Η Απόσταση

Μία κατοικίδια γάτα έφυγε κάποτε από το σπίτι της με ταχύτητα τρία χιλιόμετρα την ώρα. Ξαφνικά, θυμήθηκε ότι ήταν ώρα για το βραδινό και έτσι βιάστηκε να γυρίσει πίσω με ταχύτητα διπλάσια από πριν. Συνολικά έλειπε για δεκαπέντε λεπτά. Πόσο μακριά είχε πάει από το σπίτι της; (Κατ.34/Νο.675)

Πηγή: http://mathefarm

Λύση

Η απόσταση που διήνησε από το σπίτι μέχρι το σημείο "x" ήταν 500μ. ή 0,5χιλιόμετρο. Έστω «S» η απόσταση σε χιλιόμετρα που διένυσε η γάτα προτού αποφασίσει να γυρίσει πίσω και «t1» ώρες ο χρόνος που έκανε για να την διανύσει με ταχύτητα 3 χλμ/ώρα .Κατόπιν, γύρισε πίσω στην αφετηρία διανύοντας την ίδια απόσταση με διπλάσια ταχύτητα απ’ ότι ήταν η ταχύτητα όταν πήγε στο σημείο «x» σε χρόνο t2 ώρες. Βάσει του τύπου της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης έχουμε: S=υ*t1 και S=υ*t2 Επειδή διήνησε την ίδια απόσταση έχουμε: S1=S2 --> υ*t1=2*υ*t2 --> 3*t1=3*2*t2 --> 3*t1=6*t2 --> t1=(6*t2 )/3 --> t1=2*t2 (1) Ο συνολικός χρόνος που χρειάσθηκε για να πάει και να γυρίσει είναι: t1+t2 =15/60 ώρες (2) Αντικαθιστού με την (1) στη (2) κι’ έχουμε: t1+t2 =15/60 --> 2*t2+t2=15/60 --> 3*t2=15/60 Απλοποιούμε το κλάσμα στο δεύτερο μέλος με το 15 κι’ έχουμε: 3*t2=15/60 --> 3*t2=1/4 --> t2=1/4*3 --> t2=1/12 ώρες (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε: t1=2*t2 --> t1=2*(1/12) --> t1=2/12 --> t1=1/6 ώρες (4) Επομένως η γάτα διήνησε μια απόσταση από το σπίτι μέχρι το σημείο «x»: S=υ*t1 --> S=3*(1/6) --> S=3/6 --> S=1/2=0,5χιλιόμετρα ή 500μέτρα. Επαλήθευση: S(ο)=υ*t1=2*υ*t2 --> S(ο)=3*(1/6)=2*3*(1/12) --> S(ο)=3/6=6/12=1/2=0,5χλμ. t1+t2 =15/60 --> 1/6+1/12=15/60 --> (2+1)/12=15/60 --> 3/12=15/60 --> 1/4=1/4

Η Απόσταση

Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν ταυτόχρονα από ένα σημείο και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, το ένα με 40χιλιόμετρα την ώρα και το άλλο με 50χιλιόμετρα την ώρα. Σε πόσες ώρες, από την στιγμή της εκκίνησης, τα δύο αυτοκίνητα θα έχουν απόσταση μεταξύ τους ίση με 18χιλιόμετρα; (Κατ.34/Νο.628)

Πηγή: IΔ΄ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 (Ε΄ - ΣΤ΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ)

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/KMO%202013/Binder%20E-ST%20DEMOTIKOY%202013.pdf

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Τ’ αυτοκίνητα θα απέχουν 18χιλιόμετρα μεταξύ τους μετά από 1 ώρα και 48 λεπτά. Έστω «t» οι ώρες που θα συμβεί το ζητούμενο (να απέχουν τα αυτοκίνητα 18 χλμ, τότε: 50t-40t=18xlm --> 10t=18 --> t=18/10 =1,8 ώρες 1 ώρα και (0,8*60=)48 λεπτά

Η Πορτοκαλάδα

Η κυρία Μαρία για να φτιάξει το χυμό που βλέπετε στο ανωτέρω ποτήρι έστυψε ένα πορτοκάλι. Πόσα πορτοκάλια πρέπει να στύψει ακόμα ώστε να γεμίσει το ποτήρι;

Διευκρινίσεις:

1. Το ύψος της στάθμης του χυμού είναι ακριβώς στη μέση του ύψους του ποτηριού.

