Τα Φρούτα

Με ποιους αριθμούς, στο ανωτέρω σχήμα, πρέπει ν’ αντικαταστήσουμε τα φρούτα του πρώτου μέλους της εξίσωσης, ώστε να συμφωνεί με το σύνολο του δεύτερου μέλους της εξίσωσης;

Διευκρίνιση:

Σε κάθε ίδιο φρούτο αντιστοιχεί ίδιος αριθμός.

Λύση

Το μήλο ισούται με 80, ο ανανάς ισούται με 230,και το αχλάδι ισούται με 90. Έστω «α» το μήλο, «β» ο ανανάς και «γ» το αχλάδι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ = 400 (1)
3α+β= 470 (2)
β+2γ = 410 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
3α+β= 470 ---> β=470-3α (4)
Αντικαθιστούμε στη (3) τη (4) κι’ έχουμε:
β+2γ = 410 ---> 470-3α+2γ=410 ---> 3α=470-410+2γ ---> 3α=60+2γ --->
α=(60+2γ)/3 (5)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
β+2γ = 410 ---> β=410-2γ (6)
Αντικαθιστούμε τη (5) και την (6) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ = 400 ---> (60+2γ)/3+410-2γ+γ=400 ---> 60+2γ+3*410-3*2γ+3γ ----> 60+2γ+1.230-6γ+3γ=1.200 ---> 60+1230+5γ-6γ=1.200 --->
γ=60+1.230-1.200 ---> γ=90 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (5) κι’ έχουμε:
α=(60+2γ)/3 ----> α=[60+(2*90)]/3 ----> α=(60+180)/3 ----> α=240/3 ----> α=80 (8)
Αντικαθιστούμε την (8) στη (4) κι’ έχουμε:
β=470-3α ---> β=[470-(3*80)] ---> β=470-240 ---> β=230 (9)
Επαλήθευση:
α+β+γ = 400 ---> 80+230+90=400
3α+β= 470 ---> [(3*80)+230 = 470 ---> 240+230=470
β+2γ = 410 ---> [230+(2*90)] = 410 ---> 230+180 = 410   ο.ε.δ.

Τα Βραβεία

Σ’ ‘ένα διαγωνισμό δόθηκαν τέσσερα βραβεία, μια μπάλα, ένα βιβλίο, ένα CD, κι’ ένα καπέλο. Οι νικητές ήταν ο Γιώργος, η Άννα, ο Νίκος και η Βάσω.

Η Άννα πήρε το βιβλίο.

Ο Νίκος δεν πήρε ούτε το καπέλο, ούτε τη μπάλα.

Η Βάσω δεν πήρε το καπέλο.

Ποιος πήρε το CD;

Διαβάστε περισσότερα »

Ο Συνδυασμός

Μια μεγάλη κούπα χωράει διπλάσια ποσότητα υγρού από μία μεσαία κούπα και μια μεσαία κούπα χωράει διπλάσια ποσότητα υγρού από μια μικρή κούπα. Βλέπε ανωτέρω σχήμα. Στο κατωτέρω πίνακα δίδονται τέσσερις συνδυασμοί Α, Β, Γ, και Δ.

Από τους ανωτέρω συνδυασμούς οι τρεις περιέχουν την ίδια ποσότητα γάλακτος, ενώ ο τέταρτος συνδυασμός διαφέρει στην ποσότητα. Ποιος είναι αυτός ο συνδυασμός;

Διαβάστε περισσότερα »

Το Διάστημα

Τέσσερα παιδιά, ο Κώστας, η Μαρία, ο Γιάννης, και η Ελένη, στάθηκαν σε μια ευθεία γραμμή, έστω «ΑΒ», που έχει μήκος 25 μέτρα, για να παίξουν ένα παιγνίδι.

Ο Κώστας είναι πρώτος στη σειρά και η Ελένη είναι τελευταία στη σειρά.

Η απόσταση του Κώστα από την Ελένη είναι 25μ.

Η απόσταση του Κώστα από το Γιάννη είναι 15μ.

Η απόσταση της Μαρίας από την Ελένη είναι 15μ.

