Η Ηλικία

Εάν η Susan είναι 10, η Arabella είναι 20, οι Jim και Neal είναι από 5 ο καθένας,  ο Richard είναι 10, πόσο είναι η Jennifer; (Κατ.27/Νο.338)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_2189.html

Λύση

Η Jennifer είναι 15. Κάθε συλλαβή του κάθε ονόματος έχει αξία 5 βαθμών. Su-san=2*5=10, Ar-ab-el-la=4*5=20, Jim=1*5=5, Neal=1*5=5, Rich-ard=2*5=10, Jen-ni-fer=3*5=15

Το Ποσοστό

Αν "x" είναι το 150% του "y", τότε τι ποσοστό του "3x" είναι το "4y"; 

(Κατ.34/Νο.533)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_9025.html

Λύση

Είναι το ≈89%. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: x=(150/100)y Αντικαθιστούμε τη τιμή του «x» στο 3x κι’ έχουμε: 3x = 3*(150/100)y=(450/100)y=4,50y Κατάταξη: Στα 4,5y αντιστοιχούν στο 100% του 3x στα 4y τι «x» ποσοστό είναι του 3x; 4y*100%=4,50y --> 4/4.50 --> 0,88888888888888888888888888888889 ή ≈89%

Ο Αριθμός

 

 Είμαι ένας τριψήφιος αριθμός. Αν με πολλαπλασιάσεις με το 2, αφαιρέσεις από το γινόμενο το 1 και με διαβάσεις ανάποδα τότε με βρήκες. Ποιος είμαι? (Κατ.1/Νο.133) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/02/blog-post_2674.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Μια εναλλακτική λύση είναι η εξής: Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 397. Εάν ο ζητούμενος αριθμός είναι έστω xyz, ισχύει: 2(100x+10y+z)-1=100z+10y+x κι αυτή γίνεται: 199x+10y-98z-1=0 (1) Oι δυνατές τιμές του x είναι 1,2,3,4 Το 0 αποκλείεται γιατί ο αριθμός τότε θα ήταν διψήφιος και τιμές μεγαλύτερες του 4 επίσης αποκλείονται γιατί τότε το διπλάσιο του xyz θα ήταν μεγαλύτερο του 999 δηλαδή τετραψήφιος αριθμός. Για x=1 η (1) γίνεται: 10y-98z+198=0 Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+39 και z=5t+6 , t ακέραιος. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει t που να μας δίνει "0" μικρότερο "y" και "y" μιρότερο 10,άρα η x=1 δεν κάνει. Για x=2 η (1) γίνεται: 10y-98z+397=0 Δεν υπάρχουν γι’ αυτή ακέραιες λύσεις. Για x=3 η (1) γίνεται: 10y-98z+596=0 Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+9 και z=5t+7 , t ακέραιος. Για t=0 έχουμε τις αποδεκτές λύσεις για το επιτρεπόμενο εύρος τιμών των y και z, y=9 και z=7 Για x=4 η (1) γίνεται: 10y-98z+795=0 Δεν υπάρχουν γι' αυτή ακέραιες λύσεις. Άρα μοναδική λύση η Χ=3, Υ=9 ,Ζ=7

Ο Κωδικός

 

Παρατηρείστε με προσοχή τις δύο ανωτέρω στήλες του πίνακα. Σε κάθε αριθμό που βρίσκεται στην  πρώτη στήλη υπάρχει ο αντίστοιχος κωδικός αριθμός στη δεύτερη στήλη . Ποιος είναι ο κωδικός αριθμός του αριθμού 5213; (Κατ.1/Νο.132) 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/01/blog-post_1567.html

Λύση

Ο κωδικός αριθμός είναι ο 10246. Διπλασιάζουμε το κάθε ψηφίο του αριθμού και το κάθε γινόμενο το γράφουμε σε μια σειρά το ένα δίπλα στο άλλο. 236 --> 2*2, 2*3, 2*6 --> 4612, 748 --> 2*7, 2*4, 2*8 --> 14816, 951 --> 2*9, 2*5, 2*1 --> 18102, 3604 --> 2*3, 2*6, 2*0, 2*4 -->61208, 5123 --> 2*5, 2*1, 2*2, 2*3 -->10246 (?)