2. Υποθέτουμε ότι όλα τα πορτοκάλια δίνουν την ίδια ποσότητα χυμού! (Κατ.34/Νο.618)
Πηγή:http://www.kiosterakis.gr/new/diaskedastika/quiz

Λύση

Λύση του Ε.Θ.Α. Όγκος ποτηριού (κώνου) V=(1/3)*π*r^2*h Άρα ο όγκος όλου του ποτηριού/Όγκο που καταλαμβάνει ο χυμός του ενός πορτοκαλιού =2^2*2=8 Άρα χρειάζονται άλλα 7 πορτοκάλια

Ο Κλέφτης

Ένας έκλεψε ένα άλογο, το καβάλησε και έφυγε. ΄Οταν έφτασε 37µίλια μακριά ο ιδιοκτήτης του το πήρε είδηση και άρχισε να τον κυνηγά. ΄Οταν ο ιδιοκτήτης έκανε 145μίλια σταμάτησε να τον κυνηγά. Ο κλέφτης εκείνη τη στιγμή βρισκόταν 23μίλια μπροστά. Αν συνέχιζε να τον κυνηγά σε πόσα μίλια θα τον έφτανε; (Κατ.34/Νο.599)

 Κλασική αριθµητική του Chang-chiu-chien,468μ.Χ.

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/08/blog-post_2630.html

Λύση

Οταν ο ιδιοκτήτης έκανε 145μίλια η αρχική απόσταση των 37μιλίων μειώθηκε σε 23μίλια (ήτοι διαφορά:37-23=14μίλια). Κατάταξη: Τη διαφορά των 14μιλίων ο ιδιοκτήτης του αλόγου την κάλυψε σε 145μίλια. Τα 37μίλια σε x; πόσα μίλια τα καλύπτει; x=(145 *37)/14=5365/14=383,21429 μίλια

Η Πισίνα

Εννιά μεγάλοι σωλήνες μπορούν να γεμίσουν μία πισίνα σε 4 ώρες και έξι μικροί σωλήνες γεμίζουν την ίδια πισίνα σε 8 ώρες. Σε πόση ώρα θα γεμίσουν την πισίνα τέσσερις  μεγάλοι και οκτώ μικροί σωλήνες μαζί; (Κατ.34/Νο.565)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/06/blog-post_7045.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. 9 Μ(μεγάλοι σωλήνες) γεμίζουν την πισίνα σε 4ωρ => 1Μ σε 4*9=36 ώρες => 4Μ σε 36/4=9ώρες, άρα 4Μ ΣΕ 1 ώρα γεμίζουν το 1/9 της πισίνας. 6μ(μικροί σωλήνες) γεμίζουν σε 8ώρες => 1μ σε 6*8=48ώρες => 8μ σε 48/8=6 ώρες. άρα 8μ σε 1ώρα γεμίζουν το1/6 της πισίνας. Άρα 4Μ και 8μ “δουλεύοντας” μαζί σε 1 ώρα γεμίζουν το (1/9+1/6) της δεξαμενής=(2+3=5)/18 Σε 1ώρα μαζί γεμίζουν τα 5/18 της πισίνας Σε πόσες ώρες θα γεμίσουν όλη την πισίνα? χ=1*1/(5/18)=18/5 =3+3/5 ώρες=3 ώρες και 36 λεπτά της ώρας. Καταμερισμός απόδοσης Μ-μ και ταυτόχρονα επαλήθευση: 4Μ σε 18/5ώρες γεμίζουν τα 18/5*1/9 =2/5 της πισίνας 8μ σε 18/5ώρες γεμίζουν τα 18/5*1/6=3/5 της πισίνας 2/5+3/5=5/5=1(πισίνα)

Η Συνάντηση

Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Α και κινείται προς την πόλη Β με μέση ταχύτητα 16km/h. Μια ώρα αργότερα, μια φίλη του ξεκινά από την πόλη Β και με μέση ταχύτητα 12km/h κινείται προς την πόλη Α για να τον συναντήσει. Αν η απόσταση των δύο πόλεων είναι 44km, σε πόσες ώρες από την εκκίνηση του ποδηλάτη θα συναντηθούν; (Κατ.34/Νο.563)

Πηγή:http://digitalschool.minedu.gov.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-C104/470/3111,12509/

Λύση

Λύση του Γ, Ριζόπουλου. Θα συναντηθούν σε δύο ώρες από την εκκίνηση του ποδηλάτη, Σε 2 ώρες ο ποδηλάτης θα έχει διανύσει 32χιλιόμετρα. Η φίλη του σε 2 ώρες από την εκκίνηση του ποδηλάτη =1 ώρα από τη δική της εκκίνηση θα έχει κάνει 12χιλιόμετρα. Σύνολο χιλιομέτρων 32+12=44χιλιόμετρα.

