Σχηματισμοί

 Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1, 5, 7 και 8 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 15.

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.5) 

Λύση

Λύση του N. Lntzs. 1. Χρησιμοποιώντας μόνο πράξεις αριθμητικής: 8*(7-5)-1=8*2-1=16-1=15. 2. Γράφοντας τους δεκαδικούς όπως οι Αμερικάνοι δηλ. 0,8=.8 είναι: (7+5):.8*1=120:8=15. 3. Χρησιμοποιώντας δυνάμεις: α)(7+8)*1^5=15*1=15 ή β)(7+8):1^5=15:1=15. 4. Χρησιμοποιώντας ρίζες: 5+7+sqrt(8+1)=12+3=15. 5. Χρησιμοποιώντας το παραγοντικό: (7!):(5+1)! + 8= 7+8=15. 6. Χρησιμοποιώντας παραγοντικό και δυνάμεις: 1^7*5! : 8 =120:8=15. 7. Στο δεκαεξαδικό σύστημα: (8+7+1)+5=[μία δεκαεξάδα και πέντε μονάδες]=15, Λύση του batman1986. 5!/(root{(7+1)*8}=120/8=15 {8/(.7+.1)}+5=10+5=15 (7-5)+1+8=15(Στο εξαδικό 15=1*6+5*6^0 άρα ισούται με 11 στο δεκαδικό) (log1)*5+8+7=5*0+15=15

Ματ σε Τρεις

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

Κλειδί:1.Ιδ1!,α5 2.Ιγ3!,β:Ιγ3/α4 3.δ:γ#/Ιβ5# 1....,ε5 2.Ιε3,ζ:Ιε3/ε4 3.δ:ε#/Ιζ5# Δύο βαριάντες ηχώ-ματ.

Σχηματισμοί

 Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 3, 5, 7 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τους αριθμούς: 8, 10, και 12.

Διαβάστε περισσότερα »

Ματ σε Τρεις

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

Κλειδί:1.Βζ5!(>2.Βθ4+,Πε4/Ρδ5 3.Β:Π#/Βγ4#) 1....,Ρε4 2.Βη4+,Ρδ5 3.Βγ4# 1....,Πδ5 2.Βη1+,Ρε4/Πε3 3.Βη4#/Β:Π# 1....,Πδ6 2.Βζ4+,Ρδ5/Πε4 3.Βγ4#/Β:Π# 1....,Πδ7 2.Βη4+,Ρδ5/Πε4 3.Βγ4#/Β:Π#

Σχηματισμοί

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 3, 7, 8 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τους αριθμούς: 26, 27, 28, 29, και 31.

(Κατ.43/Πρβλ. Νο.3)

Λύση

Λύση του batman1986. 3*8+(9-7)=26, 3+7+8+9=27, 3*9+(8-7)=28, 7*8-3*9=56-27=29, (9/3)*8+7=31, (3!+8)*(9-7)=14*2=28, (9+3-8)*7=4*7=28, {(7-3)!/8}*9={(24/8}*9=3*9=27, (8-3)*7-9=35-9=26, 7*ROOT(9)+(8-3)=7*3+5=26, 3*9(8-7)=27, 8*ROOT(9)+(7-3)=3*8+4=28, {ROOT(9)}^3+(8-7)=27+1=28. Λύση του Papaveri. [Root(9)*7]+(8-3)=(3*7)+5=21+5=26, [3+9+(7*Root3(8))=[12+(7*Root3(2^3))]=[12+(7*2)]=12+14=26, [((8-3)*7)-9]=[(5*7)-9]=35-9=26, (3*9)-(8-7)=27-1=26, (3+7+8+9)=27, [(3+7)+(9*Root3(8))]=[10+(9*Root3(2^3))]=[10+(9*2)=10+18=28, [((7-3)*9)-8]=[(4*9)-8]=36-8=28, [(3*9)-7+8]=27-7+8=28, [((9/3)*7)+8]=[(3*7)+8]=21+8=29, [((8*9)/3)+7]=[(72/3)+7]=24+7=31

Σχηματισμοί

 Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 3, 6, 8 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τους αριθμούς: 20, και 30.
(Κατ.43/Πρβλ. Νο.2)

Λύση

Λύση του batman1986. 6*9-3*8=54-24=30, 9+8+(6-3)=17+3=20, (9/3)*8+6=3*8+6=24+6=30, 6*ROOT(9)+ROOT3(8)=6*3+2=20, Λύση του Papaveri. [(8-3)+(6+9)]=5+15=20, [(9-3)+(6+8)]=6+14=20

Ο Αριθμός

Ποιο είναι το επόμενο έτος, μετά το 2007, το οποίο έχει το ίδιο άθροισμα ψηφίων με το έτος 2007; (Κατ.1/Πρβλ. Νο.125)

Λύση

Το επόμενο έτος που έχει το ίδιο άθροισμα ψηφίων με το έτος 2007 είναι το έτος 2016 (2007=2+0+0+7=9, 2016=2+0+1+6=9)

Σχηματισμοί

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 5, 7 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τους αριθμούς: 30, 31 και 40.
(Κατ.43/Πρβλ. Νο.1)

Λύση

[(5+7)+(2*9)]=12+18=30, [((5-2)*7)+9]=[(3*7)+9]=21+9=30, [((9-5)*7)+2]=[(4*7)+2]=28+2=30, [(5*9)-(2*7)]=45-14=31, [((2+5)*7)-9]=[(7*7)-9]=49-9=40, [(5*9)-(7-2)]=45-5=40

Τα Τραπουλόχαρτα

Έχουμε δύο τράπουλες, 52 χαρτιά η κάθε μία. Τις ανακατεύουμε και έχουμε μία στοίβα από 104 χαρτιά. Τις ξαναχωρίζουμε σε 2 στοίβες 52 και 52 (α' στοίβα και β' στοίβα) ανακατεμένες πλέον και μέχρι στιγμής δεν έχουμε κοιτάξει καθόλου  τα χαρτιά.

