Οι Καραμέλες

 

Ο Γιώργος και οι φίλοι του έχουν 450 καραμέλες τις οποίες μοίρασαν μεταξύ τους σε ίσα μερίδια και ο καθένας πήρε ακέραιο αριθμό από καραμέλες. Όμως τρεις από τους φίλους του Γιώργου του επέστρεψαν το 20% του μεριδίου τους. Έτσι ο Γιώργος πήρε συνολικά περισσότερες από 120 καραμέλες. Να βρείτε πόσα άτομα ήταν συνολικά μαζί με το Γιώργο και πόσες καραμέλες πήρε ο Γιώργος. (Κατ.34)

Πηγή:77ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ  ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

“Ο ΘΑΛΗΣ”/ 12 Νοεμβρίου 2016

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0B3sOOZaW1dRGTUtNMC1ULXBhaTg/view

Λύση

Μαζί με τον Γιώργο ήταν συνολικά 5 άτομα. Ο Γιώργος πήρε συνολικά 144 καραμέλες. Έστω ότι ο Γιώργος και οι φίλοι του ήταν συνολικά «x» άτομα, .όπου x ≥ 4 , από την υπόθεση. Τότε ο καθένας τους αρχικά πήρε:
450/x καραμέλες.(1)
Ο τρεις φίλοι επέστρεψαν στο Γιώργο συνολικά:
3*(20/100)*450/x)= (3*20*450)/100x=270/x καραμέλες (2)
Ο Γιώργος πήρε συνολικά:
(450/x)+(270/x)=720/x καραμέλες (3)
Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος βρίσκουμε ότι:
720/x μεγαλύτετο 120 ---> 120x μικρότερο 720 ---> x μικρότερο 720/120 ---> x μικρότερο 6
Επομένως οι δυνατές τιμές για το «x» είναι x = 4 ή x = 5.
Όμως η τιμή x = 4 απορρίπτεται, γιατί η διαίρεση (450: 4=112,5) δεν δίνει ακέραιο πηλίκο.
Άρα είναι x = 5 (4)
Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στην (1) και βρίσκουμε ότι αρχικά ο καθ’ ένας πήρε από:
450/x=450/5=90* καραμέλες (5)
Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στη (3) και βρίσκουμε ότι ο Γιώργος πήρε:
Αντικαθιστούμε την τιμή του «χ» στη (3) και βρίσκουμε ότι ο Γιώργος πήρε:
720/x=720/5=144 [90*+54**(18*3)] καραμέλες (πάνω από 120 καραμέλες εξ’ υποθέσεως) ή (3*20*450)/100x=(3*20*450)/100*5=(3*2*45)/5=270/5=144 καραμέλες
Ο καθ’ ένας από τους τρεις φίλους του επέστρεψε στο Γιώργο:
90*20%=18 καραμέλες
Και συνολικά οι τρεις φίλοι του επέστρεψαν:
**18*3=54 καραμέλες

Τα Ζεύγη

Πόσα ζεύγη πρώτων αριθμών έχουν άθροισμα  825;

Σημείωση:

Ερώτημα του λεπτού, που τέθηκε σ’ εξετάσεις μαθηματικών για SAT  (Κατ.34)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/12/825.html#comment-form

Λύση

Ένα ζεύγος. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί πλην του 2 είναι περιττοί συνεπώς, εάν ένα ζεύγος πρώτων αριθμών αποτελείται από δυο περιττούς αριθμούς το άθροισμα είναι άρτιος αριθμός. Όμως το 825 είναι περιττός αριθμός, άρα εάν υπάρχει ζεύγος πρώτων αριθμών με άθροισμα περιττό αριθμό, αποτελείται από ένα περιττό αριθμό και έναν άρτιο αριθμό, από το 2 και τον 823 (825-2=823).Ο 823 είναι πρώτος αριθμός άρα το μοναδικό ζεύγος που ικανοποίει τις προϋποθέσεις του προβλήματος είναι (2, 823).

Η Μηνιαία Δόση

Τρεις φίλοι αγόρασαν από μια μοτοσυκλέτα, Α (BMW), Β (Honda), και Γ (Yamaha). Ο πωλητής, για την εξόφληση των μοτοσυκλετών, ζήτησε από τον καθένα να του δώσει αρχικά μια προκαταβολή και στη συνέχεια να πληρώνει μια συγκεκριμένη δόση κάθε μήνα. Οι τρεις φίλοι έδωσαν το ίδιο ποσό χρημάτων για προκαταβολή και συμφώνησαν να πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση. Το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€. Εάν το συνολικό κόστος των μοτοσικλετών είναι 3.000€ για την μοτοσυκλέτα Α, 3.315€ για την μοτοσυκλέτα Β, και 3.840€ για την μοτοσυκλέτα Γ, να υπολογίσετε το ποσό της μηνιαίας δόσης. (Κατ.34)
Πηγή:Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Λύση

Το ποσό της μηνιαίας δόσης ανέρχεται στα 105€. Έστω «α» το ποσό της προκαταβολής και «β» το ποσό της κοινής μηνιαίας δόσης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
(β/3.000)-α (1)
(β/3.315)-α (2)
(β/3.840)-α (3)
Από την πρώτη και τη δεύτερη σχέση προκύπτει:
β/3.315-3.000-α+α=315€ (α), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Α» και «Β».
Από την δεύτερη και τρίτη σχέση προκύπτει:
β/3.840-3.315-α+α=525 (β), η διαφορά κόστους των μοτοσικλετών «Β» και «Γ».
Από την (β) και (α) έχουμε:
525-315=210€ (γ), η διαφορά των δύο κοστών.
Από την (α) και (γ) έχουμε:
315-210=105€, η διαφορά των δύο κοστών.
Επειδή εξ’ ορισμού «...το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€» ο μόνος θετικός διαιρέτης του 105 μεγαλύτερος του 100 είναι το 105, δεχόμαστε ως μηνιαία δόση το β=105€

Νέο Έτος 2017!!

Εύχομαι στους φίλους της ιστοσελίδας:

Χ Ρ Ο Ν Ι Α  Π Ο Λ Λ Α!!  

Ε Υ Τ Y Χ Ι Σ Μ Ε Ν Ο  

ΚΑΙ  ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟ

  Τ Ο  Ν Ε Ο  Ε Τ Ο Σ  2 0 1 7!! 

H A P P Y  N E W  Y E A R  2 0 1 7!!

Οι Αγώνες

Σ’ ένα τουρνουά σκακιού με σύστημα νοκάουτ, συμμετέχουν «ν» παίκτες. Πόσοι αγώνες θα διεξαχθούν μέχρι να αναδειχθεί ο μοναδικός νικητής;

Σημείωση:

Το ανωτέρω πρόβλημα το έστειλε ο αγαπητός φίλος μαθηματικός Γιώργο Βούλγαρης.(Κατ.34)

Διαβάστε περισσότερα »