Ρεπουμπλικάνοι και Δημοκρατικοί

Σε κάποιο σύλλογο των Η.Π.Α., όλα τα μέλη ήταν Ρεπουμπλικάνοι και
Δημοκρατικοί.Κάποτε, ένας από τους Δημοκρατικούς αποφάσισε να γίνει
Ρεπουμπλικάνος. Έπειτα από αυτό, υπήρχαν τόσοι Ρεπουμπλικάνοι όσοι
και Δημοκρατικοί.Ύστερα από μερικές εβδομάδες, ο συγκεκριμένος
Ρεπουμπλικάνος αποφάσισε να ενταχθεί και πάλι στους Δημοκρατικούς,
οπότε τα πράγματα επανήλθαν στην αρχική τους κατάσταση.Τότε, ένας
άλλος Ρεπουμπλικάνος αποφάσισε να γίνει Δημοκρατικός, και έτσι οι
Δημοκρατικοί έγιναν διπλάσιοι από τους Ρεπουμπλικάνους.Πόσα μέλη
είχε ο σύλλογος;

Λύση

Αν χ είναι οι Ρεπουμπλικάνοι και ψ οι Δημοκρατικοί, τότε: ψ-1=χ+1 ή ψ=χ+2 [εξίσωση(1)]
Επίσης, ψ+1=2(χ-1) ή ψ=2χ-3 [εξίσωση (2)]
Από τις εξισώσεις (1) και (2), προκύπτει ότι: χ+2=2χ-3 δηλ. χ=5 και ψ=7.
Άρα, ο σύλλογος είχε 12 μέλη.

Ο Αριθμός

Εάν αρχίσεις μ’ έναν αριθμό, μετά αφαιρέσεις το ένα τρίτο του, μετά το ένα τέταρτο του, μετά το ένα πέμπτο του και μετά το 4 κι’ εάν μετά πολλαπλασιάσεις το αποτέλεσμα με τον εαυτό του, παίρνεις 12  παραπάνω από τον αρχικό αριθμό. Βρες το αριθμό.

Πηγή: Από το βιβλίο του Άραβα μαθηματικού Abu-Abdullah Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi (790-850μ.Χ.) με τίτλο: «Hisab al - jabr w ’ al - muqabala», 825μ.Χ.. (34 προβλήματα).

Λύση

Ο αριθμός είναι ο 56,723. Έστω «x» ο αριθμός. Βάσει των δεδομένων της εκφώνηση του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12 (1)
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12
[x-[(20x+15x+12x+4*60]/60]^2=x+12
[x-[(47x+240)/60]^2=x+12
[(60x-47x-240)/60]^2=x+12
[(13x-240)/60]^2=x+12
13^2x^2-2*13*240x+240^2/60^2=x+12
169x^2-6.240x+57.600/3.600=x+12
169x^2-6.240x+57.600=3.600(x+12)
169x^2-6.240x+57.600=3.600x+43.200
169x^2-6.240x+57.600-3.600x-43.200=0
169x^2-9.840x+14.400=0 (2)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α --> x = 9.840±sqrt[(-9.840)^2-4*169*14.400]/2*169 --->
x = -9.840±sqrt[96.825.600-9.734.400]/338 --> x =[9.840±sqrt[(87.091.200)]/338 -->
x = (9.840±9.332)/338
x1=(45+5)/2 --> x1=50/2 --> x1=25
x2=(45-5)/2 --> x2=40/2 --> x2=20
x1=(9.840+9.332)/338 ----> x1=19.172/338 ----> x1=56,723
x2=(9.840-9.332)/338 ----> x2= 508/338 ----> x2=1,5029
Επαλήθευση:
[x-[(x/3)+(x/4)+(x/5)+4]]^2=x+12
[56,723-[(56,723/3)+(56,723/4)+(56,723/5)+4]]^2=56,723+12
[56,723-(18,91+14,18+11,35+4)]^2=68,723
(56,723-48,44)^2=68,723
8,283^2=68,723

Οι Γάτες και οι Σκύλοι

Ο κ. Γιώργος έχει στη φάρμα του αρκετά κατοικίδια ζώα μεταξύ των οποίων γάτες και σκύλους. Οι γάτες είναι περισσότερες από τους σκύλους. Το πρώτο βράδυ ένας μάγος μετεμόρφωσε μια γάτα σε σκύλο και έτσι την επόμενη ημέρα ο αριθμός των γάτων ήταν ίδιος με τον αριθμό των σκύλων. Το δεύτερο βράδυ ο μάγος μετεμόρφωσε ένα σκύλο σε γάτα και η αναλογία των ζώων επανήλθε στην αρχικά κατάσταση. Το τρίτο βράδυ ο μάγος μετεμόρφωσε ένα ακόμη σκύλο σε γάτα και τότε οι γάτες έγιναν διπλάσιες από τους σκύλους.Πόσες γάτες και πόσους σκύλους είχε αρχικά ο κ. Γιώργος στη φάρμα του;

Πηγη:http://slideplayer.gr/slide/5805029/

Πηγή:1^ος Προκριματικός γύρος του Διαγωνισμού ACALC

Λύση

Αρχικά ο κ. Γιώργος είχε στη φάρμα του 7 γάτες, και 5 σκύλους. Έστω «Γ» οι γάτες και «Σ» οι σκύλοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
Γ-1=Σ+1 (1)
Γ+1=2*(Σ-1) (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
Γ-1=Σ+1 ----> Γ=Σ+1+1 -----> Γ=Σ+2 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
Γ+1=2*(Σ-1) ----> Γ=2*(Σ-1)-1 ----> Γ=2Σ-2-1 -----> Γ=2Σ-3 (4)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (4) κι’ έχουμε:
Γ=2Σ-3 ----> Σ+2=2Σ-3 -----> 2Σ-Σ=2+3 ----> Σ=5 (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε:
Γ=Σ+2 ----> Γ=5+2 ----> Γ=7(6)
Επαλήθευση:
Γ-1=Σ+1 ----> 7-1=5+1 ----> 7-1=6
Γ+1=2*(Σ-1) 7+1=2*(5-1) ----> 7+1=2*4 ----> 7+1=8 ο.ε.δ.