• α)Πόσες είναι οι πιθανότητες (%) το πλήθος από τα κόκκινα τραπουλόχαρτα της μίας στοίβας να είναι ίσο με το πλήθος από τα μαύρα τραπουλόχαρτα της άλλης στοίβας;

• β)Πόσα τραπουλόχαρτα πρέπει να ανοίξουμε για να το διαπιστώσουμε;

(Κατ.33/Πρβλ. Νο.21) 

Λύση

Λύση του batman1986. α) Η πιθανότητα να βρώ ίδιο αριθμό κόκκινων με μαύρα χαρτιά στην άλλη στοίβα είναι βέβαιο ενδεχόμενο δηλαδή η πιθανότητα είναι 100% Εξήγηση: Αν στη μία στοίβα των 52 φύλλων έχουμε ν (τυχαίος αριθμός <=52 ) κόκκινα τότε τα υπόλοιπα είναι (52-ν) μαύρα Όμως τα μαύρα(όπως και τα κόκκινα) είναι συνολικά 52 αφού έχουμε 2 τράπουλες.Άρα τα υπόλοιπα μαύρα στην άλλη στοίβα είναι υποχρεωτικά 52-(52-ν)=ν ίσα δηλαδή με τα κόκκινα της άλλης στοίβας.Άρα αποδείξαμε το ζητούμενο β)Επομένως είναι προφανές ότι δεν χρειάζεται να ανοίξουμε κανένα τραπουλόχαρτο αφού είναι βέβαιο ενδεχόμενο...

Ματ σε Έξι

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε έξι κινήσεις.

(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Αδ4(zz),δ5 2.Αε3(zz),δ4 3.Ρβ3(zz),δ4:Αε3 4.Ρβ2(zz),ε2 5.Ρβ1(zz),ε1-Β/Α 6.Ιβ2#

Ο Αριθμός

Έχετε μία στοίβα από 1.000 φύλλα "Α4"  πάνω στο γραφείο σας. Το καθένα  έχει πάνω έναν αριθμό, το πρώτο, επάνω-επάνω, έχει το αριθμό 1, το δεύτερο τον αριθμό  2,..., το χιλιοστό τον αριθμό 1.000. Ξεκινώντας από το πρώτο φύλλο θα πρέπει να αφαιρείτε κάθε δεύτερο φύλλο από τη στοίβα αυτή έως ότου να φτάσετε στο τέλος τη στοίβας (δηλαδή, το 1, 3, 5, ..., 997, 999). Κάντε την ίδια διαδικασία μέχρι να σας τελειώσουν όλα τα φύλλα εκτός από ένα. Ποιον αριθμό θα έχει  γραμμένο το φύλλο αυτό;

(Κατ.4/Πρβλ. Νο.48)

Λύση

Λύση του N. Lntzs. Το φύλλο που θα μείνει τελευταίο θα έχει τον αριθμό 512. Αυτό θα συμβεί γιατί το πρώτο φύλο της στοίβας θα έχει πάνω γραμμένο τον αριθμό 2^κ, όπου κ είναι ο αριθμός που μας δείχνει πόσες φορές επαναλήφτηκε η διαδικασία του "...να αφαιρείτε κάθε δεύτερο φύλλο από τη στοίβα...". Η δύναμη του δύο, που είναι μικρότερη ή ίση του 1.000 είναι ο αριθμός 512 και η διαδικασία επαναλήφθηκε 9 φορές(2^9=512). Πιο πρακτικά: Μετά την 1η διαδικασία θα παραμείνουν τα πολ/σια του 2(=2^1). Μετά την 2η διαδικασία θα παραμείνουν τα πολ/σια του 4(=2^2). Μετά την 3η διαδικασία θα παραμείνουν τα πολ/σια του 8(=2^3). κ.ο.κ. Μετά την 8η διαδικασία θα παραμείνουν τα πολ/σια του 256(=2^8) δηλ.256, 512,778. Και τέλος μετά την 9η διαδικασία θα παραμείνει το μοναδικό πολ/σιο του 512(=2^9) δηλ. το φύλλο με τον αριθμό 512.

Ματ σε Δύο

Πάιζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

Διευκρίνιση:

Το "v" σημαίνει δοκιμή

(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

Δοκιμή:1.Πζ5?(zz)η4[a] 2.Β:θ6#[A] 1...ε6/ε5[b] 2.Πδ7#[B] 1...Ρ:θ7 2.Π:η5#, αλλά 1...exd6! 2.?# Κλειδί:1.Βδ4!(zz),η4[a] 2.Β:η4#[D] 1...ε5[b] 2.Βα7#[C] 1...ε:Πδ6 2.Πζ4# 1...ε:Πζ6 2.Β:ζ6# 1...ε6 2.Πδ7#[B] Θέμα: Pickaninny

Το Λάθος

 Έχουμε:

1 € = 100 cents.

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 100:

1/100€ = 100/100cents

1/100€ = 1cent

Βγάζουμε τις τετραγωνικές ρίζες και στα δύο μέλη

Sqrt(€1/100)=sqrt(1cent)

Οπότε:

€1/10 = 1cent

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το 10 και έχουμε:

1 € = 10 cents!

Που βρίσκεται το λάθος;

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/06/1-10-cents.html

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.523)

Λύση

Λύση του batman1986. Η ισότητα αντιπροσωπεύει ισοδυναμία-αναλογία ποσοτήτων. Είναι σα να λέμε "1 μήλο στοίχίζει όσο 2 αχλάδια" Άρα τα 3 πρώτα βήματα στέκουν " Έχουμε: 1 € = 100 cents. Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 100: 1/100€ = 100/100cents 1/100€ = 1cent" ως εφαρμογή της απλή μεθόδου των 3 Το 4ο είναι προφανώς λάθος αφού βάζει σε ρίζα διαφορετικά μεγέθη μέτρησης(ευρώ και σεντ) και τα εξάγει ως είναι... Κανονικά θα έπρεπε να μετατρέψω και τα 2 μέλη σε ευρώ ή σε σεντ και στη συνέχεια να εξάγω τη ρίζα... Μετατρεπουμε σε ευρώ και τα 2 μέλη κι' έχουμε: Sqrt(€1/100)=sqrt(1*0,01€) 1/10€=1/10€

Τα Αδέλφια

Ο Δημήτρης έχει 2 αδελφούς περισσότερους από αδελφές. Η αδελφή του η Μαρία έχει τριπλάσιο αριθμό αδελφών από ότι αδελφές. Πόσες αδελφές έχει ο Δημήτρης?

