Ο Αριθμός

Ένας αριθμός διαιρούμενος με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2, διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 3, και διαιρούμενος με το 7 αφήνει υπόλοιπο 2. Ποιος είναι ο αριθμός;

Σημείωση:

Από το τρίτομο βιβλίο με τίτλο «Κλασσική Αριθμητική του Sun – Tsu ή Suan – Tse.

Λύση

Είναι ο αριθμός 23. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 3, 5, και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.( 3,5,7)=3*5*7=105
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής εξiσώσεις:
x=3y+2 (1)
x=5z+3 (2)
x=7u+2 (3)
όπου y, z, και u, φυσικοί ακέραιοι αριθμοί.
Ο κανόνας που εφάρμοζαν οι Κινέζοι σ’ αυτή τη περίπτωση, τον οποίο ονόμαζαν Ta-yen,δε διαφέρει κατ’ ουσία από εκείνον ο οποίος εδόθη κατόπιν από τον Gauss (§§ Disq. Aritm. 32-36). Κατ’ εφαρμογή αυτού του κανόνος, προσδιορίζονται (δοκιμαστικώς;) τρεις αριθμοί, «k», «l», και «m», τέτοιοι ώστε να έχουμε:
5*7*k ≡1(mod.3) (4)
7*3*l ≡1(mod.5) (5)
3*5*m ≡1(mod.7) (6)
Αποδεκτές τιμές για τις μεταβλητές «k», «l», και «m» είναι:
«k=2», «l=1», και «m=1»
Αντικαθιστούμε τις τιμές των μεταβλητών στις (4), (5), και (6) κι’ έχουμε:
5*7*2=70 (7)
7*3*1=21 (8)
3*5*1=15 (9)
Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων με τα υπόλοιπα των διαιρέσεων 2, 3, και 2 κι’ έχουμε:
5*7*2=70*2=140 (10)
7*3*1=21*3=63 (11)
3*5*1=15*2=30 (12)
Προσθέτουμε τα αποτελέσματα των ανωτέρω γινομένων κι’ έχουμε:
140+63+30=233
Από το ανωτέρω άθροισμα αφαιρούμε το Ε.Κ.Π. των διαιρετών 3, 5, και 7, όσες φορές είναι δυνατόν φθάνοντας στο ζητούμενο αριθμό 23, ή πιο σωστά, στο ελάχιστο από αυτά, κι’ έχουμε: 233-105=128-105=23

Ο Αριθμός της Πινακίδας

Ο Παύλος γράφει έναν διψήφιο αριθμό, όπου το ψηφίο των μονάδων είναι το ίδιο με το ψηφίο των δεκάδων και τον πολλαπλασιάζει επί 3.

Το γινόμενο το πολλαπλασιάζει επί 11.

Το νέο γινόμενο το πολλαπλασιάζει επί 3.

Το τελικό γινόμενο αποτελείται από 4 ψηφία, τα οποία αποτελούν τον αριθμό της πινακίδας του αυτοκινήτου του, ο οποίος λήγει σε 3, δηλαδή: ΑΚ  - - - 3.

Ποιος είναι ο αριθμός του αυτοκινήτου του;

Λύση

O ζητούμενος αριθμός της πινακίδας του αυτοκινήτου του Παύλου είναι: ΑΚ 7623
Έστω (αα) ο ζητούμενος διψήφιος αριθμός, ο οποίος παριστάνεται (10α+α). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(10*α)+α ---> (11*α)*(3*11*3) ---> (11*α)*99 ---> 1.089*α (1)
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο "α" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ,ότι ο μοναδικός αριθμός, ο οποίος εάν πολλαπλασιασθεί με το 1.089 θα μας δώσει γινόμενο ένα τετραψήφιο αριθμό που να λήγει σε 3, είναι ο αριθμός 7.
Πράγματι, εάν αντικαταστήσουμε το "α", στην ανωτέρω εξίσωση, με το 7 θα έχουμε:
1.089*α ---> 1.089*7=7.623
Επαλήθευση:
10α+α ---> (10*7)+7 ---> 70+7=77 ---> 77*(3*11*3)=77*99=7623 ο.ε.δ.

Το Αγρόκτημα

Σ’ ένα αγρόκτημα ένας  αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε
είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε
ως εξής:

-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των αριθμών
των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό μεγαλύτερο κατά
120 από τις κότες μου.»
Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και πόσα είχε aπό  το καθ' ένα; (Κατ.34/Νο.686)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_17.html

Πηγή: Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Α. Πούλου

Λύση

Συνολικά είχε 36 ζώα, 2 άλογα, 11 πρόβατα, και 23 κότες. Έστω «Α» τα άλογα «Π» τα πρόβατα και «Κ» οι κότες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Π*(Π+Α)=Κ+120 (1)
Εάν «Α», «Π», και «Κ» πρώτοι αριθμοί εκτός του 2, τότε Π*(Π+Α)= άρτιος αριθμός και Κ+120 περιττός αριθμός, άτοπον, άρα:
α) Κ+120 άρτιος, άρα Κ=2 ---> Π*(Π+Α)=122=2*61 (1*122 δεν γίνεται δεκτό αφού το 1 δεν θεωρείται πρώτος αριθμός), άρα Π=2 και Α=59 άρα Α=59, Π=2, Κ=2
β) Κ+120= περιττός αριθμός ---> Π*(Π+Α)= περιττός αριθμός ---> Π= περιττός και Α=2 και η εξίσωση γίνεται: Π*(Π+2)=Κ+120 ---> Π^2+2Π-120=Κ ή (Π+12)*(Π-10)=Κ(=πρώτος αριθμός) ---> (Π-10) = 1 ---> Π =11 και Κ=11+12=23 Άρα Α=2, Π=11, Κ=23
Επαλήθευση:
Π*(Π+Α)=Κ+120 ---> 11*(11+2)=23+120 ---> 11*13=143