Ο Αριθμός

Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος αριθμός, που διαιρούμενος...:
Με το 10 αφήνει υπόλοιπο 9;
Με το 9 αφήνει υπόλοιπο 8;
Με το 8 αφήνει υπόλοιπο 7;
Με το 7 αφήνει υπόλοιπο 6;
Με το 6 αφήνει υπόλοιπο 5;
Με το 5 αφήνει υπόλοιπο 4;
Με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3;
Με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2;
Με το 2 αφήνει υπόλοιπο 1;
Με το 1 αφήνει υπόλοιπο 0; 
(Κατ.5/Νο.8)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2011/02/blog-post_8876.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Γενικά, αν ένας ακέραιος ,έστω Z, αφήνει υπόλοιπο Κ-1 όταν διαιρείται με έναν αριθμό Κ, τότε ο Ζ+1 διαιρείται ακριβώς με τον Κ. Π.χ. ο 71 /8 αφήνει υπόλοιπο 7. (8*8 + 7=71). Έτσι ο 72 διαιρείται ακριβώς με το 8. (8*9=72) Άρα στην περίπτωσή μας ο αριθμός Ζ+1 διαιρείται ακεραίως με τους 1, 2, 3,…9, 10. Μια προφανής λύση άρα, είναι και το 10! (αλλά too big to be true!):-) Προφανώς(εξ ορισμού του), ο ελάχιστος αριθμός που ψάχνουμε είναι το Ε.Κ.Π (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) των 1,2,3…,9, 10 που είναι ο αριθμός 2520 (=2*4*5*7*9). Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι : Ζ=2519 Επαλήθευση: 2519/2 = 1259*2 + 1 2519/3= 839*3 +2 …………………………… 2519/9= 279*9 + 8 2519/10= 251*10 + 9 Λύση του Papaveri. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 1,2,3,4,5,6,7,8,9 και 10 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι: Ε.Κ.Π.=1*2^3*3^2*5*7=2.520. Επειδή Ν= (πολλαπλάσιο του 10,9,8,…,2)-1, θα έχουμε Ν=2.520-1= 2.519 --> Ν = 2.519

Άθροισμα 34

Στο ανωτέρω μαγικό τετράγωνο το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά, στήλη και διαγώνιο είναι 34 (Μαγική Σταθερά). Επίσης, άθροισμα 34  έχουν και οι αριθμοί στα τετραγωνάκια με τα εξής γράμματα:

ADMP - BCNO - EHIL - FGJK - ABEF - CDGH - IJMN - KLOP.

Να βρεθούν οι αριθμοί που αντιστοιχούν στα γράμματα.

(Μαγικά Τετράγωνα)  
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/34.html

Διαβάστε περισσότερα »

Ματ σε Δύο

 Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.
(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Πα3!(zz),Α επί της διαγωνίου «δ1-θ5» 2.δ3#, 1....,Α επί της διαγωνίου «ζ1-α6» 2.ζ3#, 1....,δ3 2.Πα4#, 1....,ζ3 2.Πθ4# Ένα συμμετρικό ηχώ-ματ.

Το Άθροισμα

Εάν: 

 

να υπολογιστεί το άθροισμα:

 

(Κατ.9Α΄/Νο.17)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_6820.html

Διαβάστε περισσότερα »

Το Ψηφίο

Έστω ένας αριθμός «N» ο οποίος αποτελείται από 50 ψηφία. Όλα τα ψηφία του, εκτός από το 26^ο, αποτελούνται από τον αριθμό 1. Εάν ο αριθμός «N» διαιρείται με το 13, να βρεθεί το 26^ο ψηφίο.