Ποια είναι η απόσταση της Μαρίας από το Γιάννη;

Λύση

Η απόσταση της Μαρίας από το Γιάννη είναι 5μ. Εφόσον η απόσταση του Κώστα από το Γιάννη είναι 15μ. η απόσταση του Γιάννη από την Ελένη θα είναι η διαφορά από το συνολικό μήκος, δηλαδή, 25-15 = 10μ. Και αφού η απόσταση της Μαρίας από την Ελένη είναι 15μ. η απόσταση της Μαρίας από το Γιάννη θα είναι η διαφορά 15-10 = 5μ.

Οι Τρεις Αριθμοί

Να βρεθούν οι τρεις μικρότεροι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί που το γινόμενο τους ισούται με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους.

Διαβάστε περισσότερα »

Οι Ηλικίες

Η Τούλα έχει τρία παιδιά, ενώ η φίλη της η Μαριέττα έχει τέσσερα παιδιά.
Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών και των μητέρων
είναι 284.888.450. Να βρεθούν:

• α) Οι ηλικίες των παιδιών και των μητέρων.
• β) Τι ηλικία είχαν οι δύο μητέρες όταν γέννησαν  το μεγαλύτερο παιδί;

Διευκρίνιση:

Όλα τα παιδιά πάνε σχολείο, εκτός από το μικρότερο παιδί της Μαριέττας.

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 284.888.450 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και βρίσκουμε:
284.888.450=2*5^2*7^2*11^2*31^2
α) Επειδή η κα. Τούλα έχει τρία παιδιά που πάνε σχολείο οι ηλικίες τους είναι 5, 7, και 11 αντίστοιχα. Ενώ οι ηλικίες των παιδιών της Μαριέττας, που είναι τέσσερα, είναι 2, 5, 7, και 11 αντίστοιχα, εκ των οπίων τα τρία πάνε σχολείο ενώ το μικρότερο όχι.
β) Οι ηλικίες των μητέρων και στις δύο περιπτώσεις είναι 31 ετών, άρα συνομήλικες. Το μεγαλύτερο παιδί το γέννησαν και οι δύο μητέρες σε ηλικία: 31-11=20 ετών.

Ο Έμπορος

Ένας έμπορος οικιακών ειδών αγόρασε 18 δωδεκάδες φλιτζανάκια και πιατάκια  του καφέ προς 120 δρχ. το ένα. Κατά τη μεταφορά, η οποία του κόστισε το 1/6 της αξίας της αγοράς τους, έσπασαν μερικά και τα υπόλοιπα τα πούλησε προς 180 δρχ. το ένα, ώστε να εισπράξει το ποσό που του κόστισαν κατά την αγορά τους και να μη ζημιωθεί. Πόσα φλιτζανάκια του καφέ έσπασαν;

Λύση

Έσπασαν 48 φλιτζανάκια του καφέ. Έστω «α» τα φλιτζανάκια του καφέ. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: Κατ’ αρχήν βρίσκουμε πόσα φλιτζανάκια του καφέ είναι οι 18 δωδεκάδες.
18*12=216 φλιτζανάκια του καφέ.
Βρίσκουμε πόσο πλήρωσε για τα φλιτζανάκια του καφέ.
216*120=25.920δρχ.
Η μεταφορά στοίχισε το 1/6 της συνολικής αξίας που πλήρωσε ο έμπορος για να τ’ αγοράσει.
25.920*1/6=4.320δρχ.
Συνολική αξία για την αγορά τους.
25.920+4320=30.240δρχ.
Κατά τη μεταφορά του σπάνε μερικά φλιτζανάκια του καφέ και για να μη ζημιωθεί πουλάει τα υπόλοιπα προς 180 δρχ. το ένα για να εισπράξει την αξία που πλήρωσε για να τ’ αγοράσει. Βάσει των ανωτέρω έχουμε την εξίσωση:
(216-α)*180=30.240 ---> 38.880-180α =30.240 ---> 180α=38.880-30.240 ---> 180α=8.640 ---> α=8.640/180 180α=38.880-30240 ---> α=48 φλιτζανάκια του καφέ
Επαλήθευση:
(216-α)*180=30.240 ---> (216-48)*180=30.240 ---> 168*180=30.240 ο.ε.δ.

