Ματ σε Δύο

 

FEN:[2RbR3/3k4/1p1B1P2/1p6/1P6/8/1K1Q2P1/8]

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 2 κινήσεις.
(Σ.53/Δ)

Λύση

Κλειδί:1.Qd2-d5!(>2.Re8*d8 # /2.Rc8*d8 # /2.Qd5-e6 # / 2.Qd5-c6 # ),
1....,Kd7*c8 2.Qd5-c6 #
1...Kd7*e8 2.Qd5-e6 #
1...Bd8-c7 2.Bd6*c7 #
1...Bd8*f6 + 2.Bd6-e5 #
1...Bd8-e7 2.Bd6*e7 #

Τα Φρούτα

 

Να βρεθεί πόσο κοστίζει το κάθε φρούτο. (Κατ.9Α΄/Πρβλ. Νο.11)

Λύση

Το μήλο κοστίζει 80δρχ., ο ανανάς κοστίζει 230δρχ. και το
αχλάδι κοστίζει 90δρχ. Έστω «α» το μήλο, «β» ο ανανάς και
«γ» το αχλάδι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του
προβλήματος έχουμε:
α+β+γ = 400 (1)
3α+β= 470 (2)
β+2γ = 410 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
3α+β= 470 --> β=470-3α (4)
Αντικαθιστούμε στη (3) τη (4) κι’ έχουμε:
β+2γ = 410 --> 470-3α+2γ=410 --> 3α=470-410+2γ -->
3α=60+2γ --> α= (60+2γ)/3 (5)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
β+2γ = 410 --> β=410-2γ (6)
Αντικαθιστούμε τη (5) και την (6) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ = 400 --> (60+2γ)/3 +410-2γ+γ=400 -->
60+2γ+(3*410)-(3*2γ)+(3γ)=3*400 -->
60+2γ +1.230-6γ+3γ=1.200 --> 60+1230+5γ-6γ=1.200 -->
γ=60+1.230-1.200 --> γ=90 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (5) κι’ έχουμε:
α=(60+2γ)/3 --> α=[(60+(2*90)]/3 --> α=(60+180)/3 -->
α=240/3 --> α = 80 (8)
Αντικαθιστούμε την (8) στη (4) κι’ έχουμε:
β=470-3α --> β=[470-(3*80)] --> β=470-240 --> β=230 (9)
Επαλήθευση:
α+β+γ = 400 --> 80+230+90=400
3α+β= 470 --> [(3*80)+230 = 470 --> 240+230=470
β+2γ = 410 --> [230+(2*90)] = 410 --> 230+180 = 410 ο.ε.δ.

Ματ σε Δύο

FEN:[8/5K2/6Bk/4B3/Q1p5/8/s4P2/2q5]

Παίζουν τα Λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

(Σ.13/Γ)

Λύση

Δοκιμές : [1.Bf4+?Qxf4+!],[1.Bg7+?Kg5!].
Κλειδί: 1 Qd1!(>2.Qh5#)
1...,Qg5 2.Bg7#
1...,Qf4+ 2.Bxf4#
1...,Qxd1 2.Bf4#

Η Εκδρομή

Οι 85 μαθητές ενός σχολείου κανόνισαν να πάνε μια ημερήσια εκδρομή  συνολικού κόστους 510€. Επειδή κάποιοι μαθητές δεν είχαν τη δυνατότητα να πληρώσουν το εισιτήριο που τους αναλογούσε, οι υπόλοιποι μαθητές τους επιβαρύνθηκαν με το επιπλέον ποσό του 1,50€. Πόσοι μαθητές δεν πλήρωσαν εισιτήριο; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.471)

Λύση

Δεν πλήρωσαν εισιτήριο 17 μαθητές. Έστω «α» οι μαθητές που δεν
πλήρωσαν εισιτήριο. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του
προβλήματος έχουμε:
Κατ’ αρχήν βρίσκουμε την αξία του εισιτηρίου που θα πληρώσει
κάθε μαθητής διαιρώντας την συνολική αξία με το πλήθος των
μαθητών 510/85= 6. Άρα κάθε μαθητής πρέπει να πληρώσει 6€.
Επειδή, όμως, ορισμένοι μαθητές δεν μπορούσαν να πληρώσουν το
ποσό των 6€ οι υπόλοιποι μαθητές επιβαρύνθηκαν με 1,50€ επί
πλέον για να καλύψουν τη διαφορά, οπότε οι υπόλοιποι μαθητές
πλήρωσαν: 6+1,50 = 7,50€ ο καθένας. Βάσει των ανωτέρω
έχουμε να επιλύσουμε την εξίσωση:
(85-α)*7,50=510 --> 637,50-7,50α = 510 --> 7,50α=637,50-510-->
7,50α = 127,50 --> α=127,50/7,50 --> α = 17
Επαλήθευση:
(85-α)*7,50=510 --> (85-17)*7,50=510 --> 68*7,50 = 510 ο.ε.δ.
Κανονική αξία εισιτηρίων 85 μαθητών: 85*6€ = 510€
Αξία εισιτηρίου 17 μαθητών: 17*6€=102€
Αναλογία των 17 εισιτηρίων για τους υπόλοιπους μαθητές(68):
102/(85-17)=102/68 =1,50€
Συνολική αξία εισιτηρίων 68 μαθητών: 68*6€ = ..................408€
Αξία επιβάρυνσης 17 εισιτηρίων στους 68 μαθητές: 68*1,50€ = 102€:
Σύνολο: 510€

Ο Μανάβης

Ένας μανάβης αγόρασε 65κιλά μπανάνες με την προϋπόθεση ότι θα εισπράξει από τη πώληση τους 104€. Κατά τη μεταφορά τους στο μαγαζί του ορισμένες μπανάνες αλλοιώθηκαν και για να εισπράξει το ποσό που ήθελε αναγκάστηκε να πουλήσει τις υπόλοιπες κατά 0,40€ το κιλό ακριβότερα. Να βρείτε πόσα κιλά μπανάνες αλλοιώθηκαν και πόσα Ευρώ το κιλό θα πωλούσε τα 65κιλά μπανάνες για να εισπράξει 104€. 
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.470)

Λύση

Αλλοιώθηκαν 13κιλά μπανάνες και τα 65κιλά μπανάνες πρέπει να τις
πωλήσει προς 1,60€ το κιλό για να εισπράξει 104€. Έστω «α» οι
αλλοιωμένες μπανάνες. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του
προβλήματος έχουμε:
Κατ’ αρχήν πρέπει να βρούμε πόσο θα πωλήσει το κιλό τις μπανάνες
για να εισπράξει 104€, γι’ αυτό διαιρούμε τα 104€ με τα 65κιλά
μπανάνες πωλήσει το κιλό τις μπανάνες:
104/65=1,60€. Άρα πρέπει να τις πωλήσει προς 1,60€ το κιλό.
Επειδή αλλοιωθήκαν «α» κιλά μπανάνες αναγκάζεται να πωλήσει τις
υπόλοιπες κατά 0,40€ ακριβότερα το κιλό, ώστε να εισπράξει τα 104€,
δηλαδή πρέπει να πωλήσει τις υπόλοιπες προς 1,60+0,40 = 2,00€,
οπότε έχουμε την εξίσωση:
(65-α)*2=104 --> 130-2α = 104 --> 2α = 130-104 --> 2α = 26 -->
α=26/2 --> α = 13
Άρα αλλοιώθηκαν 13κιλά μπανάνες.

