Οι Ιππότες

Το ευτυχισμένο Βασίλειο του Γαλάζιου Πύργου είχε ένα πολύ καλό βασιλιά που του άρεσαν οι εξερευνήσεις. Ήθελε να μάθει τα πάντα για τη γύρω περιοχή. Έτσι διέταξε κάποιους ιππότες να πάνε να εξερευνήσουν τη γύρω περιοχή και να έρθουν να του πουν τι ανακάλυψαν. Αυτοί όμως δεν επέστρεψαν. Τη δεύτερη μέρα ο Βασιλιάς έστειλε τέσσερις ιππότες περισσότερους από όσους έστειλε την πρώτη μέρα. Κάθε μέρα ο Βασιλιάς έστελνε τέσσερις ιππότες περισσότερους από την προηγούμενη μέρα. Δεκαεννέα ιππότες έφυγαν από το κάστρο την πέμπτη μέρα. Πόσους συνολικά ιππότες έστειλε ο Βασιλιάς για να εξερευνήσουν τη γύρω περιοχή; (Κατ.34/Νο.794)

Πηγή:θεματα ε' δημοτικου 2000 - 2009

Λύση

Λύση του Μαθηματικού Αθανάσιου Δρούγα. Αντίστροφα,από την 5η προς την 1η μέρα: 19+15+11+7+3=55 Ιππότες.

Χριστούγεννα 2014!!

Η Ιστοσελίδα του Papaveri εύχεται σε όλους τους φίλους της

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!

Και

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!

Η Περίμετρος

Το ανωτέρω άστρο, ή εξάγραμμα, ή άστρο του Δαβίδ, ΑΒΓΔΕΣΤ, κατασκευάστηκε από τις προεκτάσεις ενός κανονικού εξαγώνου, αβγδεστ, (δείτε, κόκκινες γραμμές). Εάν η περίμετρος του άστρου είναι 96cm, πόση είναι η περίμετρος του εξαγώνου; (Κατ.34/Νο.782)
Πηγή:θεματα ε' δημοτικου 2000 - 2009

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Τα τρίγωνα αΑβ, βΒγ,...,στΣΤα (έξι τρίγωνα) είναι ίσα μεταξύ τους και ισόπλευρα. Αν α η πλευρά τους τότε η περίμετρος του άστρου είναι: Π(α)=6*2*α=12α [6(τρίγωνα)*2(πλευρές κάθε τριγώνου που είναι στην περίμετρο του άστρου) *α] άρα Π(α)=96 ---> 12α=96 ---> α=96/12 ---> α=8εκ. Η περίμετρος του κανονικού εξαγώνου είναι: Π(ε)=6α ---> Π(ε)=6*8 ---> Π(ε)=48εκ. Ή κατευθείαν: Π(ε)=(Π(α)*6α)/12α ---> Π(ε)=(96*6α)/12α ---> Π(ε)=(96*6)/12 ---> Π(ε)=96/2 --->Π(ε)=48εκ.

Rebus No.235 (1,10,3,5)

Δύο λύσεις.

Λύση

α)Η Προσκύνηση των Μάγων. β)Η οικογένεια του Ιησού.

Η Ισότητα

Η ανωτέρω παράσταση ισούται με 6 ή με 8; (Κατ.27/Νο.438)

Λύση

Και τα δύο αποτελέσματα είναι σωστά. Εξαρτάται από το που θα τοποθετηθούν οι παρενθέσεις. 2+(2*2)=2+4=6 και (2+2)*2=4*2=8

Τα Χωνάκια

Τα χωνάκια σοκολάτας που πουλήθηκαν σε ένα κατάστημα ήταν ένα παραπάνω από τον τριπλάσιο αριθμό από τα χωνάκια βανίλια που πουλήθηκαν. Συνολικά το κατάστημα πούλησε 601 χωνάκια. Πόσα χωνάκια βανίλια πουλήθηκαν; (Κατ.34/Νο.775) Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/blog-post_5019.html

Λύση

Πουλήθηκαν 150 χωνάκια βανίλιας. Έστω "α" τα χωνάκια σοκολάτας και "β" τα χωνάκια βανίλιας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους. α+β=601 (1) α=3β+1 (2) Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι' έχουμε: α+β=601 --> 3β+1+β=601 --> 4β=601-1 --> 4β=400 --> β=600/4 --> β=150 (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι' έχουμε: α=3β+1 --> α=[(3*150)+1] --> α=450+1 --> α=451 (4) Επαλήθευση: α+β=601 --> 451+150=601 ο.ε.δ.

Ο Αριθμός

Μία εφημερίδα έχει 48 σελίδες και αποτελείται από μεγάλα φύλλα των 4 σελίδων, τοποθετημένα το ένα πάνω στο άλλο και διπλωμένα στο μέσο τους. Η μία σελίδα, από τις 4, κάποιου φύλλου έχει τον αριθμό 16. Ποιον αριθμό έχει η άλλη σελίδα στην ίδια όψη του φύλλου αυτού; 
(Κατ.27/Νο.435)
Σχόλιο:  Επειδή βλέπω ότι δεν το έλυσε κανένας ακόμα. Να βοηθήσω λίγο στη λύση του. Έχει κάποια σχέση με το σκεπτικό του  Johann Carl Friedrich Gauss, τον Πρίγκιπα των μαθηματικών όπως τον αποκάλεσαν, όταν έλυσε ένα πρόβλημα που τους έβαλε ο δάσκαλός τους σε ηλικία 9 ετών. Ελπίζω να βοήθησα αρκετά.