Οι Συνέταιροι

Δύο συνέταιροι οινοπαραγωγοί, ο Γιώργος και ο Νίκος, έχουν από κοινού ένα αμπέλι. Στο Γιώργο ανήκουν τα 3/8 του αμπελιού και στο Νίκο ανήκουν τα 5/8 του αμπελιού.

(α)Για ν’ αγοράσουν λίπασμα πλήρωσαν και οι δύο μαζί 40.000δρχ. Πόσα χρήματα έδωσε ο κάθε συνέταιρος για ν’ αγοράσουν το λίπασμα;

(β)Για να τρυγήσουν το αμπέλι, δούλεψαν οι ίδιοι κι’ ένας εργάτης. Και οι τρεις δούλεψαν το ίδιο εξ’ ίσου. Ο εργάτης για την εργασία του πληρώθηκε 16.000δρχ.

Πόσα χρήματα αναλογούν στο κάθε συνέταιρο για τη πληρωμή του εργάτη;

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(α)Για την αγορά του λιπάσματος, ο κάθε συνέταιρος πλήρωσε:
Γιώργος:(3*40.000)/8=120.000/8=...15.000δρχ
Νίκος:(5*40.000)/8=200.000/8=…...25.000δρχ.
...........................................Σύνολο: 40.000δρχ.
(β)Για τη πληρωμή του εργάτη, ο κάθε συνέταιρος πλήρωσε:
Γιώργος:(3*16.000)/8=48.000/8=.6.000δρχ
Νίκος:(5*16.000)/8=80.000/8=...10.000δρχ.
......................................Σύνολο: 16.000δρχ.

Η Εκδρομή

Οι 85 μαθητές ενός σχολείου κανόνισαν να πάνε μια ημερήσια εκδρομή  συνολικού κόστους 510€. Επειδή κάποιοι μαθητές δεν είχαν τη δυνατότητα να πληρώσουν το εισιτήριο που τους αναλογούσε, οι υπόλοιποι μαθητές τους επιβαρύνθηκαν με το επιπλέον ποσό του 1,50€. Πόσοι μαθητές δεν πλήρωσαν εισιτήριο;

Λύση

Δεν πλήρωσαν εισιτήριο 17 μαθητές. Έστω «α» οι μαθητές που δεν πλήρωσαν εισιτήριο. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Κατ’ αρχήν βρίσκουμε την αξία του εισιτηρίου που θα πληρώσει κάθε μαθητής διαιρώντας την συνολική αξία με το πλήθος των μαθητών:
510/85=6€ Άρα κάθε μαθητής πρέπει να πληρώσει 6€. Επειδή, όμως, ορισμένοι μαθητές δεν μπορούσαν να πληρώσουν το ποσό των 6€ οι υπόλοιποι μαθητές επιβαρύνθηκαν με 1,50€ επί πλέον για να καλύψουν τη διαφορά, οπότε οι υπόλοιποι μαθητές πλήρωσαν:
6+1,50 = 7,50€ ο καθένας.
Βάσει των ανωτέρω έχουμε να επιλύσουμε την εξίσωση:
(85-α)*7,50=510---> 637,50-7,50α = 510 ---> 7,50α = 637,50-510 ---> 7,50α = 127,50 ---> α=127,50/7,50 ---> α=17
Επαλήθευση:
(85-α)*7,50=510 ---> (85-17)*7,50=510 ---> 68*7,50 = 510 ο.ε.δ.
Κανονική αξία εισιτηρίων 85 μαθητών: 85*6€ = 510€
Αξία εισιτηρίου 17 μαθητών: 17*6€=102€
Αναλογία των 17 εισιτηρίων για τους υπόλοιπους μαθητές(68):
102/(85-17) =102/68=1,50€
Συνολική αξία εισιτηρίων 68 μαθητών: 68*6€ = ......................408€
Αξία επιβάρυνσης 17 εισιτηρίων στους 68 μαθητές: 68*1,50€ = 102€
................................................................................Σύνολο: 510€

Ο Κωδικός

Ο Γιάννης θυμάται όλα τα ψηφία του κωδικού αριθμού της κλειδαριάς του ποδηλάτου του εκτός από το τελευταίο. Ξέρει όμως ότι ο κωδικός αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 9. Τα ψηφία που θυμάται είναι τα κάτωθι:

6

3

8

1

2

?

