Ο Εκθέτης

Με ποιον εκθέτη πρέπει ν' αντικαταστήσουμε τα ερωτηματικά, ώστε το
«2^8» και το «4^4» να ισούται με το «8^8»; 

(Κατ.34/Πρβ. Νο.451)

Λύση

Τα ερωτηματικά πρέπει ν' αντικατασταθούν με τον εκθέτη 3.
(2^8)^3 --> 2^24 = 16.777.216
(4^4)^3 --> 4^12 = 16.777.216
8^8 = 16.777.216

Ο Τριψήφιος Αριθμός

 

Να βρεθεί ένας τριψήφιος αριθμός που ισούται με το 12πλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων του.(Κατ.34/Πρβ. Νο.450)

Λύση

Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 108. Έστω ο ζητούμενος τριψήφιος αριθμός
"αβγ", ο οποίος παριστάνεται ως (100α+10β+γ). Βάσει των δεδομένων της
εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
100α+10β+γ=12*(α+β+γ)-->100α+10β+γ=12α+12β+12γ -->
100α-12α+10β-12β=12γ-γ --> 88α-2β=11γ -->γ=(88α-2β)/11 (1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Το «α» δεν μπορεί να λάβει τιμή μεγαλύτερη του «1», διότι προκύπτει ένας πενταψήφιος αριθμός. Δίνοντας στο "β" τις τιμές από το 0 έως το 9, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "α"
είναι ο αριθμός «0». Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
γ=(88α-2β)/11 --> γ=[(88*1)-(2*0)]/11 -->γ=88/11 --> γ=8
Επαλήθευση:
100α+10β+γ = 12*(α+β+γ) -->[(100*1)+(10*0)+8 = 12(1+0+8) -->
100+0+8 = 12*9 --> 108 = 12*9 ο.ε,δ.

Τα Κουμπιά

Ο Γιώργος έχει στη γκαρνταρόμπα του 10 σακάκια, 12 πανταλόνια και 6 γιλέκα. Το κάθε γιλέκο έχει τα μισά κουμπιά απ’ όσα έχει το κάθε πανταλόνι. Το κάθε πανταλόνι έχει τα μισά κουμπιά απ’ όσα έχει το κάθε σακάκι. Αν όλα τα κουμπιά είναι 210 πόσα κουμπιά έχει το κάθε ρούχο; (Κατ.34/Πρβ.Νο.8)

Λύση

Τα σακάκια έχουν 120 κουμπιά, τα πανταλόνια έχουν 60 κουμπιά, και τα γιλέκα έχουν 30 κουμπιά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α+β+γ=210 (1)
γ = β/2 (2)
β= α/2 (3)
--------------------
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
β= α/2 --> α = 2β (4)
Αντικαθιστούμε τη (2) και τη (4) στην (1) κι έχουμε:
α+β+γ=210 --> 2β+β+ β/2=210 --> 4β+2β+β=420 -->7β=420 -->
β=420/7 -->β=60 (5)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στη (2) και (4) κι έχουμε:
γ= β/2--> γ=60/2=30 --> γ=30 (6)
α=2β --> α=2*60=120 --> α =120 (7)
Επαλήθευση:
α+β+γ=210 --> 120+60+30=210 ο.ε.δ.

Τα Ευρώ

Στο δεξί μου χέρι έχω ορισμένα ευρώ. Στο αριστερό μου χέρι έχω τα μισά ευρώ απ’ όσα έχω στο δεξί μου χέρι και 10 ευρώ επί πλέον. Το σύνολο των ευρώ που έχω και στα δύο χέρια είναι 100€ . Πόσα ευρώ έχω σε κάθε χέρι; (Κατ.34/Πρβ. Νο.9)

Λύση

Στο δεξί μου χέρι έχω 60€ και στο αριστερό μου χέρι έχω 40€. Βάσει των
δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α+β=100 (1)
β=(α/2) +10 --> β= [(α+20)/2] (2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι έχουμε:
α+β=100 --> [α+(α+20)/2]=100 --> 2α+α+20=200 --> 3α=200-20 -->
α=180/3 --> α=60 (3)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
α+β=100 --> 60+β=100 --> β=100-60 --> β=40 (4)
Επαλήθευση:
α+β=100 --> 60+40=100 ο.ε.δ.

Οι Εργάτες

 

Τρεις εργάτες αναλαμβάνουν τη κατασκευή ενός μαντρότοιχου μήκους 64 μ. Οι ικανότητές τους όμως είναι διαφορετικές. Ο πρώτος μπορεί να κατασκευάσει 26 μ. αυτού του τοίχου μέσα σε 4 ημέρες. Ο δεύτερος μπορεί να κατασκευάσει 37 μ. αυτού του τοίχου μέσα σε 6 ημέρες. Ο τρίτος μπορεί να κατασκευάσει 40 μ. αυτού του τοίχου μέσα σε 12 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα κατασκευάσουν το τοίχο αυτό και οι τρεις εργάτες εργαζόμενοι μαζί; (Κατ.34/Πρβ. Νο.5)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
x =26/4+37/6+40/12=(78+74+40)/12=192/12 = 16 --> x = 16 μ. οι 3 εργάτες μαζί την ημέρα. Άρα για τα 64μ. θα χρειασθούν 64:16 = 4ημέρες. Το έργο θα το τελειώσουν και οι 3 μαζί σε 4 ημέρες.