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Μία παροιμία λέει: «Τον λύκο τον βλέπεις, ψάχνεις για ντορό.»* Εδώ ο "λύκος" είναι η εφημερίδα! Κοιτάζοντας όποιαδήποτε εφημερίδα βλέπουμε στην πρώτη σελίδα τον αριθμό 1 και στην τελευταία τον αριθμό 4, 8, 12, 4ν, όπου ν=1,2,3,... Στην δεύτερη σελίδα τον αριμθμό 2 και στην προτελευταία σελίδα τον αριθμό (4ν-1), μετά στην τρίτη σελίδα τον αριθμό 3 και στην προ-προτελευταία σελίδα τον αριθμό (4ν-2),... κ.ο.κ. Συνολικό άθροισμα: Σ(ο)= 1+4ν ---> Σ(ο)= 1+4*12 ---> Σ(ο)= 1+48 ---> Σ(ο)= 49 Στην περίπτωση μας: x+16= Σ(ο) ---> x+16 =48 ---> x=48-16 ---> x=33 ). Λύση του συντάκτη. Στην ίδια πλευρά (όψη) του φύλλου που βρίσκεται η σελίδα 16 βρίσκεται και η σελίδα 33. Η πρώτη και η τελευταία σελίδα της εφημερίδας είναι τυπωμένες στην ίδια όψη του ίδιου φύλλου. Για παράδειγμα, στο 1ο φύλλο στη μια όψη βρίσκονται οι σελίδες (1,48) και στην άλλη όψη του φύλλου βρίσκονται οι σελίδες (2,47) . Στο 2ο φύλλο βρίσκονται στη μια όψη οι σελίδες (3,46) και στην άλλη όψη του φύλλου βρίσκονται οι σελίδες (4,45) κ.ο.κ.ε. Βλέπουμε ότι το άθροισμα των σελίδων που βρίσκονται στην ίδια όψη κάθε φύλλου είναι 49. Ισχύει ότι: x+16=1+48 ---> x+16=49 49 ---> x=49 -16 ---> x=33

Ο Αριθμός

Ενός διψήφιου αριθμού τα ψηφία εάν πολλαπλασιασθούν μεταξύ τους μας δίνουν ως αποτέλεσμα το 1/2 του αρχικού αριθμού πλην 1. Ποιος είναι αυτός ο διψήφιος αριθμός; (Κατ.26/Νο.15)

Λύση

Έστω «αβ» ο ζητούμενος διψήφιος αριθμός, ο οποίος παριστάνεται (10α+β). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε: αβ =[(10α+β)/2 – 1] ---> 2αβ = 10α + β – 2*1 ---> 2αβ = 10α + β – 2 ---> 2αβ – 10α = β – 2 ---> 2α(β – 5) = β – 2 --->α = (β-2)/2*(β-5)(1) Διερεύνηση: Δίνοντας στο "β" τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που δίνουν ακέραιο "α" είναι οι αριθμοί 6 και 8. Αντικαθιστούμε τις τιμές του "β" στην (1) κι’ έχουμε: α)α = (β-2)/2*(β-5) ---> α = (6-2)/2*(6-5) ---> α = 4/2*1 ---> α = 4/2 ---> α = 2 β)α = (β-2)/2*(β-5) ---> α = (8-2)/2*(8-5) ---> α = 6/2*3 ---> α = 6/6 ---> α = 1 Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 18 και 26. Επαλήθευση: α)αβ =[(10α+β)/2 – 1] ---> 2*6=[[(10*2)+6]/2-1] ---> 12=[(20+6)/2-1] ---> 12=[(26/2)-1] ---> 12=13-1 β)αβ =[(10α+β)/2 – 1] ---> 1*8=[[(10*1)+8]/2-1] ---> 8=[(10+8)/2-1] ---> 8=[(18/2)-1] ---> 8=9-1 ο.ε.δ.

Η Τιμή

Εάν:

Να βρεθεί η τιμή του «x». (Κατ.34/Νο.768)

Διαβάστε περισσότερα »

Η Αγορά

Η Άννα και ο Κώστας αγόρασαν από ένα βιβλιοπωλείο μερικά βιβλία και πλήρωσαν 36€. Η Άννα πλήρωσε το 1/3 του ποσού και ο Κώστας το υπόλοιπο ποσό.

α) Πόσα ευρώ πλήρωσε καθένας;

β) Το ποσό που πλήρωσε ο Κώστας αντιστοιχούσε στα 3/7 των χρημάτων που είχε στο πορτοφόλι του. Πόσα ευρώ του έμειναν; (Κατ.34/No.767)

Λύση

α)Η Άννα πλήρωσε 12€ και ο Κώστας πλήρωσε 24€. β)Στο πορτοφόλι του Κώστα έμειναν 32€. Η Άννα πλήρωσε το 1/3 του ποσού, άρα πλήρωσε: (1/3)*36 =36/3= 12€. Ο Κώστας πλήρωσε τα υπόλοιπα, άρα πλήρωσε: 36€−12€=24€. Τα 24€ που πλήρωσε ο Κώστας αντιστοιχούν στα 3/7 από αυτά που είχε στο πορτοφόλι του, άρα στο πορτοφόλι του αρχικά είχε: 24/(3/7) = (24*7)/3) = 168/3= 56€. Και του έμειναν: 56€−24€=32€.

Ο Θαυματουργός Θάμνος

Μια ημέρα ένας χωρικός, που έκανε τη συνηθισμένη του βόλτα στο δάσος,
συνάντησε έναν παράξενο γέρο κι’ έπιασαν κουβέντα. Μετά από λίγη ώρα ο γέρος, ο οποίος ήταν έξυπνος, θέλοντας να εκμεταλλευτεί την αγαθοσύνη του χωρικού για να εξοικονομήσει μερικά χρήματα, λέει στο χωρικό:

-«Μέσα στο δάσος υπάρχει ένας μικρός θαυματουργός θάμνος που βοηθάει όσους ανθρώπους έχουν ανάγκη.»