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.522) 
 Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/06/blog-post_5679.html

Λύση

Λύση του batman1986. Έστω χ τα αγόρια και ψ τα κορίτσια. Για Δημήτρη ισχύει: χ-1=ψ+2 Για Μαρία ισχύει: χ=3*(ψ-1) Λύνω το σύστημα: 3*ψ-3-1=ψ+2 2*ψ=6 Άρα ψ=3 αδελφές έχει ο Δημήτρης

Ματ σε Τρεις

 Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

Κλειδί:1.ε4!(zz),Ρε3 2.Αγ3(zz),δ5 3.ε:δ5# 1....,δ5 2.Ρζ4(zz),δ:ε4 3.Πδ8# Αμοιβαία ανταλλαγη των πιονιών, όπου ανοίγουν μια στήλη για το λευκό Πύργο που δίνει το ματ.

Η Δεξαμενή

Μια δεξαμενή με δύο βρύσες γεμίζει σε 8h. Η ίδια δεξαμενή αν της παρέχει νερό μόνο η μία βρύση γεμίζει σε χρόνο t. Η ίδια δεξαμενή γεμίζει μόνο με την παροχή της άλλης βρύσης σε χρόνο t + 24h..... Να βρεθεί ο χρόνος «t».

Διευκρίνιση:

Οι βρύσες έχουν διαφορετική παροχή νερού και κάθε μια βρύση  γεμίζει τη δεξαμενή σε διαφορετική ώρα.

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.521)

Λύση

Λύση του batman1986. Έστω V ο όγκος της δεξαμενής. Σύμφωνα με τα δεδομένα η μία βρύση(η αργή) γεμίζει το ποσοστό t/(2*t+24) του V εντός 8 ωρών Άρα η Παροχή της είναι q=V/t=(V*t/(2*t+24))/8 Άρα V=q*(t+24) V={(V*t/(2*t+24))/8}*(t+24) 8*(2*t^2+24t)=t+24 Τελικά προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση: t^2+8*t-192=0 δεχόμαστε μόνο την θετική λύση προφανώς η οποία είναι περίπου t=10,42h(λογική αφού είναι μεγαλύτερη του 8 όταν δουλεύουν και οι 2 μαζί και σχετικά κοντά στο 8) Ή Σ αυτό το γρίφο μια ισοδύναμη λύση δίχως να χρησιμοποιήσει κάποιος παροχές-όγκους είναι να κάνει μια απλή μέθοδο των τριών. Σε 8h t/(2t+24) το ποσοστό του όγκου. Σε t+24h to 100% του όγκου Άρα 8=(t+24)*{t/(2t+24)} που είναι ισοδύναμη ....

Τι Είναι…

 

What is...
- greater than God,
- more evil than the Devil,
- poor people have it,
- rich people want it,
- if you eat it you die... 
Clarification: 
Be advised that only 7% of Harvard graduates and 80% of kinder garden
kids got it right...

Μετάφραση:

Τι είναι...
- Μεγαλύτερο από τον Θεό,
- Περισσότερο κακό από ό, τι ο διάβολος,
- Φτωχοί ανθρώπους το έχουν,
- Πλούσιοι άνθρωποι το θέλουν,
- Εάν το τρως αυτό, πεθαίνεις ...

Διευκρίνιση:
Μόνο το 7% των αποφοίτων του Harvard και το 80% των παιδιών
σε παιδικό σταθμό το βρήκαν!!!

(Κατ.27/Πρβλ. Νο.336)

Λύση

Λύση του N. Lntzs. "Τίποτα" δεν είναι μεγαλύτερο από τον Θεό. "Τίποτα" δεν είναι πιο κακό από τον διάβολο. Αν ρωτήσεις έναν φτωχό που δεν έχει στον ήλιο μοίρα τι έχει θα σου απαντήσει (ίσως με κάποια υπερβολή): "Τίποτα". Αν ρωτήσεις έναν πλούσιο τι θέλει, θα σου απαντήσει "Τίποτα, έχω τα πάντα" (του διαφεύγει όμως η υγεία, η ευτυχία που δεν αγοράζονται). Αν τρώς "τίποτα" ασφαλώς πεθαίνεις.

Αδάμ και Εύα

Τι έχουν όλοι οι άνθρωποι και δεν το είχαν ο Αδάμ και η Εύα;
Γιατί δεν το είχαν; (Κατ.27/Πρβλ. Νο.335)

Λύση

Δεν είχαν αφαλό, όπως όλοι οι άνθρωποι, διότι σύμφωνα με την Αγία Γραφή ο Αδάμ δεν γεννήθηκε αλλά πλάστηκε από το Θεό (Γεν.Κεφ.Α΄, 26-31,Κεφ.Β΄,7) και την Εύα την έπλασε ο Θεός από τη πλευρά του Αδάμ!!(Γεν. Κεφ.Β΄,21-22)

 

Από που προέρχονται και ποιές λέξεις συμβολίζουν τα αρκτικόλεξα a.m. και p.m. που οι αγγλόφωνοι χρησιμοποιούν μετά την ώρα για να δηλώσουν αν η ώρα είναι πρωινή ή απογευματινή;

(Κατ.27/Πρβλ. Νο.41)

Λύση

Τα αρκτικόλεξα a.m. και p.m. των αγγλόφωνων προέρχονται από τις λατινικές φράσεις "ante meridiem" και "post meridiem" αντιστοίχως.

Η Σημασία

Τι σημαίνει το πρώτο 'D' από τη φράση "D-Day"; (Κατ.27/Πρβλ. Νο.334)

Λύση

"Day with a capital D.", δηλαδή «big day».

Το Αίνιγμα

"If to half a dozen you add six and five hundred, the result is clear,
lucid  and glowing.". What is it?

 Μετάφραση:

«Εάν σε μισή ντουζίνα προσθέτετε έξι και πεντακόσια, το 
αποτέλεσμα είναι σαφές-ξεκάθαρο , φωτεινό και λαμπερό.».
Τι είναι;

(Κατ.27/Πρβλ. Νο.333)

Λύση

Η απάντηση είναι "6, 6, 500" μετατρεπόμενα σε ρωμαϊκά νούμερα, "VI ,VI ,D",σχηματίζουν τη λέξη VIVID (ζωντανός).

Ο Σοφός

Ένας σοφός άνθρωπος έλεγε το εξής:

«Όλοι οι σοφοί λένε ψέματα.»