Ποιον αριθμό πρέπει να βάλει στο τέλος για να ανοίξει η κλειδαριά;

Λύση

Ο κωδικός είναι ο αριθμός 638127. Πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού να είναι πολλαπλάσιο του 9 Έχουμε 6+3+8+1+2 = 20. Άρα ο αριθμός που λείπει είναι ο 7.
6+3+8+1+2 = 20+7 = 27, το οποίο είναι το επόμενο πολλαπλάσιο του εννέα μετά το 18.

Τα Ευρώ

Ο Μιχάλης και ο Νίκος έχουν τα ίδια χρήματα σε ευρώ. Πόσα ευρώ πρέπει να δώσει ο Μιχάλης στο Νίκο για να έχει ο Νίκος 20€ περισσότερα από το Μιχάλη;

Λύση

Πρέπει να του δώσει €10. Τα χρήματα του Μιχάλη μειώνονται κατά το ποσό των χρημάτων που δίνει στο Νίκο. Άρα η διαφορά των χρημάτων τους είναι το διπλάσιο των χρημάτων που δίνει ο Μιχάλης στο Νίκο.
Ή. Έστω «x» τα χρήματα που έχουν αρχικά και «y» τα χρήματα που πρέπει να δώσει ο Μιχάλης στον Νίκο. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση: Νίκος(x+y) - Μιχάλης(x-y)=20 ---> x+y-x+y=20 ---> 2y=20 ---> y=20/2 ----> y=10

Τα Κουνέλια

Ένας αγρότης είχε στο κτήμα του μία κουνέλα. Η κουνέλα γέννησε επτά κουνελάκια. Τα κουνελάκια, μαζί µε την μητέρα γέννησαν από επτά κουνελάκια. Έπειτα, η κουνέλα και όλοι οι απόγονοί της γέννησαν από επτά ακόμα. Πόσα κουνέλια είναι τώρα, μαζί µε τη μητέρα;

Λύση

1η γέννα: 7 νέα κουνέλια, σύνολο 8 κουνέλια, μαζί με τη κουνέλα.
2η γέννα: 8*7=56 νέα κουνέλια, σύνολο 8+56 =64 κουνέλια
3η γέννα: 64*7=448 νέα, σύνολο 64+448=512 κουνέλια
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ
1η φορά: 1+7=8
2η φορά: 8+8*7=8*(1+7)= 8*8=8^2=64
3η φορά: 8^2+7*8^2 = (1+7)8^2=8*8^2=8^3=512
...................................
...................................
...................................
ν-οστή φορά: 8^ν
και γενικεύοντας και το 7 σε μ αποτελέσματα κάθε φορά τότε το συνολικό αποτέλεσμα μετά από ν φορές ισούται με (μ+1)^ν

Ο Καπετάνιος

Να βρεθεί:

(α)Η ηλικία του καπετάνιου.

(β)Ο αριθμός των παιδιών του.

(γ)Το μήκος του πλοίου του.

Εάν γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των τριών ζητούμενων ακέραιων αριθμών

ισούται με  32.118.

Διευκρίνιση:

Ο καπετάνιος έχει γιούς και κόρες, και η ηλικία του είναι μικρότερη των 100 ετών.

Πηγή: Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Ανδρέα Πούλου.

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_3323.html

 

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 32.118 σε γινόμενο παραγόντων:
32.118=2*3*53*101
Hλικία του Καπετάνιου=53 (53<100 101="">100 απορρίπτεται)
Αριθμός Παιδιών = 2*3=6 (2αγόρια+4κορίτσια,ή 3α+3κ, ή 2κ+4α)
Μήκος Σκάφους=101μ.

Ο Κρυμμένος Θησαυρός

Στο βαθύτερο σημείο μιας σπηλιάς, 7 πειρατές φρουρούν ένα θησαυρό.
Ο θησαυρός είναι κρυμμένος πίσω από 12 πόρτες.
Καθεμιά από τις οποίες έχει 12 κλειδαριές.
Όλες οι κλειδαριές είναι διαφορετικές μεταξύ τους.
Κάθε πειρατής έχει κλειδιά για κάποιες από τις κλειδαριές.
Οποιοιδήποτε τρεις πειρατές έχουν από κοινού τα κλειδιά για όλες τις κλειδαριές σε όλες τις πόρτες.
Να αποδειχτεί ότι όλοι οι πειρατές έχουν συνολικά τουλάχιστον 336 κλειδιά.