-«Αλήθεια;», ρωτάει ο αγαθός χωρικός με λαχτάρα. «Και πως τους βοηθάει; Τους θεραπεύει από ασθένειες;»

-«Όχι ακριβώς. Διπλασιάζει τα χρήματά τους. Κρύβεις το πορτοφόλι σου μέσα στο θάμνο, μετράς έως το 100, και – ώ του θαύματος – τα χρήματα που βρίσκονται μέσα στο πορτοφόλι διπλασιάζονται. Είναι πραγματικά ένας θαυματουργός θάμνος.»

-«Μπορώ να δοκιμάσω κι’ εγώ;», ρωτάει με λαχτάρα ο αγαθός χωρικός.

-«Βεβαίως.», του απαντάει ο γέρος. «Πρέπει όμως να πληρώσεις πρώτα.»

-«Ποιον να πληρώσω και πόσα;», ρωτάει ο αγαθός χωρικός.

-«Τον άνθρωπο που θα σε οδηγήσει στο θάμνο. Δηλαδή εμένα. Όσο για το πόσα

θα πληρώσεις, αυτό είναι ένα άλλο ζήτημα.»

Μετά από πολλές διαπραγματεύσεις κατέληξαν να πληρώνει ο χωρικός τον γέρο 1,20 δρχ. μετά από κάθε διπλασιασμό των χρημάτων.

Μετά από πορεία αρκετών ωρών ο γέρος οδήγησε τον χωρικό στον θαυματουργό θάμνο.Ο γέρος πήρε το πορτοφόλι του χωρικού και το τοποθέτησε μέσα στο θάμνο.Αφού ο χωρικός μέτρησε έως το 100 , ο γέρος πήρε το πορτοφόλι από το θάμνο και  το επέστρεψε στο χωρικό. Εκείνος το άνοιξε και να! Τα χρήματα είχαν πράγματι  διπλασιασθεί. Μετά από το απροσδόκητο αυτό γεγονός ο χωρικός πλήρωσε στο γέρο την αμοιβή που
είχαν συμφωνήσει, 1,20 δρχ.Η διαδικασία αυτή επαναλήφθηκε άλλες δύο φορές πληρώνοντας ο χωρικός στον γέρο από 1,20 δρχ. τη φορά. Μετά την τρίτη πληρωμή το πορτοφόλι του χωρικού άδειασε από τα χρήματα που είχε κατά την διαδικασία του διπλασιασμού. Ο χωρικός μη μπορώντας να διπλασιάσει εκ νέου τα χρήματά του πήρε το δρόμο της επιστροφής για το σπίτι του αμίλητος και σκυθρωπός, αναλογιζόμενος την ατυχία του και την ανοησία του να πιστέψει ότι μπορούσε  να κερδίσει εύκολα χρήματα.

Μπορείτε να βρείτε πόσα χρήματα είχε στην αρχή μέσα στο πορτοφόλι του ο χωρικός; (Κατ.34/Νο.345)

Διαβάστε περισσότερα »

Οι Διψήφιοι Αριθμοί

Να βρείτε όλους τους διψήφιους αριθμούς, ώστε το γινόμενο του διψήφιου αριθμού με το άθροισμα των ψηφίων του διψήφιου αριθμόυ ν’ αποτελεί δύναμη φυσικού αριθμού.(Κατ.34/Νο.762)

Πηγή:Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Επαρχιακός Μαθηματικός Διαγωνισμός (Νοέμβριος 2013)

Διαβάστε περισσότερα »

Η Χοροεσπερίδα

Ο αριθμός των ατόμων που χόρεψαν σε μία χοροεσπερίδα με περιττό πλήθος ατόμων, είναι άρτιος ή περιττός αριθμός; (Κατ.34/Νο.761)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_8779.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω Α ο αριθμός όλων των χορών, που χόρεψαν όλοι. Έστω ν οι χορευτές και {α1,α2,α3,...,αν} οι χοροί των ν χορευτών. α)Το Α είναι άρτιος αριθμός, καθώς σε κάθε χορό συμμετέχουν 2 χορευτές. β)α1+α2+α3+..+αν=Α(=άρτιος αριθμός). Επειδή οι α1,α2,α3,...,αν είναι όλοι περιττοί αριθμοί, για να έχουν άρτιο άθροισμα πρέπει το πλήθος τους να είναι άρτιο, άρα ν (=πλήθος χορευτών) άρτιος αριθμός.

Η Τιμή

Ένα βιβλίο μαθηματικών κυκλοφορεί σε 2 τόμους «Α» και «Β». Εκατό αντίτυπα του τόμου «Α» και 120 αντίτυπα του τόμου «Β» κοστίζουν συνολικά 4.000 ευρώ. Ένα βιβλιοπωλείο πούλησε 50 αντίτυπα του τόμου «Α» με έκπτωση 10% και 60 αντίτυπα του τόμου «Β» με έκπτωση 20% και εισέπραξε συνολικά 1680 ευρώ. Να προσδιορίσετε την τιμή πώλησης του ενός βιβλίου από κάθε τόμο. (Κατ.34/Νο.758)

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0B9uh0VymSVrpeXpsaVdNdjRGVlE/view