Τα Πουλιά

Σ’ ένα δένδρο υπάρχουν 25 πράσινα πουλιά και 19 κίτρινα πουλιά. Κάθε μια ώρα έρχονται στο δένδρο 2 πράσινα πουλιά και 3 κίτρινα πουλιά. Σε πόσες ώρες τα πράσινα πουλιά θα είναι ίσα με τα κίτρινα πουλιά; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.469)

Λύση

Σε 6 ώρες θα υπάρχουν στο δένδρο 37 πράσινα πουλιά και 37 κίτρινα
πουλιά. Έστω «x» οι ώρες όπου το σύνολο των πράσινων πουλιών θα
ισούται με το σύνολο των κίτρινων πουλιών. Βάσει των δεδομένων της
εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε την ισότητα:
25+2x =19+3x --> 3x-2x =25-19 --> x = 6
Επαλήθευση:
25+2x =19+3x -->[25+(2*6 )]=19+[(3*6)]-->25+12=19+18-->
37=37 ο.ε.δ.

Οι Καραμέλες

Τρία αδέλφια, ο Γιάννης, ο Βασίλης και η Μαρία, έχουν ένα βάζο με καραμέλες. Κάποια μέρα, εκεί που καθόντουσαν στη τραπεζαρία του σπιτιού τους, σηκώνεται ο Γιάννης και χωρίς να πει τίποτα σε κανέναν πάει στη κουζίνα και παίρνει το 1/3 από τις καραμέλες που είχε το βάζο κι’ επιστρέφει στη τραπεζαρία. Μετά από μερικά λεπτά σηκώνεται ο Βασίλης και χωρίς να πει τίποτα σε κανέναν πάει στη κουζίνα και παίρνει το 1/3 από τις καραμέλες που είχαν μείνει στο βάζο κι’ επιστρέφει στη τραπεζαρία. Το ίδιο έκανε και η Μαρία σηκώθηκε και πήγε στη κουζίνα και παίρνει τις 12 καραμέλες που είχαν απομείνει στο βάζο κι’ επιστρέφει στη τραπεζαρία. Πόσες καραμέλες είχε το βάζο στην αρχή και πόσες καραμέλες πήρε ο καθ’ ένας; (Κατ.36/Πρβλ. Νο.30)

Λύση

Το βάζο είχε 27 καραμέλες. Ο Γιάννης πήρε 9 καραμέλες, ο Βασίλης πήρε
6 καραμέλες και η Μαρία πήρε τις υπόλοιπες 12 καραμέλες. Έστω «α» οι
καραμέλες που υπήρχαν στο βάζο στην αρχή. Βάσει των δεδομένων της
εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α)Ο Γιάννης πήρε το 1/3 από αυτές και μένουν υπόλοιπες:
α – α/3 = (3α-α)/3 = 2α/3 καραμέλες.
β)Ο Βασίλης πήρε το 1/3 από τις υπόλοιπες:
(2α/3 )*1/3 =2α/9καραμέλες και μένουν υπόλοιπες:
2α/3 -2α/9 = [(3*2α)-2α)]/9 = (6α-2α)/9 = 4α/9 καραμέλες
Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, έμειναν 12 καραμέλες
μέσα στο βάζο για τη Μαρία έχουμε τη εξίσωση:
γ) 4α/9 =12 --> 4α=12*9 --> 4α=108 --> α=108/4 -->α=27 καραμέλες.
Επαλήθευση:
α) α/3 --> 27/3 = 9 καραμέλες.
β) 2α/9 --> (2*27)/9 = 2*3 = 6 καραμέλες.
Άρα 9 + 6 +12=27 ο.ε.δ.

Τα Σκιουράκια

Τρία σκιουράκια, ο Ραμ, ο Σαμ και ο Ταμ, έχουν και τα τρια μαζί 7 καρύδια. Το καθ’ ένα, τουλάχιστον, έχει ένα καρύδι. Το κάθε σκιουράκι έχει διαφορετικό αριθμό καρυδιών απ’ ότι έχει οποιοδήποτε από τα’ άλλα δύο σκιουράκια. Εάν ο Ραμ έχει τα λιγότερα καρύδια και ο Ταμ τα περισσότερα καρύδια, πόσα καρύδια έχει ο Σαμ; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.468)

Λύση

Ο μόνος συνδυασμός που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι: 1, 2, 4.
οποισδήποτε άλλος υπερβαίνει το σύνολο 7. Άρα Ο Ραμ έχει 1
καρύδι, ο Σαμ έχει 2 καρύδια και Ταμ έχει 4 καρύδια.
Σύνολο 7 καρύδια.

Οι Κότες

Δύο κότες σε δύο ημέρες γεννάνε δύο αυγά. Δέκα κότες σε δέκα ημέρες πόσα αυγά θα γεννήσουν; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.467)

Λύση

Σε 2 ημέρες δύο κότες γεννάνε δύο αυγά, και σε 10 μέρες θα γεννήσουν
10/2 = 5 αυγά.Άρα, 10 κότες σε 10 μέρες θα γεννήσουν: 10*5 = 50 αυγά.
Ή
Οι 10 κότες σε 10 ημέρες θα γεννήσουν 50 αυγά. Βάσει των δεδομένων
της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
Κατάταξη:
Η μία κότα σε 48 ώρες (2ημέρες*24ώρες) γεννάει 1 αυγό.
Η μια κότα σε 240 ώρες (10 ημέρες*24ώρες) θα γεννήσει x; αυγά
x = (240*1)/48 --> x =240/48 --> x = 5 αυγά
Άρα οι 10 κότες σε 10 ημέρες θα γεννήσουν:10*5 = 50 αυγά.