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/blog-post_9514.html

Λύση

12 πόρτες*12 κλειδαριές=144 κλειδιά. Τρεις, οποιοιδήποτε, πειρατές έχουν μαζί τουλάχιστον 144 κλειδιά. Άρα (Περιστερώνας) 144/3=48 τα κλειδιά που έχει κατ' ελάχιστο ο ένας τουλάχιστον από τους 3. Άρα αν ο τυχαίος "ένας" έχει τουλάχιστον 48 ,πρέπει και οι 7 να έχουν τουλάχιστον 48*7=336. Ή "εναλλακτικά": 48 o ένας και μένουν 2 τριάδες πειρατών (για κάθε "έναν") και η κάθε τριάδα θα έχει εξ' ορισμού 144. (144+144+48=336).

Η Τιμή του C

Εάν:

2a+b=c (1)

a+b+c=2d (2)

a+b+c+d=18 (3)

όπου a, b, c, d, θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Τότε:

c = ? (4)

Να βρεθεί ο αριθμός «c».

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/c.html

Λύση

Το «C» ισούται με 7.
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:
a+b+c+d=18 ---> 2d+d=18 ---> 3d=18 ---> d=18/3 ---> d=6 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
a+b+c=2d ---> a+b+c=2*6 ---> a+b+c=12 (5)
Τώρα έχουμε 2 εξισώσεις την (2a+b=c) και την (a+b+c=12).
Αντικαθιστούμε την (1) στη (5) κι’ έχουμε:
a+b+c=12 ---> a+b+2a+b=12 ---> 3a+2b=12
για a=1 b=4,5 απορρίπτεται, αφού ο b είναι θετικός και ακέραιος
για a=2 b=3 c=7 και d=6 αποδεκτό
για a=3 b=1,5 απορρίπτεται
για a=4 b=0 απορρίπτεται
Τελικά a=2 b=3 c=7 και d=6
Ή
Αντικαθιστούμε την (1) στη (5) κι’ έχουμε:
a+b+c=12 ---> a+b+2a+b=12 ---> 3a+2b=12 ---> 3a=12-2b ---> a=(12-2b)/3 (6)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "b" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "a" είναι ο αριθμός b=3 (7)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «b» στην (6) κι’ έχουμε:
a=(12-2b)/3 ---> a=[12-(2*3)]/3 ---> a=(12-6)/3 ---> a=6/3 ---> a=2 (8)
Αντικαθιστούμε την (8) στην (1) κι’ έχουμε:
2a+b=c ---> [(2*2)+3]=c ---> 4+3=c ---> c=7 (9)
Επαλήθευση:
2a+b = c ---> 2*2+3=c ---> 4+3 = c ---> c = 7
a+b+c=2d ---> 2+3+7=2*6 ---> 12=2*6
a+b+c+d=18 ---> 2+3+7+6=18

Η Χοροεσπερίδα

Ο αριθμός των ατόμων που χόρεψαν σε μία χοροεσπερίδα με περιττό πλήθος ατόμων, είναι άρτιος ή περιττός αριθμός;
Διευκρίνιση:
Με επεξήγηση.

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_8779.html

Λύση

Περιττός. Διότι, όταν σχηματιστούν τα ζευγάρια για χορό περισσεύει στο τέλος ένα άτομο, δηλαδή, είναι Ν-1=Ζυγός αριθμός το πλήθος των ατόμων που χόρεψαν. Εκτός κι' εάν συνυπολογίζεται και ο οικοδεσπότης ή οικοδέσποινα στο πλήθος των ατόμων που χόρεψαν, οπότε το πλήθος των ατόμων είναι ζυγός αριθμός.