Λύση

Η τιμή πώλησης του τόμου «Α» ήταν 16€ και η τιμή πώλησης του τόμου «Β» ήταν 20€. Έστω «x» η τιμή πώλησης του τόμου «Α» και «y» η τιμή πώλησης του τόμου «Β». Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος προκύπτουν οι εξής δύο εξισώσεις προς επίλυση: 100x+120y=4.000 (1)και 50x-(50x*10/100)+60y-(60y*20/100)=1.680 (2) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της (1) με τον αριθμό 20 κι’ έχουμε: 100x+120y=4.000 ---> 100x/20+120y/20=4.000/20 ---> 5x+6y=200 (3) Από την (2) συνάγουμε ότι: 50x-(50x*10/100)+60y-(60y*20/100)=1.680 ---> 50x-5x+60y-12y=1.680 ---> 45x+48y=1.680 (4) Προσθέτουμε κατά μέλη τις (3) και (4) κι’ έχουμε: 5x+6y=200 και 45x+48y=1.680 50x+54y=1.880 ---> 50x=1.880-54y ---> x=(1.880-54y)/50 (5) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός 20 Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στη (5) κι’ έχουμε: x=(1.880-54y)/50 ---> x=(1.880-54*20)/50 ---> x=(1.880-1.080)/50 ---> x=800/50 ---> x=16 Επαλήθευση: 100x+120y=4.000 ---> (100*16)+(120*20)=4.000 ---> 1.600+2.400=4.000 50x-(50x*10/100)+60y-(60y*20/100)=1.680 ---> [(50*16)-(50*16*0,1)+(60*20)-(60*20*0,2)=1.680 ---> [800-(800*0,1)+1.200-(1.200*0,2)]=1.680 ---> 800-80+1.200-240=1.680 ---> 720+960=1.680 ο.ε.δ.

Η Αγορά

Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο παλαιά ραδιόφωνα «Α» κα «Β» αντί 200 ευρώ και στη συνέχεια τα πούλησε με συνολικό κέρδος 40% πάνω στην τιμή της αγοράς τους. Αν το ραδιόφωνο «Α» πουλήθηκε με κέρδος 25% και το ραδιόφωνο «Β» πουλήθηκε με κέρδος 50%, πάνω στην τιμή της αγοράς τους. Να βρείτε πόσο πλήρωσε ο έμπορος για να αγοράσει το καθένα από τα ραδιόφωνα «Α» και «Β».(Κατ.34/Νο.754)
Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0B9uh0VymSVrpeXpsaVdNdjRGVlE/view

Λύση

Ο έμπορος για ν’ αγοράσει το ραδιόφωνο «Α» πλήρωσε 80€ και για ν’ αγοράσει το ραδιόφωνο «Β» πλήρωσε 120€. Έστω ότι ο έμπορος αγόρασε «x»€ το ραδιόφωνο «Α». Τότε η τιμή αγοράς του ραδιόφωνου «Β» ήταν (200-x)€. Το ραδιόφωνο «Α» πουλήθηκε: x+(25x)/100=(100x+25x)/100=[(125x)/100]€ Ενώ το ραδιόφωνο «Β» πουλήθηκε: [(200-x)*150/100]€. Συνολικά τα δύο ραδιόφωνα πουλήθηκαν: 200*140/100=2*140= 280€ Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτει η εξίσωση (125x)/100+(200-x)*150/100=200*140/100 ---> 1,25x+(200-x)*1,50=2*140 ---> 1,25x+300-1,50x=280 ---> -0,25x=-300+280 ---> -0,25x= -20 ---> x= -20/-0,25 ---> x=80€ Άρα ο έμπορος αγόρασε 80€ το ραδιόφωνο «Α». Και το ραδιόφωνο «Β» το αγόρασε: 200-80 =120€

Ο Γρίφος του Μοναστηριού του Αγίου Εδμόνδου

-«Το μοναστήρι του Άγιου  Εδμόνδου πριν από πολλά χρόνια...», διηγείται ο πατήρ Πέτρος στον πατήρ Παύλο, «...κατακλύστηκε από ποντίκια. Οι χώροι του μοναστηριού γέμισαν από τρωκτικά και ο ηγούμενος του μοναστηριού έπρεπε να αντιμετωπίσει το πρόβλημα. Έδωσε οδηγίες στους μοναχούς να συγκεντρώσουν στο μοναστήρι όλες τις γάτες από τις γύρω περιοχές. Έτσι και έγινε, οι γάτες κυνήγησαν και εξολόθρευσαν όλα τα ποντίκια.»

 Ο  πατήρ Πέτρος συνέχισε:

-«Δεν θυμάμαι πόσες γάτες  έφεραν στο μοναστήρι,θυμάμαι όμως πολύ καλά, ότι κάθε γάτα σκότωσε τον ίδιο αριθμό ποντικών και συνολικά εξολοθρεύτηκαν 1.111.111 ποντίκια.»

-«Μα, είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε πόσες γάτες συγκεντρώθηκαν στο μοναστήρι.», ε ίπε ο Πατήρ Πέτρος, που πριν εγκαταλείψει τα εγκόσμια ασκούσε το επάγγελμα του μαθηματικού.

