Τα Κέρματα

Κάποιος δαπάνησε το 1/3 των κερμάτων του για αγορές, κατέθεσε τα 2/3 του υπολοίπου των κερμάτων στην τράπεζα, και του έμειναν υπόλοιπο 12 κέρματα. Πόσα κέρματα είχε στην αρχή;

Διευκρίνιση:

Όλα τα κέρματα ήταν αξίας 1€

Από το βιβλίο του Γάλλου μαθηματικού Nicholas Chuquet (1448-1500) με 
τίτλο:«Triparty en la Science des Nombres – Τριμερή στην Επιστήμη 
των Αριθμών»

Λύση

Στην αρχή είχε 54 κέρματα του 1€. Έστω «x» τα κέρματα που είχε στην αρχή. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
x-x/3 (1)
Του έμειναν υπόλοιπο:
x-x/3 ----> (3x-x)/3 ----> 2x/3 κέρματα (2)
Από αυτά, κατέθεσε στη τράπεζα τα 2/3 και του έμειναν 12 κέρματα, οπότε έχουμε την εξίσωση:
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 (3)
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 ----> 2x/3-(4x/9)=12 ----> 3*2x-4x=12*9 ----> 6x-4x=108 ----> 2x=108 ----> x=108/2 ----> x=54 κέρματα (4)
Επαλήθευση:
χ/3=54/3=18 κέρματα, που αντιπροσωπεύουν το 1/3 των αρχικών κερμάτων.
2x/3=(2*54)/3=2*18=36 κέρματα που αντιπροσωπεύουν το 2/3 των αρχικών κερμάτων.
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 ----> 2*54/3-(2/3)*(2*54)/3=12 ----> 2*18-(2/3)*(2*18)=12 -----> 36-(2*2*18)/3=12 ----> 36-(4*6)=12 -----> 36-24=12

Οι Λίρες

Δύο Άραβες που ταξίδευαν στην έρημο είχαν μαζί τους : ο ένας 3 πίτες και ο άλλος 5 πίτες. Στο δρόμο συνάντησαν έναν πλούσιο αλλά πεινασμένο ταξιδιώτη. Μοίρασαν λοιπόν τις 8 πίτες σε τρία ίσα μέρη και τις έφαγαν. Ο πλούσιος φεύγοντας, άφησε 8 λίρες για να πληρώσει τη μερίδα του. Να βρείτε πόσες από τις λίρες πρέπει να πάρει καθένας από τους δύο Άραβες.
Πηγή:perisan's blog » Blog Archive » Τρεις Άραβες μοιράζονται 8 πίτες

Λύση

Η κάθε πίτα χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη. Έτσι, τα 24 κομμάτια που προκύπτουν μοιράζονται σε τρία ίσα μέρη και τρώει 8 κομμάτια ο καθένας. Ο πρώτος Άραβας είχε 3 πίτες άρα 9 κομμάτια, από τα οποία έδωσε στον ταξιδιώτη 1 κομμάτι αξία μιας λίρας, ενώ τα υπόλοιπα 8 κομμάτια τα έφαγε αυτός. Ο δεύτερος Άραβας είχε 5 πίτες, άρα 15 κομμάτια, από τα οποία έδωσε στον ταξιδιώτη 7 κομμάτια αξίας 7λιρών (7*1), ενώ τα υπόλοιπα 8 κομμάτια τα έφαγε αυτός. Έτσι ο πρώτος Άραβας δικαιούται να πάρει 1 λίρα, ενώ ο δεύτερος 7 λίρες, από τις 8 λίρες που τους έδωσε ο πλούσιος ταξιδιώτης.

Οι Απουσίες

Ο Ανδρέας τελειώνει μια εργασία σε 15 ημέρες. Ο Βασίλης την ίδια εργασία την τελειώνει σε 20 ημέρες. Συμφώνησαν να εργαστούν μαζί για να τελειώσουν αυτή την εργασία. Εάν ο Βασίλης απουσίασε μια ημέρα παραπάνω  από τον Ανδρέα και η εργασία τελείωσε σε 11 ημέρες, να βρείτε πόσες ημέρες απουσίασε ο Ανδρέας και πόσες ημέρες απουσίασε ο Βασίλης.

Λύση

Ο Ανδρέας απουσίασε 2 ημέρες και ο Βασίλης απουσίασε 3 ημέρες Ο Ανδρέας σε μία ημέρα τελειώνει το 1/15 του έργου και ο Βασίλης το 1/20 του έργου, και οι δύο μαζί τελειώνουν τα:
(1/15)+(1/20)=(4/60)+(3/60)=7/60 του έργου
Εάν εργάζονταν και τις 11 ημέρες θα τελείωναν τα:
11*(7/60)=77/60 του έργου
Τις ημέρες που δεν εργάστηκαν μαζί θα τελείωναν τα:
(11-1+7)/60=(10+7)/60=17/60 του έργου
Εάν ο Ανδρέας απουσίασε x ημέρες, τότε ο Βασίλης απουσίασε (x+1) ημέρες. Βάσει των ανωτέρω δεδομένων έχουμε την εξίσωση:
(x/15)+(x+1)/20=17/60 ----> [4x+3*(x+1)]/60=17/60 ---->
4x+3x+3=17 ----> 7x+3=17 ----> 7x=17-3 ----> 7x=14 ----> x=14/7 ----->
x=2
Επαλήθευση:
[4x+3*(x+1)]/60=17/60 ----> [4*2+3*(2+1)]/60=17/60 ----> (4*2+3*3)/60=(8+9)/60=17/60

Το Εμβαδόν

Το ανωτέρω σχήμα αποτελείται από τρία τετράγωνα. Το πιο μικρό έχει περίμετρο 20 εκ. και το μεγάλο έχει περίμετρο 60 εκ. Πόσο είναι το εμβαδόν ​όλου ​του ​σχήματος ​που ​βλέπετε;
Πηγή:Τα θέματα και οι απαντήσεις του 1ου Μαθηματικού Διαγωνισμού «ΚΩΣΤΑΣ ΖΕΡΒΟΣ» 2017 (Α΄ Γυμνασίου)

Λύση

Το εμβαδον του σχήματος είναι 350εκ.^2. Η πλευρά του τετραγώνου «Α» είναι 5εκ., του τετραγώνου «Β» είναι 10εκ. και του τετραγώνου «Γ» είναι 15εκ. Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι τετραπλάσια της πλευράς του (Π=4α). Επομένως, η πλευρά του τετραγώνου Α είναι 5 εκ.(Π=4*5), του Β είναι. 15-5 εκ. = 10εκ. (Π=4*10) και του Γ είναι 15εκ.(Π=4*15).
Υπολογίζουμε τα 3 εμβαδά (Ε=α2):
Α: 25 τετρ. εκ.(Ε=5^2)
Β: 100 τετρ. εκ. (Ε=10^2)
Γ: 225 τετρ. εκ. (Ε=15^2)
ΣΥΝΟΛΟ: Ε=225 + 100 + 25 = 350 τετρ. εκ.