Usain Bolt

Το σημερινό παγκόσμιο ρεκόρ στο sprint των 100m είναι 9:58s και πραγματοποιήθηκε από τον Τζαμαϊκανό Usain Bolt στις 16 Αυγούστου 2009 στο παγκόσμιο πρωτάθλημα στίβου στο Βερολίνο. Με πόσα χιλιόμετρα έτρεχε την ώρα; (Κατ.34/Νο.546)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/04/100-m.html

Λύση

Έτρεχε με 37,5783χλμ/ώρα. Η μία ώρα έχει 3.600 δευτερόλεπτα, οπότε έχουμε: Κατάταξη: Στα 9,58 δευτερόλεπτα έτρεξε 100μέτρα Στα 3.600 δευτερόλεπτα πόσα x; μέτρα x = 100*3600/9,58=37.578.29μ.--> 37,5783χλμ/ώρα

Η Ταχύτητα Ροής

Ένας κολυμβητής βουτάει από μία γέφυρα, πάνω από ένα κανάλι, και κολυμπάει 1 χιλιόμετρο κατά μήκος του καναλιού. Μετά από αυτό το πρώτο χιλιόμετρο, προσπερνά έναν φελλό που πλέει. Συνεχίζει να κολυμπά για μισή ώρα και στη συνέχεια γυρίζει προς τα πίσω και κολυμπά προς τη γέφυρα. Ο κολυμβητής και ο φελλός φθάνουν στη γέφυρα την ίδια στιγμή. Ο κολυμβητής κολυμπούσε με σταθερή ταχύτητα. Ποια είναι η ταχύτητα ροής του νερού στο κανάλι; (Κατ.34/Νο.536)

Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/blog-post_7924.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Εφόσον ο κολυμβητής έχει σταθερή ταχύτητα (σταθερή φαινόμενη σε εμάς δηλαδή = σε σχέση με την ταχύτητα του ρεύματος!) έκανε 1 ώρα (1/2 κόντρα στο ρεύμα + 1/2 σύμφωνα με το ρεύμα) από τη στιγμή που συνάντησε το φελλό να ξαναφτάσει στο ίδιο σημείο συνάντησης με το φελλό ,δηλαδή στη γέφυρα, την ίδια ώρα ταξίδεψε ο φελλός από το αρχικό σημείο συνάντησης στη γέφυρα που αντιστοιχεί σε 1 Km. Εναλλακτικά (πιο εποπτικά ίσως..) αρκεί κάποιος να σκεφτεί, ότι αν δεν υπήρχε ρεύμα ο φελλός θα ήταν ακίνητος και ο κολυμβητής θα έκανε μισή και μισή= 1 ώρα να τον ξαναφτάσει στο ίδιο σημείο αρχικής συνάντησης. Άρα ταχύτητα φελλού= ταχύτητα ρεύματος (εξ ορισμού)= 1km/h “Επιστημονική» λύση(παντελώς περιττή βέβαια ή αλλιώς «πώς να πας Αθήνα-Λαμία μέσω Αμερικής», αν και σίγουρα θα συγκινούσε έναν δάσκαλο Φυσικομαθηματικών!:-)) ως εξής : Έστω Vρ= ταχύτητα ρεύματος (άρα και φελλού) και Vκ= η «καθαρή» ταχύτητα κολυμβητή. Αρχικά κολυμπά 1Km κόντρα στο ρεύμα με φαινόμενη ταχύτητα Vκ-Vρ και συναντάει το φελλό. Από αυτή τη χρονική στιγμή ο φελλός(ρεύμα) διανύει 1Km(μέχρι τη γέφυρα) σε χρόνο έστω t. Άρα Vρ= s/t= 1/t ή t=1/ Vρ (1) Ο ίδιος χρόνος t για τον κολυμβητή αντιστοιχεί σε: t=S/Vκ=(1/2)+ 1/(Vκ+Vρ) +(1/2)*(Vκ-Vρ)*1/(Vκ+Vρ) (2) Άρα εξισώνοντας τις (1) και (2) έχουμε: 1/Vρ=(½)+ 1/(Vκ+Vρ) +(Vκ-Vρ)/(2*(Vκ+Vρ)) Αυτή τελικά γίνεται: (Vκ +1)/(Vκ+Vρ)= 1/Vρ Μια λύση είναι Vκ=0 (που δεν μπορεί να ισχύει) Άρα αναγκαστικά (για Vκ > 0) μοναδική λύση : Vρ=1 (Km/h) Λύση του batman1986. Έστω V(κ) η ταχύτητα κολυμβητή , V(ρ) η ταχύτητα ροής και t o χρόνος επιστροφής στη γέφυρα(κολυμβητής παράλληλα με τη ροή) και χ η απόσταση που διανύετε το μισάωρο μετά τη συνάντηση με το φελλό Ισχύουν οι 3 εξισώσεις: χ=(Vκ-Vρ)*0,5 (1) (αντίθετα στη ροή) χ+1=(Vκ+Vρ)*t (2) 1=Vρ*(t+0,5)(3) (η συνάρτηση του φελλού) Αφαιρούμε την (1) από τη (2) και έχουμε 1=Vκ*(t-0,5)+Vρ*(0,5+t) Λόγω (3) v*(t-0,5)=0 Άρα t=0,5 Οπότε από τη (3) προκύπτει: Vρ=1/(0,5+0,5)=1km/h