Πόσες ήταν οι γάτες; (Κατ.34.Νο.753)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/02/blog-post_21.html

Λύση

Το πρόβλημα διαπραγματεύεται το θέμα των επαναληπτικών μοναδοαριθμών (repunits). Επαναληπτικός μοναδοαριθμός(repunit)ονομάζεται ο αριθμός που κάθε ψηφίο του είναι μονάδα. Για παράδειγμα οι αριθμοί 1,11,111,1.111, κ.ο.κ . Η λέξη repunit είναι νεολογισμός που σχηματίστηκε από την σύντμηση των λέξεων repeated unit, (επαναλαμβανόμενη μονάδα). Τους συγκεκριμένους αριθμούς του συμβολίζουμε Rn, με το n να εκφράζει το πλήθος των μονάδων. Οι μόνοι γνωστοί πρώτοι αριθμοί αυτού του είδους είναι R2, R19, R23, R317, R1031, R49081, R86453, R109297, R270343.Υπάρχουν άλλοι; Υπάρχουν άπειροι επαναληπτικοί μοναδοαριθμοί; Δεν το γνωρίζουμε. Οι επαναληπτικοί μοναδοαριθμοί είναι συχνό θέμα στα ψυχαγωγικά μαθηματικά , όπως στο συγκεκριμένο πρόβλημα του Άγγλου μαθηματικού και διακεκριμένου εμπνευστή γρίφων H.E. Dudeney (1857-1930). Ο αριθμός αναλύεται μοναδικά σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: 1.111.111=239*4.649 Άρα έχουμε: 239 γάτες που κάθε μία σκότωσε 4.649 ποντίκια. Ή 4.649 γάτες που η κάθε μια σκότωσε 239 ποντίκια.

Οι Διαδρομές

Στην μακρινή χώρα της Λοξολάνδης, οι πόλεις «Α», «Β», και «Γ» συνδέονται μεταξύ τους με το οδικό δίκτυο της χώρας. Γνωρίζουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας δρόμος (μπορεί να είναι και περισσότεροι) που να συνδέει άμεσα κάθε ζεύγος των τριών πόλεων. Για παράδειγμα, εάν κάποιος ταξιδιώτης θέλει να μεταβεί από την πόλη «Α» στην πόλη «Β» μπορεί να πάρει κάποιο δρόμο που συνδέει άμεσα τις δυο πόλεις ή να  χρησιμοποιήσει σαν ενδιάμεσο σταθμό την πόλη «Γ». Ανάλογη διαδικασία προβλέπεται για την μετάβαση από οποιαδήποτε από τις τρεις πόλεις με προορισμό τις άλλες δυο πόλεις. Το υπουργείο μεταφορών της Λοξολανδης υπολόγισε ότι ο αριθμός των συνολικών διαδρομών από την πόλη «Α» στην πόλη «Β» είναι 33. Συμπεριλαμβανομενων και των διαδρομών με ενδιάμεσο σταθμό την πόλη «Γ». Ανάλογα, ο αριθμός των συνολικών διαδρομών από την πόλη «Β» στην πόλη «Γ» είναι 23, επισης συμπεριλαμβανόμενων των διαδρομών με ενδιάμεσο σταθμό την πόλη «Α». Να υπολογίσετε το συνολικό αριθμό των διαδρομών από την πόλη «Α» στην πόλη «Γ». ( συμπεριλαμβανόμενων και των διαδρομών με ενδιάμεσο σταθμό την πόλη «Β»).  (Κατ.34/Νο.750)

Πηγη: http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/08/blog-post_25.html

Λύση

-Έστω «x» το πλήθος των διαδρομών που συνδέουν άμεσα (δεν διέρχονται από την πόλη «Γ») τις πόλεις «Α» και «Β». -Έστω «y» το πλήθος των διαδρομών που συνδέουν άμεσα (δεν διέρχονται από την πόλη «A») τις πόλεις «Β» και «Γ». -Έστω «z» το πλήθος των διαδρομών που συνδέουν άμεσα (δεν διέρχονται από την πόλη «B») τις πόλεις «A» και «Γ». Αν «y» δρόμοι συνδέουν την πόλη «Β» με την πόλη «Γ» και «z» δρόμοι την πόλη «Γ» με την πόλη «Α» τότε μεταβαίνουμε έμμεσα (διερχόμενοι από την πόλη «Γ» ) από την πόλη «Β» στην πόλη «Α» από yz διαφορετικές διαδρομές. Έχουμε λοιπόν τις παρακάτω αλγεβρικές σχέσεις: x+yz=33 (1), y+xz=23 (2). Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις (1) και (2) και παραγοντοποιήσουμε λαμβάνουμε: x+y+yz+xz=56 ---> (x+xz)+(y+yz)=56 ---> x(z+1)+y(z+1) ---> (x+y)(z+1)=56 (3) Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις (1) και (2) και παραγοντοποιήσουμε λαμβάνουμε: (x+yz)-(y+xz)=33-23 ---> x+yz-y-xz=10 ---> (yz-y)-(xz-x)=10 ---> y(z-1)-x(z-1)=10 ---> (y-x)(z-1)=10 (4) O z είναι θετικός ακέραιος διαφορετικός του μηδέν. Από την σχέση (3) προκύπτει ότι ο (z+1) είναι διαιρέτης του 56. Από την σχέση (4) προκύπτει ότι ο (z-1) είναι διαιρέτης του 10. Οι μοναδικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις παραπάνω είναι z=3 ή z=6. Για z=3 οι τιμές x, και y προκύπτουν δεκαδικοί αριθμοί, άρα η τιμή απορρίπτεται. Για z=6 τότε έχουμε x=3, και y=5. Οπότε οι συνολικές διαδρομές από την πόλη «Α» στην πόλη «Γ» είναι:6+3*5=6+15=21.