Τα Kαναρίνια

Σε ένα κλουβί υπάρχουν 8 καναρίνια διαφορετικής αξίας το καθένα. Η μέση αξία των 8 καναρινιών είναι 50€. Μία μέρα, κατά τον καθαρισμό του κλουβιού, έφυγε το πιο όμορφο καναρίνι και έτσι η μέση αξία των 7 καναρινιών που απέμειναν μειώθηκε κατά 10%. Ποια ήταν η αξία του καναρινιού που έφυγε;
Πηγή:: http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2013/11/blog-post_29.html

Λύση

Η αξία του καναρινιού που έφυγε ήταν 85€. Έστω «α» η αξία του καναρινιού που έφυγε. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Μέση Αξία 8 καναρινιών: 8*50=400€.
α+7*50*(100%-10%)=8*50 --> α+350*90%=400 --> α+350*0,9=400 -->
α=400-350*0,9 --> α=400- 315 --> α=85
Επαλήθευση:
α+7*50*(100%-10%)=8*50 --> 85+350*90%=8*50 --> 85+315=400

Η Ηλικία

Εάν φέτος η ηλικία δύο ανθρώπων είναι πολλαπλάσιο του 7 και την επόμενη 
χρονιά των ιδίων ανθρώπων είναι πολλαπλάσιο του 9.  Ποια είναι η ηλικία τους
αν γνωρίζουμε ότι δεν είναι αιωνόβιοι;

Πηγή:https://alldocs.net/embed/1875-4-2-4-3

Λύση

Αν x είναι σήμερα η ηλικία του ατόμου, τότε x = 7κ (1) , όπου κ φυσικός και 7κ μικρότερο του 100
Μετά από 1 έτος η ηλικία θα γίνει x + 1.
Και επειδή αυτή είναι πολλαπλάσιο του 9 , έχουμε x + 1= 9λ (2) όπου λ φυσικός και 9λ μικρότερο του 100
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
x + 1= 9λ ---> 7κ+1=9λ (3)
Δηλαδή ο αριθμός (7κ + 1) είναι πολλαπλάσιο του 9 μικρότερο του 100.
Αυτό συμβαίνει όταν κ = 5 ή κ = 14
Για κ=5 ---> x=7κ ---> x=7*5 ---> x=35 (φέτος για το νέο)
Για κ=14 ---> x=7κ ---> x=7*14 ---> x=98 (φέτος για τον ηλικιωμένο)
Για κ=5 ---> 7κ+1=9λ ---> [(7*5)+1]=9*4 ---> 35+1=36 (του χρόνου για το νέο)
Για κ=14 ---> 7κ+1=9λ ---> [(7*14)+1=9*11 ---> 98+1=99 (του χρόνου για τον ηλικιωμένο)
Άρα σήμερα η ηλικία του ενός είναι 35 και σε ένα χρόνο θα είναι 36 , και του άλλου η ηλικία σήμερα είναι 98 και σε ένα χρόνο θα είναι 99.

Το Έτος Γεννήσεως

Ρωτάει ο εγγονός τον παππού του:

-«Ποτέ γεννήθηκες παππού;»

Και ο παππούς του απαντάει:

-«Γεννήθηκα τον 20^ο αιώνα. Το 1967, η ηλικία μου ήταν το άθροισμα των 
ψηφιών του έτους γεννήσεως μου.»

Ποιο έτος γεννήθηκε ο παππούς;

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0B8YC2ZtENtdoTlZrWTBGQ0UxSm8/view (Πρβ. Νο.318)

Λύση

Ο παππούς γεννήθηκε το 1951, και το 1967 ήταν 16 ετών. Έστω ότι ο παππούς γεννήθηκε το έτος 19αβ. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
1967-19αβ=1+9+α+β (1)
1967-19αβ=1+9+α+β ---> 1967-19αβ=10+α+β ----> 1967-1900-αβ=10+α+β ----> 67-αβ=10+α+β ----> 67-10-αβ = α+β ----> 57-αβ = α+β ----> 57-10α-β=α+β ----> 57-10α-α=β+β ---> 57-11α=2β ----> β=(57-11α)/2 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "α" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "β" είναι ο αριθμός α=5 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στην (2) κι’ έχουμε:
β=(57-11α)/2 ---> β=[57-(11*5)]/2 ----> β=(57-55)/2 ----> β=2/2 ---->
β=1 (4)
Επαλήθευση:
1967-19αβ=1+9+α+β ---> 1967-1951=1+9+5+1 ----> 16=1+9+5+1 ο.ε.δ.