Το Ταξίδι

Ένα τρένο αναχωρεί από τον σταθμό στις 9 π.μ. με προορισμό μία πόλη που βρίσκεται 100km μακριά. Ταξιδεύει με 50km την ώρα και ανά 25km κάνει στάση προκειμένου να επιβιβαστούν άλλοι επιβάτες.

Κάθε στάση διαρκεί 10 λεπτά, και μετά από κάθε στάση, το αυξημένο βάρος των επιβατών μειώνει κατά 10% την ταχύτητα του τρένου. Τι ώρα θα φτάσει το τρένο στον προορισμό του?

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.502) 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/04/blog-post_2299.html

Λύση

Λύση του Lntzs.
Aν η ταχύτητα μειώνεται κατα 10 % της ταχύτητας του τρένου που
είχε κατά την άφιξή του στην κάθε στάση τότε οι αντίστοιχες
τιμές αυτής θα ήταν:50km/h, 45km/h, 40,5km/h, και 36,45km/h και
οι αντίστοιχοι χρόνοι (σε sec)1.800, 2.000, 2.222,22 και 2.459,14.
Αν σε αθροίσουμε τους χρόνους αυτούς και προσθέσουμε και 1800sec(=30*60)
που είναι ο χρόνος επιβίβασης τότε η συνολική διάρκεια είναι 10.291,36sec
Αλλά 10.292sec=2h 51min 32 sec.
Επομένως θα αφιχθεί στην πόλη στις 11:51:32 π.μ.

Ο Αγώνας Δρόμου

 Σ’ έναν αγώνα δρόμου 10χλμ., μεταξύ τριών δρομέων αθλητών, κάθε δρομέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Τερματίζοντας ο νικητής ήταν 2χλμ. μπροστά από το δεύτερο και 4χλμ. μπροστά από το τρίτο. Πόσα χιλιόμετρα μπροστά από το τρίτο θα είναι ο δεύτερος όταν θα τερματίσει; 
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.499)

Λύση

Λύση του batman1986
Τη στιγμή που τερματίζει ο 1ος(έχοντας διανύσει δλδ 10 χλμ)
σύμφωνα με τα δεδομένα ο 2ος έχει διανύσει 8 χλμ και ο 3ος 6χλμ
άρα για 2ο και 3ο έχουμε εκείνη τη χρονική
8=ν1*τ , 6=ν2*τ
Άρα η αναλογία των ταχυτήτων τους είναι
ν2/ν3=4/3=1,33
Οπότε ο στον ίδιο χρόνο ο 2ος διανύει αναλογικά 1,33 παραπάνω
φορές τα χιλιόμετρα που διανύει ο 3ος
Άρα όταν τερματίσει ο 2ος η διαφορά τους θα είναι
δχ=10-(10/(4/3))=10-7,5=2,5 χλμ

Οι Σήραγγες

 Ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Ο χρόνος, που μεσολαβεί από τη στιγμή που θα εισέλθει σε μια σήραγγα μήκους 180 m μέχρι τη στιγμή που και το τελευταίο του βαγόνι θα εξέλθει απ´ αυτή, είναι 12 sec. Σε μια δεύτερη σήραγγα, μήκους 930 m, ο αντίστοιχος χρόνος που μεσολαβεί μέχρι τη στιγμή που και το τελευταίο του βαγόνι θα εξέλθει απ´ αυτή είναι 42 sec. Να βρείτε την ταχύτητα και το μήκος του τρένου. 