(Κατ.1/Νο.131)

 Πηγή:http://madanpur.in/rmo/rmo.htm (India Mathematical Olympiad 1990 ) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_5640.html#comment-form 

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Με βάση την αριθμητική modular ισχύει: 1 = 1 (mod 13) 10 = -3 (mod 13) (δηλαδή: 10 - -3=13 διαιρείται με το 13) 100 = -4 (mod 13) (δηλ. 100 - -4=104 διαιρείται με το 13) 1000 = -1 (mod 13) (δηλ. 1000 - -1 διαιρείται με το 13) 10000 = 3 (mod 13) (δηλ. 10000 - + 3=9997 διαιρείται με το 13) 100000 = 4 (mod 13) (δηλ. 100000 - + 4 διαιρείται με το 13) 1000000 = 1 (mod 13)(δηλ. 1000000 - + 1 διαιρείται με το 13) Και ούτω καθεξής για κάθε ανώτερη τάξη του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. Η εξάδα των συντελεστών δηλαδή 1, -3, -4, -1, 3, 4 επαναλαμβάνεται περιοδικά συνεχώς. Ένας οποιοσδήποτε αριθμός είναι της μορφής: a1*1+a2*10+a3*100+a4*1000 +…a50*10^49 στην περίπτωσή μας ,όπου οι παράγοντες των μονάδων, δεκάδων, κλπ: a1, a2,…a50 είναι όλοι 1 εκτός πιθανώς από τον a25 που ψάχνουμε. Αντιστοιχώντας την επαναλαμβανομένη εξάδα των συντελεστών που βρήκαμε αρχικά ότι αντιστοιχούν σε διαιρέτες του 13 στον αριθμό μας, είναι προφανές ότι αν το άθροισμα Σ= 1*a1 +(-3)*a2+(-4)*a3+ (-1)*a4+ 3*a5+4*a6+….+ (+1)*a25 +….+(-3)*a50 διαιρείται με το 13 ή ισούται με 0 ,τότε και ο αριθμός μας a50a49a48…a1 διαιρείται με το 13. Βρίσκουμε το άθροισμα των Σ (πχ σε μια στήλη του excel) (όλα τα a(n) είναι μονάδες=1 και αλλάζοντας/κάνοντας δοκιμές μόνο στο a25 παρατηρούμε ότι για a25=0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 έχουμε αντίστοιχα Σ= -3 , -2, -1, 0, 1, 2,3,4,5 και 6 . Άρα ο a25 που ψάχνουμε και δίνει Σ=0 για να διαιρεί ο αριθμός το 13, είναι το ψηφίο 3. Λύση του Papaveri. Το 26ο ψηφίο είναι ο αριθμός 3. Βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,x,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 Χωρίζουμε τα ψηφία του ανωτέρω αριθμού σε τριάδες από δεξιά προς τ’ αριστερά: 11,111,111,111,111,111,111,111,11x,111,111,111,111,111,111,111,111 Χωρίζουμε τον αριθμό σε τριάδες από αριστερά προς τα δεξιά: 111,111,111,111,111,111,111,111,11x,111,111,111,111,111,111,111,11 Χωρίζουμε τον αριθμό σε εξάδες από αριστερά προς τα δεξιά και αφαιρούμε ανά τριάδες και τη διαφορά τη προσθέτουμε στην επόμενη διαφορά: (111-111)+(111-111)+(111-111)+(111-111)+(11x-111)+(111-111)+(111-111)+(111-111)+(11) 0+0+0+0+(11x-111)+0+0+0+(11) Από το ανωτέρω συνάγουμε: (11x-111)+(11) Διερεύνηση: Δίδοντας στο «x» τιμές από το 0 έως το 9, βλέπουμε ότι η μόνη τιμή που ικανο- ποιεί τη συνθήκη είναι τιμή 3. (11x-111)+(11) --> (113-111)+11 --> 2+11=13 Για x = 0 δίνει 10 Για x = 1 δίνει 11 Για x = 2 δίνει 12 Για x = 3 δίνει 13 Για x = 4 δίνει 14 Για x = 5 δίνει 15 Για x = 6 δίνει 16 Για x = 7 δίνει 17 Για x = 8 δίνει 18 Για x = 9 δίνει 19 Επαλήθευση: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+3+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 52:13 = 4

Ματ σε Δύο

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις. 
(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Βα6!,Ρε4 2.Βδ3# 1....,ε5/ε6/Ργ5 2.Βγ4#

Ο Μέσος Όρος

Ο μέσος όρος πέντε αριθμών είναι 18. Αν αυξήσουμε τον πρώτο αριθμό κατά 1, το δεύτερο κατά 2, τον τρίτο κατά 3, τον τέταρτο κατά 4 και τον πέμπτο κατά 5, τότε ποιος θα είναι ο μέσος όρος των πέντε νέων αριθμών. (Κατ.1/Νο.130)

Πηγή:?