Οι Αριθμοί

Ο Γιάννης λέει στη Μαρία: 

-«Έχω σκεφτεί δύο ακέραιους αριθμούς χ και y που είναι τέτοιοι ώστε, αν
μειώσω τον χ κατά 50 και αυξήσω τον y κατά 40, τότε το γινόμενο τους
δεν μεταβάλλεται.»

Η Μαρία ρωτάει το Γιάννη:

-«Εάν αυξήσεις τον αριθμό χ κατά 100 και μειώσεις τον αριθμό y κατά 20,
τότε πάλι το γινόμενο τους δεν μεταβάλλεται;»

Ο Γιάννης απαντάει:

-«Πράγματι, αυτό ισχύει.» 

Η Μαρία καταλήγει:

-«Τότε γνωρίζω τους αριθμούς που σκέφθηκες.»

Έχει δίκιο η Μαρία; Εσείς μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που σκέφθηκε
ο Γιάννης;

Πηγή:68ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ''Ο ΘΑΛΗΣ" 2007 - Α' τάξη Λυκείου

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2017/10/blog-post_56.html

Λύση

Ναι, η Μαρία έχει δίκιο. Οι αριθμοί που σκέφθηκε ο Γιάννης είναι ο αριθμός 100 και ο αριθμός 40. Έστω» «x» και «y» οι αριθμοί που σκέφθηκε ο Γιάννης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
(x-50)*(y+40)=x*y (1)
(x+100)*(y-20)=x*y (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(x-50)*(y+40)=xy ---> x*y-50y+40x-2.000=x*y ---> 40x-50y=x*y-x*y+2.000 ---> 40x-50y=2.000 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
(x+100)*(y-20)=x*y ---> x*y+100y-20x-2.000=x*y ---> 100y-20x=x*y-x*y+2.000 ---> 100y-20x=2.000 (4)
Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της (3) με τον αριθμό 2 κι’ έχουμε:
40x-50y=2.000 ---> 2*(40x-50y)=2.000*2 ---> 80x-100y=4.000 (5)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις (4) και (5) κι’ έχουμε:
100y-20x=2.000
80x-100y=4.000
80x-20x+100y-100y=6.000 ---> 60x=6.000 ---> x=6.000/60 --->
x=100 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (4) κι’ έχουμε:
100y-20x=2.000 ---> [100y-(20*100)]=2.000 --->
100y-2.000=2.000 ---> 100y=2.000+2.000 ---> 100y=4.000 --->
y=4.000/100 ---> y=40 (7)
Επαλήθευση:
(x-50)*(y+40)=x*y ---> (100-50)*(40+40)=100*40 ---> 50*80=4.000
(x+100)*(y-20)=x*y ---> (100+100)*(40-20)=100*40 ---> 200*20=4.000 ο.ε.δ.

Η Ποσότητα

Οι  εφτά νάνοι κάθονται σ’ ένα στρογγυλό τραπέζι και ο καθένας έχει μια κούπα μπροστά του. Κάποιες κούπες έχουν γάλα. Κάθε νάνος με τη σειρά, μοιράζει το γάλα του εξίσου στους υπόλοιπους έξι. Αφού τελειώσουν, διαπιστώνουν ότι κάθε κούπα έχει την αρχική ποσότητα. Πόσο γάλα έχει κάθε κούπα, εάν η συνολική ποσότητα είναι 42 ουγγιές;

Πηγή:http://kolount.wordpress.com/2012/11/28/οι-εφτά-νάνοι

Λύση

Η κάθε κούπα έχει:
O 1os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-1)*(42/21) = 6*(42/21) = 6*2 = 12 oz γάλα
O 2os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-2)*(42/21) = 5*(42/21) = 5*2 = 10 oz γάλα
Ο 3ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-3)*(42/21) = 4*(42/21) = 4*2 = 8 oz γάλα
Ο 4ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-4)*(42/21) = 3*(42/21) = 3*2 = 6 oz γάλα
Ο 5ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-5)*(42/21) = 2*(42/21) = 2*2 = 4 oz γάλα
Ο 6ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-6)*(42/21) = 1*(42/21) = 1*2 = 2 oz γάλα
Ο 7ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-7)*(42/21) = 0*(42/21) = 0*2 = 0 oz γάλα
Γενικά:
Ο n-οστός νάνος έχει (7-n)*(42/21) oz γάλα