Οι Ηλικίες

Το άθροισμα των ηλικιών μίας οικογένειας που αποτελείται από, τον πατέρα, τη μητέρα, το γιο και τη κόρη, ισούται με 83. Με δεδομένο ότι οι σχέσεις των ηλικιών αναμεταξύ τους είναι οι εξής:

• Έξι φορές η ηλικία του πατέρα αντιστοιχεί σε 7 φορές την ηλικία της μητέρας.

• Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια του γιου της.

• Η κόρη είναι κατά 2 χρόνια μικρότερη από τον αδελφό της

να βρείτε πόσων ετών είναι έκαστο μέλος της οικογένειας;  
(Κατ.10/Πρβλ. Νο.4)

Λύση

Ο πατέρας είναι 35 ετών, η μητέρα είναι 30 ετών, ο γιος είναι 10 ετών
και η κόρη είναι 8 ετών. Έστω α, β, γ και δ οι αντίστοιχες ηλικίες των.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ+δ=83 (1)
6α=7β (2)
β=3γ (3)
δ=γ-2 (4)
Από τη (2) συνάγουμε:
6α=7β --> α=7β/6 (5)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (5) κι έχουμε:
α=7β/6 --> α=7*3γ/6 --> α=21γ/6 (6)
Αντικαθιστούμε τη (3),(4) και (6) στην (1) κι έχουμε:
α+β+γ+δ=83 --> (21γ/6)+3γ+γ+ (γ-2)=83 -->
21γ+18γ+6γ+6*(γ-2)=6*83-->
21γ+18γ+6γ+6γ-12=498 -->51γ=498+12-->
51γ=510 --> γ=510/51-->γ=10(7)
Από τη (3),(4) και (6) συνάγουμε ότι:
β=3γ --> β=3*10=30 -->β=30 (8)
δ=γ-2 --> δ=10-2=8 --> δ=8 (9)
α=21γ/6 --> α=21*10/6 --> α=210/6 -->α=35(10)
Άρα από την (1) συνάγουμε ότι:
α+β+γ+δ=83 --> 35+30+10+8=83 ο.ε.δ.

Οι Ηλικίες

Η Σοφία και η Μαίρη είναι δύο πολύ χαριτωμένες αδελφές. Το άθροισμα της ηλικίας των ισούται με 38. Δεδομένου όμως ότι η διαφορά της ηλικίας των μας δίνει έναν αριθμό που είναι το 1/10 της ηλικίας της μεγαλύτερης και το 1/9 της ηλικίας της μικρότερης, μπορείτε να βρείτε πόσο χρονών είναι η κάθε μία; (Κατ.10/Πρβλ. Νο.12)

Λύση

Η Σοφία είναι 20 ετών και η Μαίρη 18 ετών Έστω α και β οι αντίστοιχες
ηλικίες των. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος
έχουμε:
α+β=38 (1)
α-β=α/10=β/9=ω (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α-β=α/10 --> α=10(α-β) --> α=10α-10β --> 10β=10α-α -->β=9α/10(3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=38 --> α+9α/10=38 --> 10α+9α=38*10 --> 19α=380 --> α=380/19-->α=20(4)
Από τη (3) συνάγουμε ότι: β=9α/10 --> β=(9*20)/10 --> β=9*2 -->
β=18 (5)
Επαλήθευση:
α+β=38 --> 20+18=38 ο.ε.δ.
α-β=α/10=β/9=ω --> 20-18=20/10=18/9=2 ο.ε.δ.

Οι Ηλικίες

 

Μιλώντας με κάτι φίλους του για την ηλικία του και για τις ηλικίες των δύο γιων του, ο κ. Πέτρος τους λέει:

- "Και οι τρεις μαζί συγκεντρώνουμε ακριβώς έναν αιώνα ζωής. Δεδομένου όμως ότι ο Γιάννης είναι κατά δέκα χρόνια μεγαλύτερος από το Βασίλη και ότι και οι δύο μαζί έχουν τα δικά μου χρόνια, μπορείτε να βρείτε πόσο χρονών είναι ο καθ’ ένας μας;" (Κατ.10/πρβλ. Νο.13)

Λύση

Οι ηλικίες είναι: του Γιάννη 30 ετών, του Βασίλη 20 ετών και του κ. Πέτρου 50 ετών. Έστω α, β, και γ οι αντίστοιχες ηλικίες των. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως
έχουμε:
α +β + γ=100 (1)
α = β +10 (2)
α + β = γ (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α +β + γ=100 --> γ+γ=100 --> 2γ=100 --> γ=100/2 --> γ=50 (4)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α = β +10 --> α-β=10 (5)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "γ" στη (3) κι’ έχουμε:
α + β = γ --> α+β=50 (6)
Προσθέτουμε κατά μέλη τη (5) και τη (6) κι’ έχουμε:
α-β=10
α+β=50
2α=60 --> α=60/2 --> α=30 (7)
Από τη (5) συνάγουμε ότι:
α-β=10 --> 30-β=10 --> β=30-10 --> β=20 (8)
Επαλήθευση:
α +β + γ=100 --> 30+20+50=100 ο.ε.δ.

Οι Ηλικίες

Τριών ατόμων οι ηλικίες έχουν άθροισμα 60.

• Η ηλικία του μεγαλύτερου ισούται με την ηλικία του μεσαίου συν τη κυβική ρίζα της ηλικίας του μικρότερου.

• Η ηλικία του μεσαίου ισούται με την ηλικία του μικρότερου συν τη κυβική ρίζα της ηλικίας του μεγαλύτερου συν 14 χρόνια.

• Η ηλικία του μικρότερου ισούται με τη κυβική ρίζα της ηλικίας του μεγαλύτερου συν τη τετραγωνική ρίζα της ηλικίας του μεσαίου.

Ποιες είναι οι ηλικίες τους; (Κατ.10/Πρβλ. Νο.15)

Λύση:

Η Ηλικία

 

Σε δύο χρόνια η ηλικία του Νίκου θα είναι διπλάσια από αυτή που είχε πριν πέντε χρόνια. Ποια είναι σήμερα η ηλικία του; (Κατ.10/Πρβλ. Νο.56)

Λύση

Είναι 12 ετών. Έστω "α" η ηλικία του. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+2=2*(α - 5)-->α+2=2α–10-->2α–α=2+10--> α = 12
Επαλήθευση:
α+2=2*(α - 5)-->12+2=2*(12 - 5) --> 14 = 2*7 ο.ε.δ.