(Από το βιβλίο των Μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου.)

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.498)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/03/blog-post_7725.html

Λύση

Λύση του batman1986
Από τη στιγμή που η "μούρη" του τρένου μπαίνει μέχρι τη στιγμή που
φτάνει στην έξοδο έχει διανύσει το μήκος της γέφυρας.Μέχρι όμως να
εξέλθει και το τελευταίο βαγόνι διανύσει άλλο τόσο μήκος όσο αυτό
του τρένου....
Άρα 2 εξισώσεις με 2 αγνώστους("v" την ταχύτητα και "μ" το μήκος του
τρένου) ανάλογα με τη σήραγγα:
μ+180=12v (1)
μ+930=42v (2)
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε:
μ+930=42v
-μ-180=-12v
750=30v -->ν=750/30 --> v=25 m/sec (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι' έχουμε:
μ+180=12v--> μ+180=12*25--> μ+180=300--> μ=300-180-->μ=120μ.(4)
Άρα η ταχύτητα του ήταν 25m/sec και το μήκος του τρένου ήταν 120μ.

Το Κυνηγητό

Ένα αγόρι και ο σκύλος του τρέχουν σε μια κυκλική τροχιά με σταθερή ταχύτητα. Το αγόρι μπορεί να τρέξει μια φορά γύρω από την πίστα σε έξι λεπτά, και ο σκύλος του σε τέσσερα λεπτά. Σε πόσα λεπτά το αγόρι θα έχει προσπεράσει δύο φορές  τον σκύλο του;

Πηγή:  
http://eisatopon.blogspot.com/2012/03/blog-post_6218.html

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.496) 

Λύση

Λύση του N. Lntzs
Το αγόρι δεν πρόκειται να προσπεράσει ποτέ τον σκύλο, γιατί η
ταχύτητά του Uα, είναι μικρότερη από την ταχύτητα του σκύλου
Uσ (ισχύει: 6*Uα=4*Uσ).
Αντίθετα ο σκύλος θα προσπεράσει για πρώτη φορά το αγόρι σε 12
λεπτά (ΕΚΠ(3,4)=12) και δύο φορές με την συμπλήρωση των 24 λεπτών.

Το Τρένο

Ένα τρένο περνά δύο πεζούς που περπατούν, προς την ίδια κατεύθυνση που πηγαίνει και το τραίνο, με ταχύτητα 2χλμ  την ώρα ο ένας και 4χλμ την ώρα ο άλλος και τους προσπερνάει τελείως σε 9 δευτερόλεπτα και 10 δευτερόλεπτα αντίστοιχα. Ποιο είναι το μήκος του τρένου; 

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.494)