Έλεγε την αλήθεια ή ψέματα; (Κατ.28/Πρβλ. Νο.19)

Λύση

Λύση του batman1986. Αν η προτασή του είναι αληθής τότε λέει και αυτός ψέματα αφού είναι σοφός.Αφού όμως λέει ψέματα(δηλαδή η πρόταση «Όλοι οι σοφοί λένε ψέματα.» είναι ψεύτικη ) τότε υπονοείται ότι όλοι οι σοφοί λένε την αλήθεια κάτι όμως που πάλι είναι αντιφατικό αφού είναι σοφός και μόλις διατύπωσε αυτή την ψευδή πρόταση σύμφωνα με την υποθεσή μας. Άρα η φράση στερείται νοήματος(κενολογία) και καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι σοφοι μπορεί να λένε είτε ψέματα είτε αλήθεια. Λύση του Papaveri. Ο σοφός τελικά έλεγε ψέμματα.... άρα η πρόταση "όλοι οι σοφοί λένε ψέμματα" ήταν ψέμμα, δηλ, υπάρχει έστω και ένας σοφός που λέει αλήθεια! αυτό δε σημαίνει ότι δεν υπάρχουν και ψεύτες...ένας άπαυτους ήταν και οδικός μας.

Κερδίζουν τα Λευκά;

 Παίζουν τα Λευκά και κερδίζουν.

(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.α6! β:α6 (εάν 1....,~ 2.α7-+) 2.Αγ6+ Kd8 3.Αε8! Ρ:Α 4.Ιδ5 Ρδ8 5.Ιζ4-+ και η μαύρη Βασίλισσα θα αιχμαλωτισθεί από το λευκό Ίππο, μετά από την ιδιοφυή θυσία του Αξιωματικού στο "ε8" που έξυπνα προετοιμάσθηκε από τη θυσία του λευκού πιονιού στο "α6".

Το Τρένο

Ένας νεαρός μένει στο Θησείο κοντά στον σταθμό του ηλεκτρικού τραίνου. 
Έχει δύο φίλες: η μια μένει στον Πειραιά και η άλλη μένει στην Κηφισιά.  
Επειδή του αρέσουν το ίδιο και τα δύο κορίτσια, παίρνει το πρώτο τραίνο 
που θα περάσει  είτε προς Πειραιά, είτε προς Κηφισιά. Αφήνει, δηλαδή, το 
τραίνο να αποφασίσει σε ποιά θα πάει πρώτα. Ο νεαρός φτάνει στο σταθμό 
του Θησείου μια (διαφορετική) τυχαία στιγμή κάθε απόγευμα. Τα δύο 
τραίνα φτάνουν στον σταθμό με συχνότητα 10 λεπτών και είναι απολύτως
ακριβή στα δρομολόγια!!! Όμως για ένα παράξενο λόγο ο νεαρός περνάει 
τα περισσότερα  βράδια του με το κορίτσι που μένει στο Πειραιά. Μάλιστα 
κατά μέσο όρο στον Πειραιά πηγαίνει 9πλάσιες φορές από όσο πηγαίνει 
στην Κηφισιά, δηλαδή, p(Π)=9*p(K). Μπορείτε να βρείτε την αιτία;
(Κατ.27/Πρβλ.Νο.332)

Λύση

Λύση του N. Lntzs. Η απάντηση βρίσκεται στον χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ των διελεύσεων των συρμών Θησείο-Κηφισιά(Κ) και Θησείο-Πειραιάς(Π). Συγκεκριμένα, Ο χρόνος που μεσολαβεί από την αναχώρηση του συρμού προς Κηφισιά μεχρι την άφιξη αυτού προς Πειραιά είναι 9 min, ενώ ο χρόνος που μεσολαβεί από την αναχώρηση του συρμού προς Πειραιά μεχρι την άφιξη αυτού προς Κηφισιά είναι 1 min. Ο νεαρός που φτάνει μια τυχαία στιγμή στο χρονικό διάστημα των 10 min, έχει πιθανότητα να πάρει ένα συρμό, ανάλογη το χρόνου που μεσολαβεί αυτού και του προηγούμενου, δηλ. p(K)/p(Π)=1/9 ή p(Π)=9*p(K). Με δεδομένα τα παραπάνω, αν θέλει να μην είναι καμία παραπονεμένη, θα πρέπει να αλλάξει τον τρόπο επιλογής και να μην αφήνει τα πάντα στην τύχη, γιατι βλέπω την κηφισιώτισα γρήγορα να βρίσκει "... και αλλού πορτοκαλιές που κάνουν πορτοκάλια". Λύση του batman1986. Μου φαίνεται πως έχει να κάνει με το γεγονός ότι τα τρένα παρότι έχουν την ίδια συχνότητα(ανά 10 λεπτά όπως αναφέρεται στην εκφώνηση) δεν σημαίνει πως φτάνουν ταυτόχρονα στη στάση... Υπάρχει περίπτωση το χρονικό διάστημα ανάμεσα στο τρένο με Πειραιά και Κηφισιά όταν πρώτο περνάει το τρένο του Πειραιά να είναι μικρότερο από το διάστημα όταν περνάει το τρένο της Κηφισιάς. Άρα μεγαλύτερο χρονικό περιθώριο ανάμεσα σε τρένο Κηφισιάς και μετά τρένο Πειραιά σε σχέση με περιθώριο τρένου πειραιά και μετά τρένου Κηφισιάς... Άρα μέσα στην ημέρα μεγαλύτερη πιθανότητα να πέσουμε στο μεσοδιάστημα της πρώτης περίπτωσης(αφού η πιθανότητα είναι χρονική ολοκλήρωση) δηλαδή να έχει φύγει το τρένο της Κηφισιάς και να πετύχουμε το τρένο για Πειραιά... Λύση του Papaveri. Η απάντηση είναι στο πρόγραμμα αύξησης των τραίνων. Δεν είναι τυχαία η στιγμή αύξησης των τραίνων και συμβαίνει όταν: Το τραίνο για Κηφισιά φτάνει ένα λεπτό μετά το τραίνο για Πειραιά. Ή το τραίνο για Πειραιά φτάνει εννιά λεπτά μετά το τραίνο για Κηφισιά. Έτσι μόνο αν φτάσει στον σταθμό κατά την διάρκεια του λεπτού (μετά την αναχώρηση του τραίνου για Πειραιά και πριν την άφιξη του τραίνου για Κηφισιά) το πρώτο τράινο που θα πετύχει θα είναι προς Κηφισιά. Ενώ αν φτάσει κατά την διάρκεια των εννιά λεπτών (μετά την αναχώρηση του τραίνου για Κηφισιά και πριν την άφιξη του τραίνου για Πειραιά) το πρώτο τράινο που θα πετύχει θα είναι προς Πειραιά. Τώρα που το κατάλαβε ο νεαρός θα αλλάξει τακτική δεν θα επαφίεται στο τραίνο, αλλά θα πηγαίνει εναλλάξ για να μην μένει καμμιά παραπονεμένη.