Λύση

Ο μέσος όρος των πέντε αριθμών θα είναι 21. Έστω "α", "β", "γ", "δ", και "ε" οι πέντε αριθμοί. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: (α+β+γ+δ+ε)/5=18 (1) Αυξάνουμε τους αριθμούς κατά 1, 2, 3, 4, και 5 μονάδες: [(α+1)+(β+2)+(γ+3)+(δ+4)+(ε+5)](2) Ο μέσος όρος θα είναι: (α+β+γ+δ+ε)/5=18 --> (α+β+γ+δ+ε)=18*5 --> (α+β+γ+δ+ε)=90 Προσθέτουμε τις 15 μονάδες κι' έχουμε: [(α+1)+(β+2)+(γ+3)+(δ+4)+(ε+5)]=90+15--> [(α+1)+(β+2)+(γ+3)+(δ+4)+(ε+5)]=105 105:5=21

Η Ημέρα

i) Η 1 Φεβρουαρίου 2011 ήταν ημέρα Τρίτη. Τι ημέρα είχαμε στις 2 Μαρτίου 2012;

ii) Για το έτος Ν η 300η ημέρα του ήταν Τρίτη. 

iii)Για το έτος (Ν+1) η 200η ημέρα του ήταν επίσης Τρίτη. 

Να βρεθεί τι ημέρα ήταν η 100η ημέρα του έτους (Ν-1). (Κατ.13/Νο.30)
Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/Skitalodromiaold/LiseisSkital2011.pdf   (Κύπρος - Μαθηματική Σκυταλοδρομία 2011)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/1_15.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Oι μέρες συμπίπτουν με τον εαυτό τους σε πολλαπλάσια του 7. Αυτό σημαίνει ότι εφόσον για το έτος Ν έχουμε μια Τρίτη (την 300η μέρα του) κάθε Τρίτη θα απέχει x μέρες ,όταν το x είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 7 . Μπαίνει όμως το θέμα των δίσεκτων χρόνων για τα έτη Ν-1, Ν, Ν+1. Ας υποθέσουμε ότι το έτος Ν δεν είναι δίσεκτο ,άρα έχει 365 μέρες. Άρα (και με βάση το στοιχείο iii) της εκφώνησης) η 200η μέρα του έτους Ν+1 είναι 365-300+200 = 265 μέρες μετά την 300η μερα του Ν ,που είναι Τρίτη. Αλλά το 265 δεν διαρειται με το 7 ακριβώς, 37 * 7= 259 και περισεύουν 6 μέρες ,που σημαίνει οτι η εν λόγω μέρα είναι Δευτέρα, άρα άτοπο, άρα το έτος Ν είναι δίσεκτο. Οπότε και ισχύει όντως ότι η 200η μέρα του Ν+1 είναι πάλι Τρίτη αφού πλέον απέχει 266 (266/7=38) μέρες από μια Τρίτη. Έτσι, δεδομένου οτι το Ν είναι δισεκτο, το Ν-1 δεν είναι. Ισχύει για την 100η μέρα του Ν-1 ότι προηγείται της δοθείσας Τρίτης του Ν κατά 365-100+300= 565 μέρες. Το 565 δεν διαιρείται ακριβώς με το 7 και ισχύει 565= 80 * 7 +5 , άρα έχουμε 5 μέρες ΜΕΙΟΝ από ένα πολλάπλάσιο του 7 (=Τρίτη) , άρα η ζητούμενη μέρα πέφτει Πέμπτη. Μ'αυτό ακριβώς το γενικό σκεπτικό και δεδομένου οτι το 2012 είναι δίσεκτο, βρίσκουμε και την απάντηση στο i) που είναι Παρασκευή. Λύση Papaveri. i) Η 1η Φεβρουαρίου 2011 μέχρι 31η Ιανουαρίου 2012:364 ημέρες (Δεν συμπεριλαμβάνεται η 1η Φεβρουαρίο.) 1η Φεβρουαρίου 2012 μέχρι 29η Φεβρουαρίου 2012:29 ημέρες 1η Μαρτίου 2012 μέχρι 2η Μαρτίου 2012: 2 ημέρες Σύνολο 395 ημέρες. Διαιρούμε το σύνολο των ημερών με το 7 ημέρες που αποτελούν τη μια εβδομάδα κι’ έχουμε: (395Mod7)=56*7+3, που σημαίνει ότι η 2η Μαρτίου θα είναι 56 εβδομάδες και 3 ημέρες μετά την Τρίτη 1η Φεβρουαρίου 2011, η 2η Μαρτίου 2012 θα είναι ημέρα Παρασκευή. ii)Συμβολίζουμε με «Α» την ημέρα που αντιστοιχεί στη 300η ημέρα του έτους «Ν» Συμβολίζουμε με «Β» την ημέρα που αντιστοιχεί στη 200η ημέρα του έτους «Ν+1» Συμβολίζουμε με «Γ» την ημέρα που αντιστοιχεί στη 100η ημέρα του έτους «Ν-» Εάν το έτος «Ν» δεν είναι δίσεκτο, η ημέρα «Β» είναι (365-300)+200=265 ημέρες μετά την ημέρα «Α». Αλλά (265Mod7)=37*7+6. Άρα η ημέρα «Β» βρίσκεται 37 εβδομάδες και 6 ημέρες μετά την ημέρα «Α», δηλαδή θα έπρεπε να είναι Δευτέρα και όχι Τρίτη, που είναι άτοπο σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος. Επομένως το έτος «Ν» είναι δίσεκτο και όχι κοινό, άρα το «Ν-1» δεν είναι δίσεκτο, αλλά κοινό. Με αυτό το δεδομένο η ημέρα «Α» βρίσκεται (365-100)+300=565 ημέρες μετά την ημέρα «Γ». Αλλά (565Mod7)=80*7+5, δηλαδή η ημέρα «Α» βρίσκεται 80 εβδομάδες και 5 ημέρες μετά την ημέρα «Γ», που είναι ημέρα Πέμπτη.

