Το Ψηφίο

Έστω ένας αριθμός «N» ο οποίος αποτελείται από 50 ψηφία. Όλα τα ψηφία του, εκτός από το 26^ο, αποτελούνται από τον αριθμό 1. Εάν ο αριθμός «N» διαιρείται με το 13, να βρεθεί το 26^ο ψηφίο.

(Κατ.1/Νο.131)

 Πηγή:http://madanpur.in/rmo/rmo.htm (India Mathematical Olympiad 1990 ) 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_5640.html#comment-form 

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Με βάση την αριθμητική modular ισχύει: 1 = 1 (mod 13) 10 = -3 (mod 13) (δηλαδή: 10 - -3=13 διαιρείται με το 13) 100 = -4 (mod 13) (δηλ. 100 - -4=104 διαιρείται με το 13) 1000 = -1 (mod 13) (δηλ. 1000 - -1 διαιρείται με το 13) 10000 = 3 (mod 13) (δηλ. 10000 - + 3=9997 διαιρείται με το 13) 100000 = 4 (mod 13) (δηλ. 100000 - + 4 διαιρείται με το 13) 1000000 = 1 (mod 13)(δηλ. 1000000 - + 1 διαιρείται με το 13) Και ούτω καθεξής για κάθε ανώτερη τάξη του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. Η εξάδα των συντελεστών δηλαδή 1, -3, -4, -1, 3, 4 επαναλαμβάνεται περιοδικά συνεχώς. Ένας οποιοσδήποτε αριθμός είναι της μορφής: a1*1+a2*10+a3*100+a4*1000 +…a50*10^49 στην περίπτωσή μας ,όπου οι παράγοντες των μονάδων, δεκάδων, κλπ: a1, a2,…a50 είναι όλοι 1 εκτός πιθανώς από τον a25 που ψάχνουμε. Αντιστοιχώντας την επαναλαμβανομένη εξάδα των συντελεστών που βρήκαμε αρχικά ότι αντιστοιχούν σε διαιρέτες του 13 στον αριθμό μας, είναι προφανές ότι αν το άθροισμα Σ= 1*a1 +(-3)*a2+(-4)*a3+ (-1)*a4+ 3*a5+4*a6+….+ (+1)*a25 +….+(-3)*a50 διαιρείται με το 13 ή ισούται με 0 ,τότε και ο αριθμός μας a50a49a48…a1 διαιρείται με το 13. Βρίσκουμε το άθροισμα των Σ (πχ σε μια στήλη του excel) (όλα τα a(n) είναι μονάδες=1 και αλλάζοντας/κάνοντας δοκιμές μόνο στο a25 παρατηρούμε ότι για a25=0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 έχουμε αντίστοιχα Σ= -3 , -2, -1, 0, 1, 2,3,4,5 και 6 . Άρα ο a25 που ψάχνουμε και δίνει Σ=0 για να διαιρεί ο αριθμός το 13, είναι το ψηφίο 3. Λύση του Papaveri. Το 26ο ψηφίο είναι ο αριθμός 3. Βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,x,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 Χωρίζουμε τα ψηφία του ανωτέρω αριθμού σε τριάδες από δεξιά προς τ’ αριστερά: 11,111,111,111,111,111,111,111,11x,111,111,111,111,111,111,111,111 Χωρίζουμε τον αριθμό σε τριάδες από αριστερά προς τα δεξιά: 111,111,111,111,111,111,111,111,11x,111,111,111,111,111,111,111,11 Χωρίζουμε τον αριθμό σε εξάδες από αριστερά προς τα δεξιά και αφαιρούμε ανά τριάδες και τη διαφορά τη προσθέτουμε στην επόμενη διαφορά: (111-111)+(111-111)+(111-111)+(111-111)+(11x-111)+(111-111)+(111-111)+(111-111)+(11) 0+0+0+0+(11x-111)+0+0+0+(11) Από το ανωτέρω συνάγουμε: (11x-111)+(11) Διερεύνηση: Δίδοντας στο «x» τιμές από το 0 έως το 9, βλέπουμε ότι η μόνη τιμή που ικανο- ποιεί τη συνθήκη είναι τιμή 3. (11x-111)+(11) --> (113-111)+11 --> 2+11=13 Για x = 0 δίνει 10 Για x = 1 δίνει 11 Για x = 2 δίνει 12 Για x = 3 δίνει 13 Για x = 4 δίνει 14 Για x = 5 δίνει 15 Για x = 6 δίνει 16 Για x = 7 δίνει 17 Για x = 8 δίνει 18 Για x = 9 δίνει 19 Επαλήθευση: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+3+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 52:13 = 4