Ματ σε Δύο

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

Λύση

Δοκιμή:1.Πδ6;(>2.Βε8#) 1....,Αβ5[β] 2.Ιε5#[Β] 1....,Π:Β[γ] 2.Ι:ζ4#[Α] αλλά 1....Ιγ7[a]! 2.#; Δοκιμή:1.Rd4; (>2.Βε8#) 1....,Ιγ7[α] 2.Ι:ζ4#[Α] 1....,Αβ5[β] 2.Αε4#[Γ] αλλά 1...Π:Β[γ]! 2.#; Κλειδί:1.Πδ5!(>2.Βε8#) 1....,Ιγ7[α] 2.Ιε5#[Β] 1....,Αβ5[β] 2.Πη5#[Δ] 1....,Π:Β[γ] 2.Αε4#[Γ] Θέμα:Κυκλική Εναλλαγή Παιγνιδιού.

Το Πεπόνι

Ένα πεπόνι ζυγίζει 1κιλό από το οποίο το 98% είναι νερό και το 2% είναι φυτικές ίνες. Εάν το αφήσουμε μερικές να μαραθεί διαπιστώνουμε ότι η περιεκτικότητα του νερού έχει μειωθεί κατά μια ποσοστιαία μονάδα. Πόσο ζυγίζει το μαραμένο πεπόνι;  

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.520)

Λύση

Λύση του N. Lntzs. Η περιεκτικότητα των φυτικών ινών αρχικά ήταν 2% και κατόπιν αυξήθηκε και έγινε 3%, η μάζα όμως παρέμεινε σταθερή. Επομένως, αν α η μάζα (σε γραμμάρια) του νερού που εξατμήστηκε, ισχύει η ισότητα: 1.000*2%=(1.000-α)*3% ή 2.000=3.000-3*α ή 3*α=1.000 ή τελικά α=1.000/3. Το πεπόνι λοιπόν έχασε το 1/3 του βάρους του και κατά συνέπεια ζυγίζει τώρα τα 2/3 του κιλού ή 666,67 γραμ. Λύση του batman1986. Αν κατάλαβα καλά αφού μαραθεί ζυγίζει μια νέα ποσότητα "ψ" κιλών στην οποία τα νέα ποσοστά νερού -φυτικών ινών είναι 97% και 3% Η απόλυτη ποσότητα κιλών φυτικών ινών δεν μεταβλήθηκε(μόνο το νερό μειώθηκε). Έστω 0,02*1=0,02 κιλά οι ίνες ως ποσοστό των αρχικών κιλών και 0,03*(1-α) ως ποσοστό της τελικής ποσότητας Άρα 0,02=0,03*(1-α) Άρα η νέα ποσότητα ψ=1-α=(2/3) κιλά ή 0,66 κιλά περίπου Μειωση κατά 34%

Τουρνουά Σκακιού

Σ' ένα τουρνουά σκακιού συμμετείχαν 8 σκακιστές καθένας από τους οποίους έπαιξε 1 αγώνα με καθένα από τους υπόλοιπους. Μετά το πέρας της διαδικασίας ο κάθε σκακιστής συγκέντρωσε διαφορετικό σύνολο βαθμών. Ο σκακιστής που έλαβε τη 2η θέση είχε όσους βαθμούς είχαν οι τέσσερις τελευταίοι μαζί. Ποιος από τους σκακιστές που κατέλαβαν την 4η και την 5η θέση νίκησε στον μεταξύ τους αγώνα? (Κατ.27/Πρβλ. Νο.331)

Διευκρίνιση:

Νίκη=1 βαθμός.

Ισοπαλία=1/2, ο καθένας.

Λύση

Λύση του batman1986. Oι συνολικοί βαθμοί που θα μοιραστούν ανεξαρτήτως ποια είναι τα αποτελέσματα μεταξύ των σκακιστών είναι στάνταρ 28.Ορίστε πως μπορούν να διανεμηθούν ξεκινώντας από τον 1ο(7 βαθμοί) μέχρι τον τελευταίο(0 βαθμοί)7+6+5+4+3+2+1+0=28(οπότε στέκει αυτή η βαθμολόγηση λόγω αθροίσματος 28 αλλά και λόγω του γεγονότος ότι όλοι έχουν διαφορετικό σύνολο βαθμών μεταξύ τους). Η παραπάνω βαθμολόγηση προυποθέτει μόνο νίκες-ήττες και καθόλου ισοπαλίες(δεν είναι η μοναδική εφικτή).Υπάρχει και η πιθανότητα ισοπαλιών.Αν γίνει μία ισοπαλία μονάχα τότε δεν γίνεται μεταξύ 4ου και 5ου παίχτη αφού θα έχουν και οι 2 3,5 βαθμούς άρα άτοπο. Η ισοπαλία αναγκαστικά γίνεται με άλλο συνδυασμό και σ αυτή την περίπτωση ο 4ος αναγκαστικά έχει κερδίσει το παιχνίδι με τον 5ο. Αν γίνουν 2 ισοπαλίες με κάποιους άλλους και έχει χάσει το παιχνίδι με τον 5ο τότε ο 5ος αναγκαστικά τους 3 βαθμούς που έχει τους πήρε νικώντας τον 4ο και 2 από τους 3 τελευταίος. Άρα κάποιος από τους 3 τελευταίους θα έπρεπε να είχε 1 βαθμό παραπάνω λόγω νίκης του με τον 5ο.Όμως έτσι θα ισοβαθμούσε με κάποιον άλλο άρα άτοπο. Οπότε η μόνη δυνατότητα είναι ο 4ος να νίκησε τον 5ο στο μεταξύ τους παιχνίδι.Αυτό ισχύει γενικά για ζευγάρια αντιπάλων διαδοχικών θέσεων και προφανώς με τη λύση ου προτείνω τηρείται η εκφώνηση 6(1ος)=3+2+1+0(4 τελευταίοι). Λύση του Papaveri. Ο τέταρτος νίκησε τον πέμπτο. Οι τέσσερις τελευταίοι έπαιξαν μεταξύ τους 6 παιχνίδια των οποίων οι βαθμοί μοιράστηκαν σε αυτούς. Οπότε οι τέσσερις τελευταίοι έχουν τουλάχιστον 6 βαθμούς συνολικά με αποτέλεσμα και ο 2ος να έχει τουλάχιστον 6 βαθμούς. Από την άλλη ο 2ος δεν μπορεί να έχει παραπάνω από 6 βαθμούς: Αν ο νικητής έχει 7 βαθμούς τότε τους νίκησε όλους άρα ο 2ος έλαβε το πολύ 6 βαθμούς. Αν ο νικητής έλαβε 6.5 βαθμούς επίσης ο 2ος δεν μπορεί να συγκέντρωσε παραπάνω από 6 βαθμούς. Συνεπώς ο 2ος έχει ακριβώς 6 βαθμούς. Που σημαίνει ότι και οι τέσσερις τελευταίοι έχουν ακριβώς 6 βαθμούς, τους οποίους όμως, όπως δείξαμε παραπάνω, συγκέντρωσαν από τα μεταξύ τους παιχνίδια. Συμπερασματικά κανένας από τους τέσσερις τελευταίους δεν κέρδισε(ούτε έφερε ισοπαλία) κανένα από τους σκακιστές που έλαβαν τις θέσεις 1η έως 4η.