Λύση

Λύση του N. Lntzs.
Στο χρονικό διάστημα των 9 sec, ο πρώτος πεζός διήνυσε απόσταση
S1 = U1*t1 = 2km/h * 9 sec = 5 m.
O δεύτερος πεζός διήνυσε απόσταση
S2 = U1*t2 = 4km/h * 10 sec = 100/9 m
Η ταχύτητα U του τρένου ισούται με το πηλίκο του διαστήματος δια
του χρόνου, εντός του οποίου διήνυσε το διάστημα.
Το χρονικό διάστημα των 9 sec που χρειάστηκε το τρένο προκειμένου
να προσπεράσει την πρώτο πεζό, διήνυσε απόσταση ίση με το μήκος S
του τρένου σύν τα 5 m που διήνυσε ο πεζός,
Δηλaλαδή, U=(S+5)/9. (1)
Ομοίως για τον δεύτερο πεζό ισχύει
U=(S+100/9)/10. (2)
(1),(2)----> (S+5)/9=(S+100/9)/10
ή 10*S+50=9*S+100 ή
S=50 m.
Το μήκος λοιπόν του τρένου ήταν πενήντα μέτρα(50 m).
Λύση Papaveri.
Το μήκος του τρένου είναι 50 μέτρα. Έστω «ω» το μήκος του τρένου.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Από το τύπο της σχετικής ταχύτητας S=d/t βρίσκουμε τις σχετικές
ταχύτητες του τρένου όταν προσπερνάει το πρώτο πεζό και το δεύτερο
πεζό αντίστοιχα.Μετατρέπουμε τα χιλιόμετρα σε μέτρα και την ώρα σε
δευτερόλεπτα.
Το ένα χιλιόμετρο έχει 1.000μέτρα.
Η ώρα έχει 60*60=3.600 δευτερόλεπτα.
Η αναλογία είναι 1.000/3.600 --> 10/36 --> (5/18)μ/δ
Α)Η σχετική ταχύτητα όταν περνάει το πρώτο πεζό είναι:
S=d/t --> (S-2)*5/18=ω/9 --> S=[(18ω/5*9)+2) --> S=[(2ω/5)+2] -->
S=(2ω+10)/5 (1)
Β)Η σχετική ταχύτητα όταν περνάει το δεύτερο πεζό είναι:
S=d/t-->(S-4)*5/18=ω/10-->S=[(18ω/5*10)+4)-->S=[(18ω/50)+4]-->
S=[(9ω/25)+4]--> S=(9ω+100)/25 (2)
Επειδή η σχετικές ταχύτητες είναι ίσες έχουμε:
S1=S2-->(2ω+10)/5=(9ω+100)/25-->25*(2ω+10)=(5*(9ω+100)-->
50ω+250=45ω+500 --> 50ω-45ω=500-250 --> 5ω=250 --> ω=50μέτρα.
Επαλήθευση:
(2ω+10)/5=(9ω+100)/25 --> (2*50+10)/5=(9*50+100)/25 -->
(100+10)/5=(450+100)25 --> 110/5=550/25 --> 22=22 ο.ε.δ.

Το Μήκος του Τρένου

Η αποβάθρα ενός σιδηροδρομικού σταθμού έχει μήκος 90 m. Η διάρκεια διέλευσης του τρένου από την αποβάθρα, δηλαδή ο χρόνος που περνά από τη στιγμή που η ατμομηχανή μπαίνει στο σταθμό ως τη στιγμή που βγαίνει από αυτόν και το τελευταίο βαγόνι είναι 9 sec. Η διάρκεια διέλευσης του τρένου μπροστά από τον σταθμάρχη που στέκεται ακίνητος στην αποβάθρα είναι 5 sec. Πόσο είναι το μήκος του τρένου? (Κατ.34/Πρβλ. Νο.492)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/02/blog-post_8167.html

Λύση

Λύση του N. Lntzs.
Έστω U η ταχύτητα του τρένου, S το μήκος του τρένου, t1
η χρονική στιγμή εισόδου της εισόδου της ατμομηχανής στο
σταθμό και t2 η χρονική στιγμή εξόδου του τελευταίου
βαγονιού από αυτόν.
Σε χρόνο t2-t1 = 9 sec το τρένο διήνυσε απόσταση όση το
άθροισμα του μήκους της αποβάθρας και του μήκους της
αμαξοστοιχίας, ήτοι 90+S m.
Επομένως: U=(S+90)/9 m/sec (1).
Εξάλλου με την ίδια ταχύτητα U διήνυσε απόσταση όση το
μήκος της, διερχόμενη μπροστά από τον ακίνητο σταθμάρχη
σε χρόνο 5 sec,
δηλαδή: U=S/5 m/sec (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει:
(S+90)/9=S/5 ή
9S=5S+450 ή
4S=450 ή
S=112,5 m
Παρατήρηση:
Η ταχύτητα U ελήφθη σταθερή, και εύκολα υπολογίζεται,
μέσω της σχέσης (2)
U= S/5 =1 12,5/5 m/sec =22,5 m/sec.