Οι Λίθοι

Ο Νίκος και ο Τάσος είναι δυο ευυπόληπτοι κλέφτες πολύτιμων λίθων. Ο  Νίκος  έβαλε σε ένα σακουλάκι  35 διαμάντια, 38 μαργαριτάρια και  39 σμαράγδια και στην συνέχεια  τα έκρυψε- όπως νόμιζε- από το Τάσο σε ένα ντουλάπι .Ο Τάσος, όμως, κάθε τρεις ημέρες έπαιρνε από το σακουλάκι δυο πολύτιμους λίθους διαφορετικού είδους και στην θέση τους έβαζε ένα πολύτιμο λίθο διαφορετικό από το ζεύγος που πήρε. Για παράδειγμα, αν έπαιρνε 1 διαμάντι και 1 μαργαριτάρι θα έβαζε στην θέση τους 1 σμαράγδι. Υστέρα από κάποιο χρονικό διάστημα ο Νίκος πήρε το σακουλάκι ,το άνοιξε και διαπίστωσε με έκπληξη ότι περιείχε πολύτιμους λίθους του ίδιου είδους.Τι περιείχε το σακούλι,διαμάντια, σμαράγδια ή μαργαριτάρια;

Διευκρίνιση:

Ο Τάσος είχε δικό του απόθεμα από πολύτιμους λίθους και μπορούσε να κάνει τις αντικαταστάσεις που αναφέρονται. (Κατ.27/Νο.426)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/05/blog-post_11.html

Λύση

Έστω Δ το πλήθος των διαμαντιών, Μ το πλήθος των μαργαριταριών, και Σ το πλήθος των σμαραγδιών τότε από την υπόθεση θα ισχύει: Δ+Μ=73, Δ+Σ=74, Μ+Σ=77. Κάθε φορά που ο Τάσος κλέβει δυο διαφορετικούς πολύτιμους λίθους και τον αντικαθιστά με ένα τρίτο ,ένα από τα αθροίσματα θα ελαττώνεται κατά 2 και τα άλλα δυο αθροίσματα θα παραμένουν αμετάβλητα. Όταν ο Τάσος θα ανοίξει το σακουλάκι, ένα από τα 3 αθροίσματα θα έχει μηδενιστεί .Το μοναδικό άθροισμα από τα τρία που μπορεί να μηδενιστεί ελαττωμένο κατά 2 είναι το Δ+Σ=74 οπότε θα μείνουν στο σακουλάκι μόνο μαργαριτάρια.

Η Εξίσωση

Στην ανωτέρω εξίσωση ν’ αντικατασταθούν τα γράμματα με αριθμούς. Στα ίδια γράμματα  αντιστοιχούν ίδιοι αριθμοί και στα διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικοί αριθμοί. (Κατ.34/Νο.748)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/01/blog-post_29.html

Λύση

Έστω ΝΑ=κ. Τότε η σχέση (ΝΑ)^2=ΕΝΑ γίνεται: (ΝΑ)^2=ΕΝΑ ---> κ^2=100μ+κ, (με 1 μικρότερο ή ίσο με "μ" μικρότερο ή ίσο με 9 ή ισοδύναμα) κ^2-κ=100μ ή κ(κ-1)=100μ (1) Ο αριθμός [κ(κ-1)] είναι τριψήφιος που λήγει σε δυο μηδενικά και μάλιστα είναι γινόμενο δυο διαδοχικών θετικών ακεραίων πρώτων μεταξύ τους .Από την σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι ο ένας από τους δυο αριθμούς (ο "κ" ή ο «κ-1») διαιρείται με το 4 και ο άλλος με το 25. Αν ο «κ» ή ο (κ-1) ισούται με το 25θ, θ μεγαλύτερ ή ισο με 2, τότε θ μεγαλύτερ ή ισο με 2, ή 25θ μεγαλύτερ ή ισο με 50 και το γινόμενο κ*(κ-1) μεγαλύτερ ή ισο με 50* 49=2.450 που έχει περισσότερα από τρία ψηφία. Άρα μένουν δυο περιπτώσεις : α)κ-1 =25 και κ=26 ( που όμως δεν διαιρείται με το 4 ),άρα απορρίπτεται. β)κ=25 και κ-1=24 που μας δίνουν την μοναδική λύση 252=625 Ή Διερεύνηση: κ(κ-1)=100μ ---> μ=[κ*(κ-1)]/100 (1) Από την ανωτέρω εξίσωση βλέπουμε ότι κ/100=t πρέπει να είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "κ" τις τιμές από το 1 έως το N, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "μ" είναι ο αριθμός κ=25 (2) Αντικαθιστούμε τη τιμή του «κ» στην (1) κι’ έχουμε: μ=[κ*(κ-1)]/100 ---> μ=[25*(25-1)]/100 ---> μ=(25*24)/100 ---> μ=600/100 ---> μ=6 (3) Επαλήθευση: (ΝΑ)^2=ΕΝΑ ---> κ^2=100μ+κ ---> 25^2=[(100*6)+25] ---> 625=600+25 Άρα (ΝΑ)^2=ΕΝΑ ---> 25^2=625 Αν "κ" μεγαλύτερο του 25, δίνει τιμή του «μ» διψήφιο αριθμό, οπότε απορρίπτεται, λόγω του ότι ο αριθμός στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι τριψήφιος και όχι τετραψήφιος.. Λύση του Ε. Αλεξίου. 10 μικρότερο του NA μικρότερο του 1.000^0.5=31,62... Α=1 ή 5 ή 6 και εύκολα βρίσκουμε 25^2=625 Λύση του halb Wesen halb Ding. Δεν είμαι σίγουρος οτι ό τρόπος που σκέφτηκα είναι ο βέλτιστος, αλλά πάει κάπως έτσι: Το Α=0 αποκλείεται γιατί θα είχαμε αποτέλεσμα σε 2 μηδενικά. Το Α=1 αποκλείεται γιατί το ψηφίο των δεκάδων του τετραγώνου θα προκύψει από το διπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων της βάσης. Το Α=6 αποκλείεται γιατί το ψηφίο των δεκάδων του τετραγώνου θα προκύψει από το διπλάσιο + 3 του ψηφίου των δεκάδων της βάσης. Εδώ βέβαια μας κάνει το 7, αλλά το αποτέλεσμα θα είναι τετραψήφιος. Έτσι μένουν οι διψήφιοι σε 5 και αφού κάθε τετράγωνό τους τελειώνει σε 25, καταλήγουμε σε αυτόν, δηλ 25^2 = 625.