Ματ σε Τρεις

 

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

(Δαμόκλειος Σπάθη/Σ.5)

Λύση

Κλειδί:1.Αδ4!(>2.Πθ4#),η1=Β/Π 2.Πθ4+,Β/Πη4 3.Π:Β/Π# 1....,Ρζ4 2.Αη1,Ρε4/Ρη5 3.Πθ4#/Αε3# 1....,Ρ:Α 2.Ρζ5,~ 3.Πδ3#

Τα Λάχανα

 

Σ’ ένα τετράγωνο χωράφι έχουν φυτευθεί λάχανα, τα οποία είναι τοποθετημένα σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Προσθέτοντας άλλα 311 λαχανα το σχήμα του χωραφιού δεν μεταβάλλεται. Ποσα ήταν αρχικά τα λαχανα; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.519)

Λύση

Λύση του batman1986. Έστω κάθε πλευρά του τετράγωνου χωραφιού έχει χ λάχανα αρχικά Άρα συνολικά υπάρχουν χ*χ=χ^2 λάχανα Προσθέτοντας 311 λάχανα η μορφή του τετραγώνου διατηρείται άρα χ^2+311=ψ^2 Δηλαδή το καινούριο τετράγωνο έχει σε κάθε πλευρά του ψ λάχανα πάλι σε ίσες αποστάσεις(και στο εσωτερικό του προφανώς) Η εξίσωση γράφεται ψ^2-χ^2=311 (ψ-χ)*(ψ+χ)=311 Οι χ καi ψ είναι θετιοί ακέραιοι και ο 311 είναι πρώτος αριθμός άρα ψ-χ=1 και ψ+χ=311 Αθροίζουμε κατά μέλη 2*ψ=312 ψ=156 άρα χ=311-156=155 Οπότε τα συνολικά λάχανα αρχικά ήταν χ^2=(155)^2=24.025. Λύση του Papaveri. Αρχικά τα λάχανα ήταν 24.025. Έστω ότι αρχικά είχαμε «α» λαχανα. και «β» η απόσταση μεταξύ των δυο διαδοχικών λάχανων. Αφού το σχήμα είναι τετράγωνο, θα έχουμε ότι, αν στη μια πλευρά του τετραγώνου έχουμε «x» λαχανα και στην άλλη «ψ», οι αποστάσεις μεταξύ τους στην μια πλευρά θα είναι συνολικά (x-1)*β και στην άλλη (ψ-1)*β. Όμως αφού είναι τετράγωνο, αναγκαστικά έχουμε: (x-1)*β=(ψ-1)*β <=> x-1=ψ-1 <=> x=ψ Άρα συνολικά υπάρχουν x2 λαχανα στον κήπο. Προσθέτοντας 311 λαχανα θέλουμε να μη μεταβληθεί το σχήμα του χωραφιού και να είναι πάλι τετράγωνο... Ομοια όπως και πιο πάνω δείχνουμε ότι αρκεί x2+311= ω2, δηλαδή και ο νέος αριθμός λάχανων να είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού. Έτσι έχουμε: ω2-x2=311 <=> (ω-x)*(ω+x)=311 Όμως ο αριθμός 311 είναι πρώτος, που σημαίνει ότι στο αριστερό μέλος θα πρέπει να έχουμε αναγκαστικά: ω-x=1 (1)και ω+x=311 (2) (αφού ω+x>ω-x εκ των πραγμάτων...) Προσθέτουμε κατα μέλη την (1) και (2) κι’ έχουμε: 2ω=312 --> ω=312/2 --> ω=156 Και συνεπώς ο ζητούμενος x είναι 155 Άρα αρχικά τα λαχανα ήταν x2=1552=24.025.

Ματ σε Πέντε

 

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε πέντε κινήσεις.

(Δαμόκλειος Σπάθη/Σ.5)

Λύση

Κλειδί:1.Πα8!,γ2 2.Ια7,Αδ5 3.Ιγ6+,Αα2 4.Ια5,Α~ 5.Ιβ3# Κρίσιμη κίνηση του λευκού Πύργο και δημιουργία μπαταρίας,δύο φορές. Διαπραγματεύεται το Ινδικό Θέμα ή Ινδική Διατομή.

Τα Κουλούρια

Για να πάρεις 25 κουλούρια, πρέπει να δώσεις τόσα χιλιάρικα, όσα
κουλούρια παίρνεις με ένα χιλιάρικο... Πόσο κάνει το ένα κουλούρι;

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.518)

Λύση

Λύση του batman1986. Εφαρμόζουμε 2 φορές την απλή μέθοδο των 3.  Ένα κουλούρι "χ" δραχμές "ψ" κουλούρια 1000 δραχμές. και  Ένα κουλούρι "χ" δραχμές 25 κουλούρια ψ*1000 δραχμές. Άρα 2 εξισώσεις με 2 αγνώστους: χ*ψ=1000 (1) ψ*1000=25*χ (2) Τις εξισώνουμε και έχουμε 25χ/1000=1000/χ χ^2=10^6/25 χ=1000/5=200 δραχμές το κουλούρι.