Τα Ψώνια

Η οικογένεια Γεωργίου πήγε με το γιο τους, τον Άγγελο, για ψώνια στα μαγαζιά και ξοδέψανε 28.000δρχ. Αγοράσανε ένα ποδήλατο, ένα τρένο και ένα αεροπλάνο για το γιο τους. Το ποδήλατο έχει τριπλάσια αξία από το αεροπλάνο, ενώ το τρένο έχει διπλάσια αξία από το ποδήλατο. Με βάση αυτά τα δεδομένα μπορείτε να βρείτε πόσο αξίζει το κάθε είδος;
(Κατ.9Α΄/Πρβλ. Νο.8)

Λύση

Το ποδήλατο στοιχίζει 8.400δρχ, το αεροπλάνο στοιχίζει 2.800δρχ
και το τρένο στοιχίζει 16.800δρχ. Έστω «α» το ποδήλατο, «β» το
αεροπλάνο και «γ» το τρένο.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ=28.000(1)
α = 3β(2)
γ = 2α(3)
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:
γ = 2α --> γ=2*3β --> γ = 6β (4)
Αντικαθιστούμε τη (2) και τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=28.000 --> 3β+β+6β=28.000 --> 10β=28.000 --> β= -->
β = 2.800 (5)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «β» στις (2) και (4) κι’ έχουμε:
α = 3β --> α = 3*2.800 --> α = 8.400 (6) και γ = 6β -->
γ = 6*2.800 --> γ = 16.800 (7)
Επαλήθευση:
α+β+γ=28.000 --> 8.400+2.800+16.800=28.000 ο.ε.δ.

Οι Συσκευασίες

Σε μία αποθήκη υπάρχουν τριών ειδών συσκευασίες, κιβώτια, δέματα, σάκοι, που έχουν το ίδιο βάρος το καθένα.Το κάθε σύνολο των συσκευασιών ζυγίζει όσο βλέπετε. Μπορείτε να βρείτε πόσο ζυγίζει κάθε συσκευασία; (Κατ.9Α΄/Πρβλ. Νο.7)

Λύση

Το χαρτοκιβώτιο ζυγίζει 72Kgr. Το δέμα ζυγίζει 45Kgr. Το σακί ζυγίζει 16Kgr.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
2α+β+γ=205(1)
α+2β+γ=178(2)
α+β+2γ=149(3)
Προσθέτουμε κατά μέλη την (1), (2) και (3) κι έχουμε:
2α+β+γ=205
α+2β+γ=178
α+β+2γ=149
4α+4β+4γ=205+178+149 --> 4(α+β+γ)=532 -->(α+β+γ)=532/4 -->
(α+β+γ)=133 (4)
Αφαιρούμε τη (4) από την (1) κι έχουμε:
2α+β+γ=205
-α-β-γ=-133 --> α=72 (5)
Αφαιρούμε τη (4) από τη (2) κι έχουμε:
α+2β+γ= 178
-α-β-γ=-133 --> β=45 6)
Αφαιρούμε τη (4) από τη (3) κι έχουμε:
α+β+2γ= 149
-α-β-γ=-133 --> γ=16 (7)
Επαλήθευση:
2α+β+γ=205 --> 2*72+45+16=205 --> 144+45+16=205
α+2β+γ=178 --> 72+2*45+16=178 --> 72+90+16=178
α+β+2γ=149 --> 72+45+2*16=149 --> 72+45+32=149 ο.ε.δ.

Τα Γραμματόσημα

Γραμματόσημα Αγίου Όρους

Ο Πέτρος είναι φιλοτελιστής κι’ έχει πολλά γραμματόσημα απ’ όλο τον κόσμο. Όταν μια ημέρα τα μέτρησε για να δει πόσα γραμματόσημα έχει, παρατήρησε το εξής:

Εάν μετράει τα γραμματόσημα ανά 4, 5, 6 και 7 στο τέλος του περισσεύουν τρία γραμματόσημα. Εάν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των γραμματοσήμων κυμαίνεται μεταξύ των αριθμών 2.500 και 2.600, μπορείτε να βρείτε πόσα γραμματόσημα έχει ο Πέτρος;

(Κατ.5/Πρβλ. Νο.39)

Λύση

Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν = n + 3. Από τη σειρά των
αριθμών 4, 5, 6 και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π. : n! = 22*3* 5*7 = 4*3*5*7 --> n = 420.
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν - 3 = n --> Ν – 3 = 420
Επομένως ο Ν – 3 ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 420:
(Ν – 3) = 420, (Ν – 3) = 840, (Ν – 3) = 1.260, (Ν – 3) = 1.680,
(Ν – 3) = 2.100,(Ν – 3) = 2.520, (Ν – 3) = 2.940,…, (Ν – 3) = ∞.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως διαλέγουμε το πολλαπλάσιο που
δεν είναι μεγαλύτερο του αριθμού 2.600 κι’αυτό είναι το
(Ν – 3) = 2.520. Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι (Ν – 3)=2.520 -->
Ν = 2.520 + 3 --> Ν = 2.523

Η Τράπουλα

Φλος Ρουαγιάλ.

Παίζετε χαρτιά, με δύο τράπουλες, την  ανακατεύετε και αρχίζετε να μοιράζετε τα φύλλα χωρίς να πάρετε είδηση ότι έπεσαν στο πάτωμα, την ώρα του ανακατέματος, μερικά φύλλα. Παρατηρείτε, τότε, ότι όταν μοιράζετε τα φύλλα ανά 3, 4, 6 και 8 στο τέλος περισσεύουν στο χέρι σας 2 φύλλα. Ο αριθμός των φύλλων κυμαίνεται μεταξύ των αριθμών 80 και 100. Πόσα φύλλα έπεσαν στο πάτωμα;

(Κατ.5/Πρβλ. Νο.35)

Λύση

Στο πάτωμα πέσανε 10 φύλλα. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι
ο Ν = n + 2. Από τη σειρά των αριθμών 3,4,6, και 8 βρίσκουμε το
Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π. : n!=23*3 --> n = 24.
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν - 2 = n --> Ν – 2 = 24
Επομένως ο Ν – 2 ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 24:
(Ν – 2) = 24, (Ν – 2) = 48, (Ν – 2) = 72, (Ν – 2) = 96,
(Ν – 2) = 120,…, (Ν – 2) = ∞.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως διαλέγουμε το πολλαπλάσιο που
δεν είναι μεγαλύτερο του αριθμού 120 κι’ αυτό είναι το (Ν – 2) = 96.
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι:
(Ν – 2) = 96 --> Ν = 96 + 2 --> Ν = 98
Άρα κατά το ανακάτεμα πέσανε στο πάτωμα 10 φύλλα και το σύνολο των
φύλλων της τράπουλας είναι 98 + 10 = 108 φύλλα. Πράγματι δύο
τράπουλες έχουν 54*2 = 108 φύλλα. ο.ε.δ.