Ματ σε Τέσσερις

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε τέσσερις κινήσεις.
(Δαμόκλειος Σπάθη)

Λύση

1.Πβ3!,β5 2.Πα8,β4 3.Αα7,Ιγ1/Ιγ3 4.Αδ4# Ινδικό Θέμα.

Το Υπόλοιπο

122333444455555666666777777788888888999999999

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του ανωτέρω αριθμού με το 9. (Κατ.1/Νο.129)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_3237.html

Λύση

Λύση του N. Lntzs. Ένας αριθμός διαιρείται (ακριβώς) με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Ο αριθμός που δίδεται έχει άθροισμα ψηφίων 285,το οποίο αν διαιρεθεί με το 9 δίνει πηλίκο 31 και υπόλοιπο 6. Αν λοιπόν ό δοθείς αριθμός ήταν μικρότερος κατά 6 μονάδες θα ήταν ακέραιο πολλαπλάσιο του 9. Συνεπώς το ζητούμενο υπόλοιπο είναι το 6.

Σχηματισμοί

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 4, 5, 7 και 9 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 0.(Κατ.43/Νο.20)

Λύση

[(4*7)/2-(+5)]=[(28/2)-14]=14-14=0, [(9-(7+2))*(4+5)]=[(9-9)*9]=0*9=0, [(9-(4+5))*(7+2)]=[(9-9)*9]=0*9=0, [((7-5)-2)*(9+4)]=[(2-2)*13]=0*13=0, [(9-7)/2-(5-4)]=[(2/2)-1=1-1=0, [(5-4)-[9/(7+2)]]=[1-(9/9)]=1-1=0

Σχηματισμοί

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 4, 5, 6 και 7 από μία φορά και τις τέσσερις πράξεις (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό 43. (Κατ.43/Νο.19)

Λύση

[((6*7)+5)-4]=[(42+5)-4]=47-4=43, [((6+4)*5)-7]=[(10*5)-7]=50-7=43

Η Ισορροπία (ΙΙ)

Η ανωτέρω ζυγαριά ισορροπεί. Εάν:

και το άθροισμα των βαρών των αντικειμένων της ζυγαριάς είναι:

 

Να βρεθεί το βάρος του κάθε αντικειμένου. (Κατ.9η/Α΄/Νο.17)
Πηγή:?

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.