Το Επαγγελματικό Ταξίδι

Ο Γιάννης, που μένει στη Φλώρινα, έχει μια σοβαρή επαγγελματική συνάντηση στις 6:30 μμ. στην Κοζάνη. Γνωρίζοντας ότι η απόσταση από το σπίτι του μέχρι το γραφείο που θα πραγματοποιηθεί η συνάντηση είναι ακριβώς 84 χιλιόμετρα, ξεκίνησε με το αυτοκίνητό του ακριβώς στις 5:00 μμ. Όμως στις 5:30 ακριβώς, φτάνοντας στο 36ο χιλιόμετρο της διαδρομής του (λίγο μετά το Αμύνταιο), έπαθε λάστιχο. Μέχρι να το αντικαταστήσει με τη ρεζέρβα και να ετοιμαστεί για τη συνέχεια του ταξιδιού η ώρα πήγε 5:55. Πόσο πρέπει να αυξήσει την μέση ταχύτητα του δεύτερου μέρους του ταξιδιού σε σχέση με αυτή του πρώτου μέρους, για να είναι στην ώρα του στη συνάντηση; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.490)

Πηγή:mathslife.eled

Λύση

Μέχρι τη στιγμή που έπαθε λάστιχο ταξίδευε για μισή ώρα και είχε
διανύσει απόσταση 36 χιλιομέτρων. Επομένως η μέση ταχύτητα του,
σε αυτό το πρώτο μέρος του ταξιδιού, ήταν 72 (2 x 36) χιλιόμετρα
την ώρα. Όταν ξεκινά ξανά έχει να ταξιδέψει ακόμη 84 – 36 = 48
χιλιόμετρα και πρέπει να τα διανύσει σε λιγότερο από
6:30 – 5:55 = 35 λεπτά. Αν όμως χρησιμοποιήσει και τα 35 λεπτά
στο ταξίδι, δεν θα είναι στην ώρα του στη συνάντηση, γιατί θα
χρειαστεί χρόνο και για να βρει θέση στάθμευσης και να ανέβει
στο γραφείο. Θεωρώντας ότι χρειάζεται το λιγότερο 5 λεπτά γι’
αυτή τη διαδικασία, πρέπει να διανύσει τα 48 χιλιόμετρα που του
μένουν σε μισή ώρα. Άρα πρέπει να ταξιδέψει με μέση ταχύτητα
96(2 x 48) χιλιομέτρων την ώρα. Δηλαδή πρέπει να αυξήσει τη μέση
ταχύτητα κατά 96 – 72 = 24 χιλιόμετρα την ώρα.

Η Καταδίωξη

 

Ένας μοτοσικλετιστής τρέχει με ταχύτητα 80km/h σε κατοικημένη περιοχή. Ένας τροχονόμος  του κάνει σήμα να σταματήσει αλλά αυτός τον αγνοεί και συνεχίζει με την ίδια ταχύτητα. Τρία λεπτά αργότερα ο τροχονόμος αρχίζει να τον καταδιώκει με ταχύτητα 100km/h. Σε πόση ώρα θα τον ανακόψει και σε ποια απόσταση 
από το σημείο ελέγχου;  (Κατ.34/Πρβλ. Νο.485)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2012/01/blog-post_2600.html

Λύση

Η Λύση που έστειλε ο batman1986
Ορίζουμε την ταχύτητα του μοτοσυκλετιστή ως υ1 και του αστυνομικού ως
υ2. Επίσης το διάστημα του μοτοσυκλετιστή ως Χ1 και του αστυνομικού ως
Χ2.Μέχρι να ξεκινήσει ο αστυνομικός, ο μοτοσυκλετιστής έχει διανύσει
μια απόσταση εντός 3 λεπτών:
Χ1=80*t=80*(3/60)=4 km
Άρα όταν συναντήσει ο αστυνομικός τον μοτοσυκλετιστή θα πρέπει να
γίνει προφανώς στον ίδιο χρόνο t(ξεκινάει η μετρησή του από την
στιγμή που ξεκινά την καταδίωξη ο αστυνομικός άρα πρέπει να λάβουμε
υπόψη και τα 4km που έχει διανύσει ο μοτοσυκλετιστής νωρίτερα) και σε
ίδια απόσταση και για τους 2 από το σημείο ελέγχου. Άρα:
Χ1=Χ2 --> 4+υ1*t=υ2*t --> t=4/(υ2-υ1)=4/20=1/5 h=12΄λεπτά
Για να βρούμε την απόσταση χρησιμοποιούμε οποιαδήποτε από τις 2
εξισώσεις για t=12min
Χ2=100*(1/5 h)=20 km
Άρα θα τον ανακόψει σε 12 λεπτά μετά από απόσταση 20 χιλιομέτρων από
το σημείο ελέγχου...