Το Όνομα της Κόρης

Η κόρη μου έκανε την εξής παρατήρηση, λέει η κυρία Μαρία στη φίλη της:

"Εάν δώσει στα γράμματα του ονόματός της την αξία που κατέχουν στο αλφάβητο, π.χ, Α=1, Β=2, Γ=3, κ.ο.κ.ε. και τα πολλαπλασιάσει όλα μεταξύ τους, βρίσκει γενικό γινόμενο 169." Μήπως μπορείτε να μαντέψετε πως ονομάζεται η κόρη της; (Κατ.5/Πρβλ. Νο.16)

Παραλλαγή:

Επίσης, εάν δώσει στα γράμματα, του πολυτιμότερου προσώπου μέσα στην οικογένεια, την αξία που κατέχουν στο αλφάβητο και τα πολλαπλασιάσει όλα μεταξύ τους, βρίσκει γενικό γινόμενο 144. Μήπως μπορείτε να μαντέψετε ποιο είναι το πολυτιμότερο αυτό πρόσωπο;

Λύση

Βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, εάν στα γράμματα της
αλφαβήτου,από το Α έως το Ω, δώσουμε τις τιμές, από το 1 έως το 24,
το γράμμα «Ν» κατέχει τη 13η θέση. Εφ’ όσον το γενικό γινόμενο
ισούται με 169, σημαίνει ότι στο όνομα υπάρχουν δύο "N", μιας και
το 13*13 ισούται με 169. Το γινόμενο δε μεταβάλλεται αν
πολλαπλασιαστεί άπειρες φορές με τη μονάδα. Το όνομά της, λοιπόν,
μπορεί να περιλαμβάνει και πολλά «Α». Δύο όμως μας αρκούν. Βάσει του
κατωτέρω τύπου των μεταθέσεων έχουμε:
Μμ = 1*2*3*,…,*μ = μ!
4!=1*13*13*1=169 --> 4!= 13*1*13*1=169
Εάν αντικαταστήσουμε τους αριθμούς με τα γράμματα της αλφαβήτου ,
όπου 1=Α και όπου 13=Ν, έχουμε τα ονόματα: ΑΝΝΑ και ΝΑΝΑ.
Παραλλαγή
Βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, εάν στα γράμματα της
αλφαβήτου, από το Α έως το Ω, δώσουμε τις τιμές, από το 1
έως το 24, το γράμμα «Μ» κατέχει τη 12η θέση. Εφ’ όσον το
γενικό γινόμενο ισούται με 144, σημαίνει ότι στο όνομα
υπάρχουν δύο «Μ», μιας και το 12*12 ισούται με 144. Το
γινόμενο δε μεταβάλλεται αν πολλαπλασιαστεί άπειρες φορές με
τη μονάδα. Το όνομά της, λοιπόν, μπορεί να περιλαμβάνει και
πολλά «Α». Δύο όμως μας αρκούν. Βάσει του κατωτέρω τύπου των
μεταθέσεων έχουμε:
Μμ = 1*2*3*,…,*μ = μ!
4!= 12*1*12*1=144
Εάν αντικαταστήσουμε τους αριθμούς με τα γράμματα της αλφαβήτου,
όπου 1=Α και όπου 12 = Μ, έχουμε τα ονόματα: ΜΑΜΑ, το ιερότερο
πρόσωπο μέσα στην οικογένεια με το πιο γλυκό όνομα.
(Μάννα, Μητέρα, Μαμά)!!!

Ο Έμπορος των Μήλων *

Ένας έμπορος μήλων, μετρώντας τα μήλα του, διαπιστώνει τα εξής:

Ø      Ανά δύο, μένει υπόλοιπο 1 μήλο.

Ø      Ανά τρία, μένουν υπόλοιπο 2 μήλα.

Ø      Ανά τέσσερα, μένουν υπόλοιπο 3 μήλα.

Ø      Ανά πέντε, μένουν υπόλοιπο 4 μήλα.

Ø      Ανά έξι, μένουν υπόλοιπο 5 μήλα. Και

Ø      Ανά επτά, δεν μένει υπόλοιπο κανένα μήλο.

Πόσα μήλα έχει, εάν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός τους είναι μικρότερος του 200;

(του Glaude Gaspard Bachet)

(Κατ.5/Πρβλ. Νο.9)

*Από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230)
"Liber Abbaci" - Βιβλίο  Άβακος = Εγχειρίδιο   Αριθμητικής,
αποτελούμενο από 15 κεφάλαια.α΄ έκδοση,1202, β΄ έκδοση, 1228,

 Λύση

Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών
2,3,4,5 και 6 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.= 22*3*5 = 60  Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
Συνεπώς ο (Ν+1) είναι ένα πολλαπλάσιο του 60: (Ν+1)=60, (Ν+1)=120,
(Ν+1)=180, (Ν+1)=240,…, (Ν+1)=∞. Και Ν=(Πολλαπλάσιο-1), δηλαδή,
Ν=60-1=59, Ν=120-1=119, Ν=180-1=179, Ν=240-1 =239,…, Ν= ∞-1= ∞.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως διαλέγουμε τα πολλαπλάσια που
είναι μικρότερα του 200 και από αυτά διαλέγουμε τα πολλαπλάσια του
7, που είναι μόνο το 119.Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν=119

Ο Αριθμός

Ένας αριθμός, μικρότερος του 1000, διαιρούμενος με το 3, 11 και το 17 δίνει πάντοτε υπόλοιπο 2. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;  
(Κατ5/Πρβλ. Νο.11)

Λύση

Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν = n + 2. Από τη σειρά των αριθμών
3,11 και 17 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π. = 3*11*17=561 --> n = 561.
Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν = n+2 --> Ν=561+2 --> Ν=563
Βάσει του τύπου Δ = (δ * π) + υ έχουμε:
Α)563 =187*3 + 2, Β)563 = 51*11 + 2, Γ)563 = 33*17 + 2 ο.ε.δ.