Η Συζήτηση

Επτά κορίτσια, η Μαρία, η Γιάννα, η Άννα, η Γεωργία, η Κατίνα, η Όλγα, και η Δήμητρα, διαφωνούσαν για το ποια ημέρα ήταν  την ώρα που συζητούσαν. Η κάθε μια έλεγε τα εξής:

• Μαρία: «Μεθαύριο είναι Τετάρτη.»

• Γιάννα: «Όχι, σήμερα είναι Τετάρτη.»

• Άννα :«Kάνετε λάθος, αύριο είναι Τετάρτη.»

• Γεωργία: «Ανοησίες, σήμερα δεν είναι ούτε Δευτέρα, ούτε Τρίτη, ούτε Τετάρτη.»

• Κατίνα: «Είμαι σίγουρη ότι χτες ήταν Πέμπτη.»

• Όλγα: «Όχι, αύριο είναι Πέμπτη.»

• Δήμητρα: «Εγώ ξέρω ότι χτες δεν ήταν Σάββατο.»

Αν μόνο μια πρόταση από τις παραπάνω είναι αληθής, τότε ποια μέρα ήταν, όταν γινίταν η συζήτηση;

(Κατ.28/Πρβλ. Νο.18)

Λύση

Λύση του batman1986. Ας δούμε σε ποια μέρα αναφέρεται η καθεμία: 1)Μαρία:Δευτέρα 2)Γιάννα:Τετάρτη 3)Άννα:Τρίτη 4)Γεωργία:Πέμπτη ή Παρασκεύη η Σάββατο ή Κυριακή 5)Κατίνα: Παρασκευή 6)Όλγα:Τετάρτη 7)Όχι Κυριακή Είναι προφανές ότι η μόνη που μπορεί να λέει την αλήθεια είναι η Γεωργία Και αυτό δεδομένου ότι οι άλλες 6 λένε ψέματα τότε σύμφωνα με αυτή σήμερα είναι Πέμπτη ή Παρασκευή ή Σάββατο ή Κυριακή Σε συνδυασμό με την ψευδή πρόταση 7) δηλαδή ότι χτες ήταν Σάββατο άρα Σήμερα είναι Κυριακή τότε ταιριάζουν λογικά... Αν αντιθέτως ήταν αληθείς κάποια από τις 1),2),3),5),6) τότε δεν θα ταίριαζε λογικά καμία από αυτές με την ψευδή 7) αφού θα δηλωνόταν ότι είναι Κυριακή και ταυτόχρονα κάποια άλλη μέρα πλην της Κυριακής... Αν η 7) είναι αληθής τότε προσκρούει στο γεγονός ότι η ψευδής 4) σημαίνει ότι είναι ή Τρίτη ή Τετάρτη ή Δευτέρα ενώ οι 1),2),3) σαν επίσης ψευδείς την διαψεύδουν αφού δηλώνουν ότι δεν είναι ούτε Τετάρτη ,ούτε Δευτέρα ούτε Τρίτη αντίστοιχα... Άρα είναι Κυριακή σήμερα και η Γεωργία λέει αλήθεια... Λύση του Papaveri. Αν ξαναγράψουμε τις προτάσεις στην ισοδύναμη μορφή: Μαρία: Σήμερα είναι Δευτέρα. Γιάννα: Σήμερα είναι Τετάρτη. Άννα :« Σήμερα είναι Τρίτη.» Γεωργία: Σήμερα είναι ή Πέμπτη, ή Παρασκευή, ή Σάββατο ή Κυριακή. Κατίνα: Σήμερα είναι Παρασκευή. Όλγα: Σήμερα είναι Τετάρτη. Δήμητρα: Σήμερα είναι ή Δευτέρα, ή Τρίτη, ή Τετάρτη, ή Πέμπτη, ή Παρασκευή, ή Σάββατο. Η μόνη μέρα που δεν αναφέρεται δύο φορές είναι η Κυριακή, άρα η μέρα, όταν έγινε η συζήτηση, ήταν η Κυριακή.

Ματ σε Επτά

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε επτά κινήσεις.
(Δαμόκλειος Σπάθη/Σ.4)

Λύση

1.Αβ2!,Ρβ1 2.Ργ3,Ρα2 3.Αγ1,Ρβ1 4.Ρδ2,Ρα2 5.Ργ2,Ρα1 6.Αβ2+,Ρα2 7.Ιγ3#

Η Διανομή

Πόσα μήλα χρειάζονται, εάν από έξι άτομα: 

• Ο πρώτος πάρει  το 1/3.

• Ο δεύτερος πάρει το 1/8.

• Ο τρίτος πάρει το 1/4.

• Ο τέταρτος πάρει το 1/5 του συνολικού αριθμού αντίστοιχα.

• Το πέμπτο άτομο πάρει δέκα μήλα.

• Και το έκτο άτομο πάρει ένα μήλο;

Πηγή: Παλατινή ή Ελληνική Ανθολογία.

(Κατ.36/Πρβλ. Νο.27)

Διαβάστε περισσότερα »

Τα Μήλα

Αρχαίο Κείμενο:

Αι Χάριτες μήλων καλάθους φέρον, εν δε εκάστη

ίσον έην πλήθος. Μούσαι σφίσιν αντεβόλησαν

εννέα,  και μήλων σφέας ήτεον· αι δ’ αρ’ έδωκαν

ίσον εκάστη πλήθος, έχον δ’ ίσα εννέα και τρεις.

Ειπέ πόσον μέν δώκαν, όπως δ’ ίσα πάσαι έχεσκον.

Μετάφραση:

Οι τρεις Χάριτες κρατούν την ίδια ποσότητα μήλων η κάθε μια από αυτές. Συναντούν τις εννέα Μούσες, με τις οποίες μοιράζονται τα μήλα τους, δίνοντας στη κάθε μια ίδιο αριθμό μήλων. Εάν μετά τη διανομή έχουν όλες τους τον ίδιο αριθμό μήλων, πόσα μήλα είχε η κάθε Χάρη; (Κατ.36/Πρβλ. Νο.23)

