονη του Δία και δίνει σε κάθε θνητό το μερίδιό του από τις χαρές και τις λύπες, ορίζοντας έτσι το πεπρωμένο του. Συχνά οι αρχαίοι Έλληνες τη Μοίρα, την Αίσα, την Ειμαρμένη ή την Ανάγκη, την έβαζαν πάνω και από τους θεούς. Ο Πίνδαρος πρόσθεσε στις τρεις Μοίρες την Τύχη, που θεωρεί μάλιστα ότι έχει μεγαλύτερο κύρος από τις άλλες αδελφές της. Αλλά την αρχική τριάδα ξανασυναντάμε και αργότερα στον Πλάτωνα που στο έργο του Πολιτεία τις ονομάζει κόρες της Ανάγκης και τις παρουσιάζει καθισμένες σε ένα θρόνο, η καθεμιά τους με χιτώνες λευκούς και στεφάνια στο κεφάλι τους να συνοδεύουν με τη φωνή τους την αρμονία που βασιλεύει στις ουράνιες σφαίρες. Η λέξη «μοίρα» βγαίνει από το αρχαίο ρήμα μείρομαι< μοιράζω, είναι δηλαδή το «μερίδιο», το κομμάτι που παίρνει ο καθένας από τη μοιρασιά ενός όλου.

Ο Διακόπτης

Στην κορυφή ενός λόφου βρίσκεται ένα μικρό σπίτι. Το σπίτι αυτό έχει μόνο ένα δωμάτιο, χωρίς παράθυρο, είναι χαμηλοτάβανο, άδειο και κλειστό από όλες τις πλευρές με τοίχο. Το μόνο που υπάρχει μέσα είναι μια λάμπα. Η μόνη είσοδος του είναι μια πόρτα, η οποία είναι τελείως σφραγισμένη γύρω-γύρω όταν είναι κλειστή. Έξω από το σπίτι και δίπλα στην πόρτα υπάρχουν τρεις διακόπτες που ανάβουν την λάμπα. Μόνο ο ένας λειτουργεί. Βρίσκεσαι έξω από το σπίτι και η πόρτα είναι κλειστή. Ποιος από τους τρεις διακόπτες ανάβει τη λάμπα, ώστε όταν ανοίξουμε την πόρτα η λάμπα να είναι αναμμένη; 

Διευκρίνιση

Μπορείτε να πατήσετε όσες φορές θέλετε οποιονδήποτε διακόπτη μέχρι τη στιγμή που θα αποφασίσετε να ανοίξετε την πόρτα. Εάν, όμως, ανοίξετε την πόρτα τότε δεν μπορείτε να πατήσετε ξανά κανέναν διακόπτη.(Κατ.27)

Πηγή:http://omakoeio.blogspot.gr/2011/03/blog-post.html

Λύση

Γυρίζουμε τον 1ο και τον 2ο διακόπτη σε θέση "ΟΝ" και περιμένουμε 5 λεπτά, ώστε αν κάποιος εξ αυτών ανάβει την λάμπα, εκείνη να θερμανθεί. Μετά τα 5 λεπτά κλείνουμε τον 2ο και γυρίζουμε τον 3ο σε θέση "ΟΝ". Ανοίγουμε την πόρτα:
- Εάν η λάμπα είναι σβηστή και ζεστή, τότε είναι ο 2ος διακόπτης.
- Εάν η λάμπα είναι σβηστή και κρύα, τότε θα είναι ο 3ος διακόπτης (που δεν πειράξαμε καθόλου).
- Εάν η λάμπα ανάβει και είναι ζεστή, τότε είναι ο 1ος (που τον αφήσαμε ανοικτό.)
- Εάν είναι αναμμένη και κρύα, τότε είναι ο 3ος διακόπτης.

Οι Βρύσες

Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή. Μια άλλη βρύση για να την αδειάσει χρειάζεται μια ώρα περισσότερο. Εάν ανοίξουμε και τις δύο βρύσες μαζί η δεξαμενή γεμίζει σε 2 ώρες. Πόσες ώρες απαιτούνται για να γεμίσει τη δεξαμενή η πρώτη βρύση; (Κατ.34)

Διευκρίνιση: 

Αναλυτική λύση.

Πηγή:http://49gym-athin.att.sch.gr/math/Ask_Oikon_C_Class.pdf

Λύση

Για να γεμίσει τη δεξαμενή η πρώτη βρύση χρειάζεται μια ώρα. Έστω [α] η ποσότητα νερού της δεξαμενής. Εάν η «Α» βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε «x» ώρες, η «Β» βρύση την αδειάζει σε (χ+1) ώρες. Οπότε, σε 1 ώρα η «Α» βρύση γεμίζει το (α/x) της δεξαμενής, ενώ η «Β» βρύση αδειάζει το [α/(x+1)]. Σε 2 ώρες η «Α» βρύση έχει γεμίσει τα (2α/x) της δεξαμενής και η «Β» βρύση έχει αδειάσει τα [2α/(χ+1)] της δεξαμενής. Επειδή μετά από 2 ώρες η δεξαμενή γεμίζει, η ποσότητα του νερού που περιέχει είναι «α». Άρα έχουμε την εξίσωση:
2α/x-2α/(x+1)=α
Απλοποιούμε τα «α» κι’ έχουμε:
2/x-2/(x+1)=1
2*(x +1)-2*x =1*x *(x +1)
2x+2-2x=x^2+x
2=x^2+x
x^2+x-2=0
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x = [-β+/-sqrt[(β)^2-4αγ]/2*α]
x=[-1+/-sqrt[(1^2)-4*1*(-2)]/2*1]
x = [-1+/-sqrt[1+8]/2 ---> x= (-1+/-3)/2
x = (-1+3)/2 ---> x = 2/2 ---> x=1 και x = (-1-3)/2 ---> x = -4/2 ---> x= -2
Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες χ = 1 και χ = -2.
Οπότε η «Α» βρύση θα γεμίσει τη δεξαμενή σε 1 ώρα.