Το Κωδωνοστάσιο

 

Στο κωδωνοστάσιο μιας μεγάλης εκκλησίας υπάρχουν τρεις καμπάνες, οι οποίες λειτουργούν με ρεύμα. Η πρώτη  κτυπάει κάθε 5 δευτερόλεπτα, η δεύτερη κτυπάει κάθε 6 δευτερόλεπτα και η τρίτη κτυπάει κάθε 8 δευτερόλεπτα. Αν κτυπήσουν όλες μαζί το πρώτο κτύπο, ύστερα από πόσα δευτερόλεπτα θα κτυπήσουν πάλι μαζί;  

(Κατ.5/Πρβλ. Νο.12)

Λύση

Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 5,6
και 8 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.= 23*3*5 --> Ε.Κ.Π.= 8*3*5 = 120,
το οποίο εκφράζεται σε δευτερόλεπτα,δηλαδή 120:60 = 2 λεπτά.
Οι καμπάνες θα κτυπήσουν και οι τρεις μαζί μετά από 2 λεπτά. Άρα ο
ζητούμενος αριθμό Ν είναι ο 120.

Η Σχολική Εκδρομή

Ο συνολικός αριθμός των μαθητών, που συμμετέχουν στην ετήσια σχολική εκδρομή, εάν χωρισθεί σε ομάδες τω 3, 4, ή 5 ατόμων δεν μένει κανένας μόνος του. Εάν απομακρυνθούν 4 μαθητές, τότε μπορούν να σχηματισθούν ομάδες των 7 ατόμων. Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές που συμμετέχουν στη σχολική αυτή εκδρομή; (Κατ.5/Πρβλ. Νο.7)

Λύση

Οι μαθητές που συμμετέχουν είναι 60 ή 480. Από το τύπο, ν!=1*2*3*4*…*n, των μεταθέσεων
προκύπτουν:
ν = Το πλήθος των όρων της σειράς.
ν! = Νι Παραγοντικό.
n =Οι φυσικοί αριθμοί:1,2,3,4……∞.
3!=3*4*5=60 μαθητές. Εάν απομακρυνθούν 4 μαθητές θα έχουμε:
60-4=56 --> 56:7=8 ομάδες.
Επαλήθευση:
60 μαθητές : 3 άτομα = 20 ομάδες των 3 ατόμων.
60 μαθητές : 4 άτομα = 15 ομάδες των 4 ατόμων.
60 μαθητές : 5 άτομα = 12 ομάδες των 5 ατόμων.
Α΄Λύση
60 μαθητές – 4 μαθητές = 56 μαθητές : 7 άτομα = 8 ομάδες των 7 ατόμων.
Β΄Λύση
480μαθητές-4μαθητές = 476μαθητές:7άτομα=68ομάδες των 7 ατόμων

Τα Αυγά

Μία χωρική πηγαίνει στην αγορά με δύο καλάθι γεμάτα αυγά, για να τα πουλήσει. Ο αριθμός αυτών των αυγών διαιρούμενος με τους αριθμούς:2,3,4,5 και 6 αφήνει πάντα ένα αυγό υπόλοιπο. Ενώ εάν αυτός ο αριθμός διαιρεθεί με το 7, δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο. Μπορείτε να βρείτε πόσα αυγά είχε η χωρική μέσα στο καλάθι της με τα κάτωθι δεδομένα;
α)Εάν είναι περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800. (Έχει δύο λύσεις.)

β)Εάν είναι περισσότερα από 200 και λιγότερα από 400. (Έχει μία λύση.)

(Κατ.5/Πρβλ. Νο.5)

Λύση

Α) Περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800.
Λύση Α΄
Είχε 721 αυγά. Από το τύπο, ν!=1*2*3*4*…*n, των μεταθέσεων έχουμε:
ν = Το πλήθος των όρων της σειράς.
ν! = Νι Παραγοντικό.
n =Οι φυσικοί αριθμοί:1,2,3,4……∞.
5! = 2*3*4*5*6=720+1*=721 αυγά.
* Αφορά το υπόλοιπο από την εκάστοτε διαίρεση με τους ανωτέρω αριθμούς.
Λύση Β΄
Ο αριθμός των αυγών πρέπει να είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερος από
έναν αριθμό που έχει κοινούς διαιρέτες τους αριθμούς 2,3,4,5 και 6.
Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι:
Ε.Κ.Π.= 22*3*5 = 60 --> Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 60 και να
διαιρείται από τον αριθμό 7. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 60 με τη
σειρά θα έχουμε:
60,120,180,240,300,360,420,480,540,600,660,720,780,840, κλπ.
Εάν προσθέσουμε στους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως,
που είναι η μονάδα, δηλαδή,
61,121,181,241,301,361,421,481,541,601,661,721,781,841, θα δούμε
ότι οι μόνοι αριθμοί που πληρούν τη συνθήκη,δηλαδή να διαιρούνται
με το 7 χωρίς ν’ αφήνουν υπόλοιπο, είναι: ο 301 και ο 721.Ο πρώτος
αποκλείεται λόγω του ότι τ’ αυγά ήταν περισσότερα από 700, όπως
αναφέρεται στην εκφώνηση του προβλήματος. Άρα ο ζητούμενος αριθμός
είναι ο δεύτερος που πληρεί τους όρους της συνθήκης.
Β) Περισσότερα από 200 και λιγότερα από 400.
Είχε 301 αυγά. Ο αριθμός των αυγών πρέπει να είναι κατά μία μονάδα
μεγαλύτερος από έναν αριθμό που έχει κοινούς διαιρέτες τους αριθμούς
2,3,4,5 και 6. Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι
το: Ε.Κ.Π.= 22*3*5 = 60 --> Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 60 και να
διαιρείται από τον αριθμό 7. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 60 με τη
σειρά θα έχουμε: 60,120,180,240,300,360,420, κλπ. Εάν προσθέσουμε
στους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως, που είναι η μονάδα,
δηλαδή, 61,121,181, 241,301,361, 421, θα δούμε ότι ο μόνος αριθμός που
πληρεί τη συνθήκη, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή να
διαιρείται με το 7 χωρίς ν’ αφήνει υπόλοιπο, είναι ο αριθμός 301.