Ο Ποδηλάτης

 

Ένας ποδηλάτης πήγε από μια πόλη «Α» σε μία πόλη «Β» και επέστρεψε από τον ίδιο δρόμο. Στην μετάβαση οδηγούσε με μέση ταχύτητα 25km/h και ξεκουράστηκε ενδιάμεσα 1 ώρα. Στην επιστροφή οδηγούσε με μέση ταχύτητα 20 km/h και δεν έκανε καμία στάση. Πόσο ήταν το μήκος της διαδρομής από τη πόλη «Α» έως τη πόλη «Β», εάν ο συνολικός χρόνος του ταξιδιού ήταν 10 ώρες; (Κατ.34/Πρβ. Νο.464)

Λύση

Το μήκος της διαδρομής από τη πόλη «Α» στη πόλη «Β» είναι 100χλμ.
Εάν «x»km είναι η απόσταση από τη πόλη «Α» στη πόλη «Β», τότε ο
ποδηλάτης χρειάστηκε x/25 ώρες για να πάει από τη πόλη «Α» στη πόλη
«Β» και x/20 ώρες για να επιστρέψει. Αφού ξεκουράστηκε και 1 ώρα, ο
συνολικός χρόνος του ταξιδιού ήταν (x/25+x/20+1). Επειδή ο χρόνος
αυτός ισούται με 10 ώρες έχουμε την εξίσωση:
(x/25+x/20+1)=10
Λύνουμε την εξίσωση και έχουμε:
x/25+x/20+1=10 --> 4x+5x+100=1000 --> 9x=1000-100 --> 9x=900 -->
x=900/9 --> x =100χλμ.

Η Διαδρομή

Τα τρία ανιψάκια του Donald Duck, o Huey, ο Dewey και ο Loie,  πήγαν  την Κυριακή με τα ποδήλατά τους στο αγρόκτημα της γιαγιάς Duck. Πηγαίνοντας ανέπτυξαν σταθερή ταχύτητα 20μέτρα/δευτερόλεπτο. Στο γυρισμό όμως, που ήταν κουρασμένα από το παιγνίδι, έτρεχαν με σταθερή ταχύτητα 10μέτρα/δευτερόλεπτο. Ποια ήταν η μέση ταχύτητα;

(Κατ.34/Πρβ. Νο.459)

Λύση

Η μέση ταχύτητα είναι 13,333μ/δευτ. Έστω S η απόσταση μέχρι το κτήμα της γιαγιάς. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Πηγαίνοντας έκαναν χρόνο t1 = S/20, ενώ ερχόμενοι έκαναν t2 = S/10.
Η μέση ταχύτητα είναι Uμ=2S/(t1+t2)-->Uμ=2S/(S/20+S/10)-->
Uμ=2/(1/20+1/10)-->Uμ=2/(3/20)-->Uμ=(2*20)/3-->Uμ=40/3μ/δευτ
ή 13,333...μ/δευτ.

Η Διαδρομή της Μύγας

Λέγεται ότι κάποτε πλησίασαν τον John von Neumann(1903 – 1957),
γνωστό για τις τρομερές μαθηματικές του ικανότητες, και του έθεσαν το
κατωτέρω πρόβλημα:
Δύο τρένα που απέχουν 200χλμ. τρέχουν με ταχύτητα 50χλμ./ώρα το 
καθένα σε αντίθετες κατευθύνσεις επάνω σε μια ευθεία. Μία μύγα 
ξεκινάει πετώντας από το ένα τρένο στο άλλο και αρχίζει να κάνει 
μπρος-πίσω ανάμεσα στα δύο τρένα, μέχρις ότου συναντηθούν τα δύο 
τρένα, με σταθερή ταχύτητα 75χλμ./ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα έχει 
διανύσει η μύγα μέχρι να συναντηθούν τα τρένα;
(Κατ.34/Πρβ. Νο.392)

Ο Ποδηλάτης

Ένας ποδηλάτης έχοντας ταχύτητα 15 km/h χρειάζεται 45 min για να 
τρέξει μια απόσταση. Πόσο χρόνο χρειάζεται ο ποδηλάτης για την ίδια 
απόσταση όταν η ταχύτητά του είναι 25 km/h ; 
(Κατ.34/Πρβ. Νο.443)