Μία Πυθαγόρεια Τριάδα!!!

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη  κάθετων πλευρών:  ΑΒ= (30α+40β) cm και ΑΓ=(40α+30β) cm  και το μήκος της υποτείνουσας ΒΓ: ΒΓ=(50α+κβ) cm , όπου α, β, κ, είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Να βρεθεί η μικρότερη  τριάδα τιμών (α, β, κ) που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες. (Κατ.34/Νο.747) 

Από σειρά μαθημάτων προετοιμασίας για μαθηματικούς διαγωνισμούς.

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/11/blog-post_7708.html

Λύση

Οι μικρότερη τριάδα για τα α, β, και κ είναι 99, 100, και 49 αντίστοιχα. Βάσει του τύπου α^2+β^2=γ^2 του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε: (30α+40β)^2+(40α+30β)^2=(50α+κβ)^2 ---> 30^2*(α^2)+2*30*40αβ+40^2*(β^2)+40^2*(α^2)+2*40*30αβ+30^2*(β^2)= 50^2*(α^2)+2*50ακβ+(κ^2)*(β^2) ---> 900α^2+2.400αβ+1.600β^2+1.600α^2+2.4000αβ+900β^2=2.500α^2+100ακβ+(κ^2)*(β^2) ---> 2.500α^2+4.800αβ+2.500β^2=2.500α^2+100ακβ+(κ^2)*(β^2) ---> 2.500α^2-2.500α^2+4.800αβ+2.500β^2=100ακβ+(κ^2)*(β2) ---> 4.800αβ+2.500β^2=100ακβ+(κ^2)*(β^2)(1) Όμως β μεγαλύτερο του 0, άρα μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της (1) με το «β» κι’ έχουμε: 4.800αβ+2.500β^2=100ακβ+(κ^2)*(β^2) ---> 4.800αβ/β+2.500β^2/β=100ακβ/β+(κ^2)*(β^2)/β ---> 4.800α+2.500β=100ακ+(κ^2)*β ---> 2.500β-(κ^2)*β=100ακ-4.800α ---> β*(2.500-κ^2)=100α*(κ-48) ---> β*(502-κ^2)=100α*(κ-48) ---> β*(50-κ)*(50+κ)=100α*(κ-48) (2) Από τη (2) προκύπτει ότι οι όροι (κ-48) και (50-κ) είναι ομόσημοι (α, β, κ>0), οπότε έχουμε: 50-κ μικρότερο του 0 ---> 50 μικρότερο του κ --> άτοπο. κ-48 μικρότερο του 0 ---> κ μικρότερο του 48 ---> άτοπο 50-κ μεγαλύτερο του 0 ---> 50 μεγαλύτερο του κ ---> δεκτό κ-48 μεγαλύτερο του 0 ---> κ μεγαλύτερο του 48 ---> δεκτό Άρα, 50 μεγαλύτερο του κ μεγαλύτερο του 48 ---> κ=49 (3) (όπου «κ» θετικός ακέραιος αριθμός) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: β*(50-κ)*(50+κ)=100α*(κ-48) ---> β*(50-49)*(50+49)=100α*(49-48) ---> β*1*99=100α*1 ---> 99β=100α ---> 99/100=α/β (4) Οι αριθμοί 99 και 100 δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη εκτός από τον αριθμό 1, οπότε οι μικρότερες τιμές για τα α, και β είναι: α=99 και β=100 αντίστοιχα. Επαλήθευση: (30α+40β)^2+(40α+30β)^2=(50α+κβ)^2 ---> (30*99+40*100)^2+(40*99+30*100)^2=(50*99+49*100)^2 ---> (2.970+4.000)^2+(3.960+3.000)^2=(4.950+4.900)^2 ---> 6.9702+6.9602=9.8502 ---> 48.580.900εκ.^2+48.441.600εκ.^2=97.022.500εκ.^2

Η Ηλικία

Σε δέκα χρόνια η συνολική ηλικία της Μαίρης, της Ιωάννας, του Μπάμπη, και του Γιάννη θα είναι 100. Ποια θα είναι η συνολική ηλικία τους σε επτά χρόνια; (Κατ.10/Νο.77)
Πηγή:500 Γρίφοι και Σπαζοκεφαλιές, Εκδ. Σαββάλας (Ε16/Νο.2)

Λύση

Η συνολική ηλικία τους σε 7 χρόνια θα είναι 88. Το σημερινό άθροισμα ηλικιών είναι: [100−(4*10)]=100-40=60 Και σε επτά έτη θα είναι: [60+(4*7)]=60+28=88

Τα Διαμάντια

Ρωτάει  ο  κλέφτης διαμαντιών Λαμόγιος τον βοηθό του  Αρπάξη:

-«Που είναι  τα διαμάντια που άφησα χθες βράδυ στο χρηματοκιβώτιο; Όταν τα έβαλα στο χρηματοκιβώτιο  τα είχα τοποθετήσει σε σχήμα τετραγώνου, αλλά τώρα που άνοιξα το χρηματοκιβώτιο  βρήκα μόνο δυο.»
Ο Αρπάξης αποκρίθηκε:
-«Ήρθαν ο  Βουτάς και τα δυο αδέρφια του  και τα πήραν αφεντικό»
Και συνέχισε:
-«Άφησαν μόνο δυο, γιατί δεν μπορούσαν να τα μοιράσουν εξίσου
μεταξύ τους.»