Οι Συνδυασμοί

Με τους αριθμούς 1, 2, 3 και 4 μπορούμε να σχηματίσουμε τους αριθμούς 1234 ή 4321, αλλά και αρκετούς άλλους. Πόσους αριθμούς συνολικά μπορούμε να σχηματίσουμε χρησιμοποιώντας τους ανωτέρω τέσσερις αριθμούς;(Κατ.5/Πρβ. Νο.3)

Λύση

Σχηματίζουν συνολικά 24 διαφορετικούς αριθμούς που προκύπτουν από τη
σχέση:
ν! = 1*2*3*4*…*n, όπου ν = το πλήθος των όρων της σειράς και
ν! = το παραγοντικό σύμβολο. 4!=1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Οι Διαδοχικοί Αριθμοί

Το άθροισμα επτά αλληλοδιαδόχων αριθμών ισούται με 126. Ποιοι είναι οι διαδοχικοί αυτοί αριθμοί; Υπάρχουν τρεις τρόποι για να λυθεί το πρόβλημα. Να βρεθούν και οι τρεις τρόποι.(Κατ.3/Πρβ. Νο.3)

Λύση

Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α΄Τρόπος Λύσης
α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)+ (α+5)+(α+6)=126 (1)
α+α+1+α+2+α+3+α+4+α+5+α+6=126
7α+21=126 --> 7α=126-21 --> α=105/7 --> α=15 (2)
Αντικαθιστούμε την (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)+ (α+5)+(α+6)=126
15+(15+1)+(15+2)+ (15+3)+ (15+4)+ (15+5)+(15+6)=126
Άρα η σειρά είναι:15+16+17+18+19+20+21=126 ο.ε.δ.
β΄Τρόπος Λύσης
Βάσει του τύπου του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου Σο=[(α+τ)*ν]/2
έχουμε:
Σο= Συνολικό άθροισμα της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
τ = Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
Σο=[(α+τ)*ν]/2-->126=[(α+τ)*7]/2-->
(α+τ)=(126*2)/7=252/7-->(α+τ)=36-->α=(36-τ)(1)
και τ=(36-α)(2)
Από το τύπο τ =[α+[(ν-1)*ω]] της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε
το πρώτο και το τελευταίο αριθμό της αριθμητικής σειράς.
τ = Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν
όρο δια να δώσει τον επόμενο.
Αντικαθιστούμε τη (2) στον ανωτέρω τύπο όπου βρίσκουμε το πρώτο όρο
της αριθμητικής σειράς:
τ=[α+[(ν-1)*ω]]-->36-α=[α+[(7-1)*1]]-->36-α=α+6-->
36-6=α+α-->2α=30-->α=30/2-->α=15
Άρα η σειρά είναι 15+16+17+18+19+20+21=126 ο.ε.δ.
γ΄Τρόπος Λύσης
Διαιρούμε το συνολικό άθροισμα με το πλήθος των όρων της σειράς και το
πηλίκο μας δίνει το μεσαίο αριθμό της σειράς, δηλαδή 126:7=18.
Για να συμπληρώσουμε τη σειρά επιλέγουμε 3 αριθμούς προς τ’ αριστερά
κατά τη φθίνουσα σειρά και 3 αριθμούς προς τα δεξιά κατά την αύξουσα
σειρά κι έχουμε: 15+16+17+18+19+20+21 =126 ο.ε.δ.

Ένα Πρόβλημα Χρημάτων

Ο κ. Παπαδόπουλος  τηλεφωνεί στην κόρη του  την Μαρία και της ζητεί να του αγοράσει ορισμένα είδη που χρειάζεται για ένα ταξίδι. Την πληροφορεί ότι θα βρει τα χρήματα σε έναν φάκελο που βρίσκεται επάνω στο τραπέζι του γραφείου του. Η Μαρία πηγαίνει στο γραφείο και παίρνει το φάκελο που γράφει απ’ έξω 98. Μέσα υπάρχει ένας σωρός από χαρτονομίσματα και αρκετά κέρματα . Η Μαρία πηγαίνει σε ένα σουπερμάρκετ και αγοράζει πράγματα αξίας 90 ευρώ, αλλά όταν έρχεται η στιγμή να πληρώσει διαπιστώνει ότι όχι μόνο δεν της μένουν 8 ευρώ, αλλά και ότι τα χρήματα ούτε καν επαρκούν. Δεδομένου ότι ο αριθμός που υπήρχε το φάκελο όντως ανταποκρινόταν στο ποσό των χρημάτων που βρισκόταν  μέσα σε αυτόν, μπορείτε να  εξηγήσετε τι συνέβη. (Κατ.27/Πρβ. Νο.324)

Πηγή:  
http://mathhmagic.blogspot.com/2011/10/blog-post_05.html

Λύση

Στο φάκελο απ’ έξω έγραφε 86, αλλά η Μαρία διάβασε το αριθμό ανάποδα.
Ο αριθμός στο φάκελο όπως ήταν τοποθετημένος επάνω στο γραφείο
διαβαζόταν ως 98. Δεν τον άνοιξε για να επιβεβαιώσει το ποσόν, γι' αυτό
και είχε το έλλειμμα των 4€. Εάν στρέψουμε τον αριθμό 98 κατά 180
μοίρες προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού τότε θα διαβάσουμε τον
αριθμό 86.

Η Εξίσωση

Η ανωτέρω εξίσωση είναι προφανώς λανθασμένη. Μπορεί, όμως, να διορθωθεί με δύο μικρές αλλαγές. Ποιες είναι αυτές οι αλλαγές; (Κατ.27/Πρβ. Νο.323)

Την ιδέα του ανωτέρω γρίφου μου την έδωσε ο φίλος του ιστολογίου batman1986

Λύση

Υψώνουμε τους δύο παράγοντες του πρώτου μέλους της εξίσωσης στη μηδενική κι’
έχουμε:
25x25=1-->25^0x25^0=1-->1x1=1
25x25=1-->25x25^(-1)=1-->25x(1/25)=1 ο.ε.δ.

Η Αντιστοιχία

Οι αξία των τεσσάρων ζώων (πρόβατο, κόκορας, σπίνος, αγελάδα) σε ένα χωριό της Νάξου, δίνεται από τις ανωτέρω ισότητες (όπως φαίνεται στο σχήμα). Βρείτε ποια σχέση υπάρχει μεταξύ της Αγελάδας και του Σπίνου. (Κατ.9Α΄/Πρβ. Νο.10)

Πηγή: http://lisari.blogspot.com/2010/07/part-ii_11.html

Λύση

Η αξία της αγελάδας είναι ίση με 8 σπίνους. Έστω «α» το πρόβατο, «β»
ο κόκορας, «γ» ο σπίνος και «δ» η αγελάδα. Βάσει των δεδομένων της
εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α + β + γ = δ(1)
2β + γ = α(2)
2γ = β (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
2β + γ = α --> [(2*2γ) + γ] = α --> 4γ + γ = α --> α = 5γ(4)
Αντικαθιστούμε τη (3) και τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
α + β + γ = δ --> 5γ + 2γ + γ = δ --> δ = 8γ (5) …
Άρα από τ’ ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι:
α)Η αξία του προβάτου ισούται με 5 σπίνους.
β)Η αξία του κόκορα ισούται με 2 σπίνους
γ)Η αξία της αγελάδας ισούται με 8 σπίνους.
Επαλήθευση:
α+β+γ=δ-->5γ+2γ+γ=δ-->8γ=δ-->8σπίνοι=αγελάδα.
2β+γ=α-->[(2*2γ)+γ]=α-->4γ+γ=α-->5γ=α-->5σπίνοι=πρόβατο.
2γ=β-->2σπίνοι=κόκορας ο.ε.δ.

