Το Ποσοστό

Στ' ανωτέρω σχήματα τι ποσοστό της επιφάνειας καλύπτει η πράσινη επιφάνεια; (Κατ.34)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2016/07/blog-post_9.html

Λύση

Λύση χωρίς το ορθογώνιο πλαίσιο (Σχ.1)
Το ποσοστό επιφανείας που καλύπτει το πράσινο τμήμα είναι 25%. Εάν ενώσουμε τα δυο πράσινα τριγωνάκια, έχουμε ένα τετράγωνο. Συνεπώς τα πράσινα τετράγωνα είναι 2.Το ρομβόσχημο σχήμα έχει επίσης 6 λευκά τετράγωνα. Συνολικά όλο σχήμα έχει επιφάνεια ισοδύναμη με 8 τετράγωνα. Εξ αυτών, τα δυο είναι πράσινα. Άρα η πράσινη επιφάνεια είναι τα 2/8=1/4=0,25 ή 25% της όλης επιφάνειας.
Λύση με το ορθογώνιο πλαίσιο (Σχ.2)
Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη.
Το ποσοστό επιφανείας που καλύπτει το πράσινο τμήμα είναι 16,66%. Εάν ενώσουμε τα δυο πράσινα τριγωνάκια, έχουμε ένα τετράγωνο. Συνεπώς τα πράσινα τετράγωνα είναι 2. Το εσωτερικό ρομβόσχημο σχήμα έχει επίσης 6 λευκά τετράγωνα. Το κάθε ένα από τα γωνιακά μεγάλα τρίγωνα, εάν χωριστεί στη μέση με τη διάμεσο και εν συνεχεία ενώσουμε τα δυο τρίγωνα κατά την υποτείνουσα σχηματίζει ένα τετράγωνο, οπότε το όλο σχήμα έχει επιφάνεια ισοδύναμη με 12 τετράγωνα. Εξ αυτών, τα δύο είναι πράσινα. Άρα η πράσινη επιφάνεια είναι τα 2/12=1/6= 0,1666= 16,66% της όλης επιφάνειας
Σημείωση:
Είναι απαραίτητο να συμπεριλάβουμε στην επιφάνεια ολόκληρο το σχήμα και ο όχι μόνο το εσωτερικό ρομβόσχημο.

Ο Γαλαξίας

O Δανός αστρονόμος, John Hoffen, το 1870, ανακάλυψε έναν νέο γαλαξία κοντά στον γαλαξία της Ανδρομέδας και τον ονόμασε «Μέδουσα»», μια από τις τρεις Γοργόνες της Μυθολογίας, κόρη του Φόρκυ ή Φορκέα και της Κητούς, αδελφή των Γοργόνων Σθενώ και Ευρυάλη, και των Γραιών Δεινώ, Ενυώ και Πεφρηδώ, ήταν στην αρχή Κενταύρισσα, λόγω του σχήματος που είχε. Για την ανακάλυψη αυτή τιμήθηκε από την Ακαδημία της Δανίας μ’ ένα βραβείο που συνοδευόταν από μια επιταγή μ’ έναν εξαψήφιο αριθμό. Το πρώτο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το τέταρτο ψηφίο, το δεύτερο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το πέμπτο ψηφίο και το τρίτο ψηφίο του αριθμού ήταν ίδιο με το έκτο ψηφίο. Το ποσό αυτό ήθελε να το διανείμει στα επτά παιδιά του, τα έντεκα εγγόνια του και τα δεκατρία δισέγγονα του
(α)Ποια είναι η αξία της επιταγής;

(β)Μπορούσε να μοιράσει αυτό το ποσό σε ακέραια ποσά;

(γ)Από πόσα άστρα αποτελείται ο νέος αυτός γαλαξίας;

 Διευκρίνιση για την ερώτηση (γ)

Είναι ένας πρώτος αριθμός και το τελευταίο ψηφίο του είναι ο αριθμός 1. 
Για να δοθεί η λύση να βοηθήσω λίγο. Είναι ένας πρώτος αριθμός και από αποτελείται από διαδοχικά 1 και 0  αρχίζει και τελειώνει σε 1….(Κατ.34)

Λύση

Η αξία της επιταγής ήταν 101.101$. Ναι, μπορεί να μοιράσει την αξία της επιταγής σε ακέραια ποσά. Τα επτά παιδιά του θα πάρουν το καθ’ ένα από 14.443$. Τα έντεκα εγγόνια του θα πάρουν το καθ’ ένα από 1.313$. Και το 13 δισέγγονα του θα πάρουν το καθ’ ένα από 101$. Ο γαλαξίας αποτελείται από 101 άστρα. Έστω «x» η αξία της επιταγής που πήρε ο αστρονόμος John Hoffen, η οποία αξία εξ ορισμού ισούται με «x=αβγαβγ» και είναι της μορφής (10^5α+10^4β+10^3γ+10^2α+10^1β+γ). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
10^5α+10^4β+10^3γ+10^2α+10^1β+γ --->
10^5α+10^2α+10^4β+10^1β+10^3γ+ γ--->
10^2α(10^3+1)+10β(10^3+1)+γ(10^3+1)--->
(10^3+1)(10^2α+10β+γ) --->
(10^3+1)(100α+10β+γ) ---> (1.000+1)(αβγ) ---> 1.001αβγ (1)
Μετατρέπουμε τον αριθμό 1.001 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
1.001=7*11*13
Άρα η (1) γίνεται:
1.001αβγ ---> 7*11*13αβγ (2)
Με διερεύνηση βρίσκουμε ότι το «αβγ» αντιστοιχεί στον πρώτο αριθμό 101.
Για τη διερεύνηση βλέπε εδώ:
https://app.box.com/s/tbygnirml1uljgt2aonw7dgbd7v5h2zn

Η Ισορροπία

Θέλουμε να ισορροπήσουμε την ανωτέρω ζυγαριά, χρησιμοποιώντας τα τέσσερα αυτά βάρη που είναι από 1kg. έως 40kg. (ακέραιοι αριθμοί). Ποιο είναι το μεγαλύτερο βάρος, με τ' οποίο μπορούμε να ισορροπήσουμε την ζυγαριά;
Διευκρίνιση:
Στο ένα τάσι θα βάλουμε το ένα βάρος και στο άλλο τάσι τα τρία βάρη. (Κατ.34)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2016/06/blog-post_73.html

Λύση

Το μεγαλύτερο βάρος προκύπτει, εάν βάλουμε στο ένα τάσι το βάρος των 40κιλών και στο άλλο τάσι 3 βάρη, που με διάφορους συνδυασμούς να έχουμε ως αποτέλεσμα 40κιλά. Άρα το μεγαλύτερο βάρος συνολικά είναι 80κιλά.
Π.χ. 1+3+36=40 ---> 40=40 ---> 80Κg.