Πηγή: Παλατινή ή Ελληνική Ανθολογία

Λύση

Λύση του batman1986. Έστω κάθε μια από 3 χάριτες κρατά χ μήλα αρα σύνολο έχουν 3χ Σύμφωνα με την εκφώνηση δίνουν ίσο αριθμό μήλων στις 9 μούσες και τελικά έχουν και οι 12 ίσο αριθμό μήλων μετά την διανομή των 3χ Άρα για 3*χ-9*ψ=3*ψ Άρα 3*χ/12=ψ(2) Άρα πρέπει το χ να είναι ακέραιο πολ/σιο του 12 δηλαδή για χ=12*ν Για ν=1 ,χ=12 και ψ=3 Άρα κάθε χάρη είχε 12 μήλα (σύνολο 36) και τελικά καθεμία από τις 12 έχει 3 δηλαδή 12*3=36 (όσα τα αρχικά) Ομοίως για μεγαλύτερα πολ/σια  Λύση του Papaveri. Εφόσον μετά τη διανομή η κάθε θεά έχει τον ίδιο αριθμό μήλων, έπεται, ότι ο ολικός αριθμός των μήλων είναι πολλαπλάσιο του 12 (3 Χάριτες + 9 Μούσες = 12). Επίσης, εφόσον και η κάθε Χάρη είχε στην αρχή τον ίδιο αριθμό μήλων, έπεται, ότι ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του 3. Από τ’ ανωτέρω συνάγουμε το συμπέρασμα ότι το 12 αποτελεί μία λύση, καθώς επίσης και κάθε πολλαπλάσιο του 12. Πράγματι, εάν η κάθε μια από τις τρεις Χάριτες κρατούσε 12 μήλα, το σύνολο των μηλων ανέρχεται σε 3*12 = 36. Εάν η κάθε μία από τις Χάριτες κρατούσε 3 μήλα, σύνολο 3*3 = 9 μήλα, οι Μούσες θα έπαιρναν κι’ αυτές από 3 μήλα, σύνολο 3*9 = 27 μήλα, δηλαδή σύνολο 9 + 27 = 36μήλα. Εάν η κάθε μια από τις τρεις Χάριτες κρατούσε 24 μήλα, το σύνολο των μήλων ανέρχεται σε 72. Εάν η κάθε μία από τις Χάριτες κρατούσε 6 μήλα, σύνολο 3*6 = 18 μήλα, οι Μούσες θα έπαιρναν κι’ αυτές από 6 μήλα, σύνολο 6*9 = 54 μήλα, δηλαδή σύνολο 18 + 54 = 72 μήλα. Και ούτω καθ’ εξής.

Ματ σε Τρεις

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις.

(Ο Σαμουήλ-Ερρίκος ο Νυκτοπάτης/Νο.5)

Λύση

Κλειδί:1.Ιζ4!,Ρα5 2.Ιδ5,Ρα4 3.Ββ4# 1....,Ρα5 2.Ιδ5,2…Ρα6 3.Ββ6# 1....,Ρα3 2.Ιδ3,Ρα4 3.Ββ4# 1....,Ρα3 2.Ιδ3,2…Ρα2 3.Ββ2#.

Η Μοιρασιά

Δύο αδέλφια, ο Γιώργος και ο Κώστας μοίρασαν ένα χρηματικό ποσόν με τον εξής τρόπο:

Ø      Ο ένας πήρε 20€ και το  1/6 του υπολοίπου των ευρώ.

Ø      Ο άλλος πήρε 30€ και το  1/6 του υπολοίπου των ευρώ.

Μετά τη μοιρασιά διαπίστωσαν, ότι και οι δύο πήραν τα ίδια χρήματα. Πόσα ήταν τα χρήματα και πόσα πήρε ο καθένας;

(Κατ.36/πρβλ. Νο.10)

Διαβάστε περισσότερα »

Τα Μήλα

  Τέσσερις μαθητές μοίρασαν έναν ορισμένο αριθμό μήλων με τον εξής τρόπο:

Ø      Ο πρώτος πήρε το 1/2 των μήλων πλην 10 μήλα.

Ø      Ο δεύτερος πήρε τα 3/4 από τα υπόλοιπα μήλα πλην 15 μήλα.

Ø      Ο τρίτος πήρε τα 2/5 του νέου υπολοίπου και 2 μήλα επί πλέον.

Ø      Ο τέταρτος πήρε τα 13 μήλα που περίσσεψαν.

Μπορείτε να βρείτε πόσα ήταν τα μήλα και πόσα πήρε ο καθένας;
(Κατ.36/Πρβλ. Νο.8)

Διαβάστε περισσότερα »

Οι Πέντε Τρίτες

Ο Φεβρουάριος του έτους 1972, το οποίο ήταν δίσεκτο, περιελάμβανε 5 Τρίτες. Το παράξενο αυτό γεγονός, για έναν μήνα με λιγότερες από 30 ημέρες, ήταν δυνατόν να συμβεί λόγω του ότι το έτος αυτό ήταν δίσεκτο, όπως προαναφέραμε, δηλαδή ο μήνας είχε 29 ημέρες απ’ ότι στο κανονικό έτος που έχει 28 ημέρες. Μπορείτε να βρείτε πότε θα ξανασυμβεί αυτό το γεγονός στο μήνα Φεβρουάριο;

(Κατ.13/πρβλ. Νο.19)

Λύση

Λύση του batman1986. Ανά 4 χρόνια μετρώντας από το 1972 έχουμε δίσεκτα έτη και μεταφερόμαστε 5 μέρες μπροστά στην βδομάδα.Άρα π.χ. το επόμενο δίσεκτο έτος (1976) θα έχουμε Κυριακή την 1η του μήνα άρα έχουμε αλληλουχία ημερών για την πρώτη του μήνα τα επόμενα δίσεκτα έτη Κυριακή-Παρασκευή-Τετάρτη-Δευτέρα-Σάββατο-Πέμπτη-Τρίτη. Άρα από το 1972 έχουμε άλλα 7 δίσεκτα έτη οπότε ανφερόμαστε στο 1972+4*7=2000 (τότε είχαμε πάλι 5 Τρίτες). Λύση του Papaveri. Πέντε Τρίτες ή και οποιαδήποτε ημέρα της εβδομάδας μπορούν να παρουσιασθούν μέσα στο Φεβρουάριο, μόνον εάν το έτος αυτό είναι δίσεκτο. Η ίδια ημέρα θα επαναληφθεί 5 φορές μέσα στο Φεβρουάριο μόνο την κάθε έβδομη δίσεκτη χρονιά,δηλαδή κάθε 4*7 = 28 χρόνια!! Άρα θα επαναληφθεί το ίδιο γεγονός το έτος 2000,το οποίο είναι δίσεκτο.

ΙΟΥΝΙΟΣ 2012

 Εύχομαι σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας

Κ Α Λ Ο  Μ Η Ν Α!!