Ο Έμπορος

Ένας έμπορος μπαχαρικών  ανακάτεψε 350 κιλά πιπέρι Α΄ διαλογής, που του κόστισε 9,20€ το κιλό, με 450 κιλά πιπέρι Β΄ διαλογής, που του κόστισε 8,40€ το κιλό. Το μίγμα αυτό το πούλησε ως εξής:

• Τα 2/5 του μίγματος προς 12€ το κιλό.

• 180 κιλά του μίγματος προς 11€ το κιλό.

• Και το υπόλοιπο μίγμα προς 10,60€ το κιλό.

Να υπολογίσετε τα κάτωθι:

• Πόσο του κόστισε το κιλό το μίγμα;
• Πόσα χρήματα κέρδισε από την πώληση;
• Πόσο τοις εκάτό κέρδισε επί της τιμής του κόστους;
• Πόσο τοις εκατό κέρδισε επί της τιμής της πώλησης; 

(Κατ.34/Πρβ. Νο. 466)

Λύση

Α)Κόστος Μίγματος:
Α΄Διαλογή:350kg.*9,20€ = 3.220€
Β΄Διαλογή: 450Kg.*8,40€ = 3.780€
Σύνολο: 800Kg,*8,75€= 7.000€
Επομένως, το κάθε κιλό κόστισε :7.000/800= 8,75€
Β) Κέρδος:
α) Πώληση: 800Kg.*2/5=320Kg.*12€=3.840€
β)Πώληση:180Kg.*11€=1.980€
γ)Πώληση:(800Kg.-320Kg.-180Kg.)*10,60€=300Kg.*10,60€=3.180€
Σύνολο: 800Kg. *11,25 =9.000€
Συνολικό Κέρδος = Είσπραξη – Κόστος = 9.000€-7.000€=2.000 €.
Γ) Κέρδος τοις % επί της τιμής του κόστους:
Κατάταξη:
Στις 7.000€ κέρδισε 2.000€
στα 100€ κέρδισε x; €
x=(100*2.000)/7.000-->x=(100*2)/7-->x=200/7-->x=28.57%
Δ)Κέρδος τοις % επί της τιμής της πώλησης:
Κατάταξη:
Στις 9.000€ κέρδισε 2.000€
στα 100€ κέρδισε x; €
x=(100*2.000)/9.000-->x=(100*2)/9-->x=200/9-->x=22.22%

Ο Διψήφιος Αριθμός

 

Να βρεθεί ένας διψήφιος ακέραιος αριθμός, που να ισούται με το επταπλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων του. (Κατ.26/Πρβ. Νο.2)

Λύση

Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 21, 42, 63 και 84. Έστω "αβ" ο ζητούμενος διψήφιος αριθμός, ο οποίος παριστάνεται (10α+β). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
10α+β=7(α+β)--> 10α+β=7α+7β-->10α-7α=7β-β-->3α=6β--> α=6β/3-->α=2β
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο "β" τις τιμές από το 1 έως το 4, λόγω του ότι από 5 και άνω έχουμε τριψήφιους αριθμούς, βλέπουμε ότι το πρόβλημα έχει 4 λύσεις:
Με β = 1 --> α = 2β --> α = 2*1 --> α = 2
Με β= 2 --> α = 2β --> α = 2*2 --> α = 4
Με β = 3 --> α = 2β --> α = 2*3 --> α = 6
Με β = 4 --> α = 2β --> α = 2*4 --> α = 8
Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι: 21, 42, 63, 84, που αποτελούν
αριθμητική πρόοδο με λόγο τον αριθμό 21.

Ο Ελαιοπαραγωγός

Ένας ελαιοπαραγωγός συγκέντρωσε μια ποσότητα από ελιές, τις οποίες έδωσε στο ελαιοτριβείο για να τις μετατρέψει σε λάδι. Με το λάδι που πήρε από το ελαιοτριβείο γέμισε 5 βαρέλια των 148κιλών και 5 τενεκέδες των 17κιλών. Πόσα κιλά ελιές συγκέντρωσε και πόσα κιλά λάδι πήρε από το ελαιοτριβείο; (Κατ.34/Πρβ. Νο.465)

Δεδομένα:

Α)Τα 20,50κιλά ελιές παράγουν 5κιλά λάδι.

Β)Το ελαιοτριβείο ως αμοιβή κρατάει 2,50κιλά λάδι για κάθε 30κιλά λαδιού 
    που παράγει.  

Λύση

Συγκέντρωσε 3.382,50κιλά ελιές και παρέλαβε από το ελαιοτριβείο
756,25κιλά λάδι. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος:

α)Βρίσκουμε πόσα κιλά λάδι πήρε ο ελαιοπαραγωγός από το ελαιοτριβείο,
με τ’ οποίο γέμισε 5 βαρέλια των 148κιλών έκαστο και 5 τενεκέδες των
17κιλών έκαστο:
Βαρέλια: 5*148 = 740κιλά λάδι.
Τενεκέδες: 5*17 = 85κιλά λάδι.
Σύνολο: 825κιλά λάδι.
Για να συμπληρώσει την πόσότητα των 825κιλών λαδιού πρόσθεσε απο
απόθεμα που είχε 68,75κιλά λάδι, την αμοιβή του ελαιοτριβείου.

β)Βρίσκουμε πόσα κιλά ελιές μάζεψε ο ελαιοπαραγωγός:
Κατάταξη:
Τα 20,50κιλά ελιές παράγουν 5κιλά λάδι.
x; κιλά ελιές παράγουν 825κιλά λάδι.
x =(825*20,50)/5=16.912,50/5=3.382,50κιλά ελιές.

γ)Βρίσκουμε την αμοιβή που παίρνει το ελαιοτριβείο για τη παραγωγή
του λαδιού.
Κατάταξη:
Για κάθε 30κιλά λάδι που παράγει το ελαιοτριβείο αμείβεται με 2,50κιλά λάδι.
Για τα 825κιλά λάδι που παρήγαγε το ελαιοτριβείο με x;κιλά λάδι θ’ αμειφθεί.
x =(825*2,50)/30=2.062,50/30=68,75κιλά λάδι.
Ο ελαιοπαραγωγός παρέλαβε απο το ελαιοτριβείο 825-68,75 = 756,25κιλά λάδι.