Οι Μπανάνες

Μέσα στις φωτεινές και αναζωογονητικές παρυφές του δάσους, τις γεμάτες από αναρίθμητα δένδρα, με τα κλαδιά τους λυγισμένα από το βάρος των λουλουδιών και των φρούτων, δέντρα όπως, νεραντζιές, λεμονιές, φλαμουριές, μπανανιές, παλμίρες και μάγκο, μέσα στις παρυφές τις γεμάτες ήχους, από πλήθος παπαγάλων, πιθήκων και κούκων που βρισκόταν κοντά σε πηγές γεμάτες νούφαρα, με τις μέλισσες να βουίζουν γύρω από αυτά, ένας αριθμός από κουρασμένους ταξιδιώτες μπήκαν με χαρά. Εκεί υπήρχαν 63 ίσοι τον αριθμό, σωροί από μπανάνες και επτά άλλοι σωροί από τα ίδια φρούτα, που μοιράστηκαν ίσα σε 23 ταξιδιώτες, έτσι ώστε να μην υπάρχει υπόλοιπο. Πείτε μου τώρα το αριθμητικό μέτρο του κάθε σωρού από μπανάνες.

Του Ινδού μαθηματικού Mahavira Acharya (800–870)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/01/blog-post_5731.html

Λύση

Κάθε σωρός αποτελείτο από 5 μπανάνες και κάθε ταξιδιώτης πήρε από 14 μπανάνες. Έστω «x» οι σωροί από μπανάνες και «y» οι μπανάνες που αντιστοιχούν σε κάθε ταξιδιώτη. Βάσει των δεδομένων της εκφώνξσης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
63 x+7=23y (1)
63 x+7=23y ----> y=(63x+7)/23 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "x" τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "y" είναι ο αριθμός x = 5 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή «x» στη (3) κι’ έχουμε:
y=63x+7)/23--> y=[(63*5)+7]/23--> y=(315+7)/23-->
y=322/23-->y=14(4)
Επαλήθευση:
63 x+7=23y ----> [(63*5)+7]=23*14 -----> 315+7=23*14 -----> 322=23*14 ο.ε.δ.

Οι Αριθμοί

Το άθροισμα δυο αριθμών είναι 45. Το άθροισμα του λόγου τους και του αντίστροφου του λόγου τους είναι 2,05. Ποιοι είναι οι αριθμοί;

Πηγή: Εισαγωγικές Εξετάσεις στη Σχολή Ικάρων, 1967

Λύση

Οι αριθμοί είναι ο 20 και ο 25. Έστω α και β οι αριθμοί. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(α+β)=45 (1)
α/β+β/α=2,05 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(α+β)=45 --> β=45-α (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α/β+β/α=2,05 --> α^2+β^2=2,05αβ --> (α+β)^2-2αβ= 2,05αβ =>
45^2=2αβ+2.05αβ --> 2.025= 4,05αβ --> αβ=2.025/4.05--> αβ=500 (4)
Αντικαθιστώ τη τιμή β από τη (3) στη (4) κι’ έχουμε:
α*(45-α)=500 --> 45α –α^2 =500 --> α^2-45α+500=0
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α --> x = -β±sqrt[(-45)^2-4*1*500]/2*1 --->
x = -β±sqrt[2.025-2.000]/2 --> x =[45±sqrt(25)]/2 --> x = (45±5)/2
x1=(45+5)/2 --> x1=50/2 --> x1=25
x2=(45-5)/2 --> x2=40/2 --> x2=20
Άρα:
α=25 ή α=20 και β=20 ή β=25 αντίστοιχα.
Επαλήθευση:
(α+β)=45 --> 25+20=45
α/β+β/α=2,05 -->(25/20)+(20/25)=2,05 --> 1,25+0,80=2,05
(α+β)=45 --> 20+25=45
α/β+β/α=2,05 --> (20/25)+(25/20)=2,05 --> 0,80+1,25=2,05

Ο Κλέφτης

Κάποιος συνελήφθει, από τους φύλακες του βασιλιά, στα βασιλικά ανάκτορα ενώ προσπαθούσε να κλέψει αντικείμενα από το θησαυροφυλάκιο. Τον οδήγησαν στο βασιλιά και αυτός του είπε:

 «Θέλω να μου πεις πια ποινή σκεπτομαι  να πραγματοποιήσω γι’ αυτη σου τη πράξη: να  σε ρίξω στα λιοντάρια ή να σε ρίξω στους κροκόδειλους. Αν αυτή είναι αληθής, θα σε ρίξω στα λιοντάρια. Αν αυτή είναι ψευδής, θα σε ρίξω στους κροκόδειλους.»

Ο κλέφτης, αφου σκέφθηκε για λίγο, έδωσε μία απάντηση και ο βασιλιάς τον άφησε ελεύθερο. Ποια ήταν η απάντηση που έδωσε στον βασιλιά;

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/05/vs.html

Λύση

Η απάντηση που έδωσε στο βασιλιά ήταν:
«Θα με ρίξεις στους κροκόδειλους!!»
που προκαλεί έναν φαύλο κύκλο συλογισμών καταλήγοντας σε παράδοξο. 1.)Εάν η πρόταση είναι αληθής, πρέπει να ριχθεί στα λιοντάρια, γεγονός που την κάνει ψευδή, οπότε πρέπει να ριχθεί στους κροκόδειλους, γεγονός που την κάνει αληθή ...
2.)Εάν η πρόταση είναι ψευδής, πρέπει να ριχθεί στους κροκόδειλους, γεγονός που την κάνει αληθή, οπότε πρέπει να ριχθεί στα λιοντάρια, γεγονός που την κάνει ψευδή ..

Πάσχα 2018!!

 

Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"

Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"

Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"

Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or

Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"

Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"

 * * * * * * * * * 

Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά! Είθε, ο Αναστημένος Χριστός να μας βοηθήσει να ξεπεράσουμε την οικονομική κρίση, στην οποία έχουμε περιέλθει, και να ζήσουμε καλύτερες ημέρες!

Πάσχα 2018!!

Η προσαγωγή του Χριστού ενώπιον του 

Πιλάτου,όπου καταδικάζεται σε σταυρικό θάνατο.

Η ιστοσελίδα του "Papaveri48" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Μόνο Δύο Ψέματα!

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/10/blog-post_17.html

Λύση

Η τιμή του "χ" είναι 11. Οι προτάσεις 1 και 4 είναι ψευδείς.
(1)3Χ μεγαλύτερο του 35 :................12…..20 21 22 23…..48 49 50…..
(2)7Χ μεγαλύτερο ή ίσον του 43 :.....7 8 9 10 11 12…..20 21 22 23….. 48 49 50…..
(3)2Χ μικρότερο ή ισον του 99 :.…..5 6 7 8 9 10 11 12…..20 21 22 23…..48 49
(4)Χ μεγαλύτερο ή ίσον του 21 :..................22 23…..48 49 50…..
(5)5Χ μεγαλύτερο ή ίσον του 51 :...........11 12…..20 21 22 23…..48 49 50…..
Μόνο μια στήλη έχει ακριβώς τρεις αριθμούς άρα Χ=11, και οι συνθήκες 1 και 4 είναι ψευδείς.