-«Λες ψέματα.», απάντησε νευριασμένα ο Λαμόγιος, και τον ρήμαξε
στο ξύλο.
Πως κατάλαβε ο Λαμόγιος ότι ο βοηθός του έλεγε ψέματα; (Κατ.34/Νο.743)

(Ένα πρόβλημα από σειρά μαθημάτων προετοιμασίας  για μαθηματικούς διαγωνισμούς.)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/09/blog-post_28.html

Λύση

Εφόσον τα διαμάντια μπορούσαν αρχικά να τοποθετηθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο, θα πρέπει να είναι στο πλήθος όσο το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού, έστω «χ^2» .Αφού ο Βούτας και τα δυο αδέλφια του δεν μπόρεσαν να μοιραστούν τα διαμάντια επειδή περίσσευαν 2 θα πρέπει να είναι στο πλήθος 3y+2. Άρα έχουμε χ^2=3y +2 (1) Εξετάζουμε αν υπάρχει ζεύγος φυσικών χ, y που να ικανοποίει την (1).Για τον αριθμό χ υπάρχουν τρεις περιπτώσεις : Α) Να διαιρείται με το 3. Β) Να διαιρείται με το 3 και να αφήνει υπόλοιπο 1. Γ) Να διαιρείται με το 3 και να αφήνει υπόλοιπο 2. Ας δούμε μια- μια τις περιπτώσεις: Α) Αν χ=3κ (κ φυσικός αριθμός ), τότε: χ^2=9κ^2=3y+2. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y+2) δεν διαιρείται με το 3. Β) Αν χ=3κ+1 , τότε χ^2=9κ^2+6κ+1=3y+2. ή 9κ^2+6κ=3y+1 ή 3(3κ^2+2κ)=3y+1. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y+1) δεν διαιρείται με το 3. Γ) Αν χ=3κ+2 , τότε χ^2=9κ^2+12κ+4=3y+2. ή 9κ^2+12κ=3y-2 ή 3(3κ^2+4κ)=3y-2. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y-2) δεν διαιρείται με το 3. Άρα η εξίσωση (1) είναι αδύνατη, οπότε ο βοηθός του Λαμόγιου έλεγε ψέματα.

Rebus No. 234 (5)

Λύση

Άχυρο [Αχυ(Αχη*)ρο(Ρω**)] *Η περιοχή Αχή Τσελεμπή είναι στα βόρεια του νομού Ξάνθης στο Βουλγαρικό έδαφος σήμερα. **Η “κυρά της Ρω”=Δέσποινα Αχλαδιώτου.

Οι Αριθμοί

Από το 1 έως το 100 υπάρχουν τρεις αριθμοί, οι οποίοι όταν υψωθούν στο τετράγωνο, ο καθ΄ένας, δίνουν ως αποτέλεσμα ένα παλινδρομικό ή καρκινικό αριθμό, εκ των οποίων μόνο ο ένας αριθμός εάν αντικατασταθούν τα ψηφία του με τα αντίστοιχα γράμματα της αλφαβήτου δίνει ένα παλινδρομικό ή καρκινικό όνομα. 
Να δοθούν οι εξής απαντήσεις:
α)Ποιοι είναι  αυτοί οι αριθμοί;
β)Ποιος αριθμός δίνει το παλινδρομικό όνομα;
γ)Ποιο είναι τ΄όνομα αυτό; (Κατ.34/Νο.741)

Λύση

α)Οι αριθμοί είναι οι: 112=121 222=484 262=676 β)Ο αριθμός που δίνει το παλινδρομικό όνομα είναι: Ο 121 γ) Τ’ όνομα που παράγεται από τα γράμματα της αλφαβήτου είναι: 121 ---> 1=Α, 2=Β, και 2=Α ---> ΑΒΑ Α)Άβα Λαβίνια Γκάρντνερ=Ηθοποιός. Β)Αβα=AVA=Υγρό σαπούνι για τα πιάτα. Στη Μυθολογία: Γ)Η Άβα φέρεται επίσης προμάμμη των Αβάντων. Δ)Στην ελληνική μυθολογία η Άβα ήταν μία Νύμφη που κατά την παράδοση γέννησε τον ήρωα Έργισκο από μία ερωτική σχέση της με τον θεό της θάλασσας Ποσειδώνα. Από τ’ όνομα του γιου της πήρε το όνομά η πόλη Εργίσκη της Θράκης, που είναι η σημερινή Τσατάλτζα (Μέτρες) της Τουρκίας.

Η Συνάντηση

Ένας λαγός τρέχει με 100 βήματα μπροστά από ένα σκύλο. Ο σκύλος τον καταδιώκει για 250 βήματα, τότε οι δυό τους απέχουν μόλις 30 βήματα. Σε πόσα βήματα θα έφτανε ο σκύλος το λαγό; (Κατ.6/Νο.12)

Σημείωση:

Αρχαίο Κινέζικο Πρόβλημα. Από την «Κλασσική Αριθμητική του Suan-Ching», τ’ οποίο περιλαμβάνει 92 προβλήματα, του Κινέζου μαθηματικού Quijian Zhang (430-490), γνωστός ως (Sun Tsu Suan Ching ή Chang Ch’ui - Chin ή Chang  Ch’ui - .chien), που δημοσιεύθηκε το 468μ.Χ.,

Λύση

Λύση του Ν. Λιλιμπάκη. Ο σκύλος και ο λαγός θα συναντηθούν σε 50 βήματα. Ο σκύλος θα φτάσει το λαγό αφού η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη (250 > 100). Έστω «Σ» ο σκύλος, «Λ» ο λαγός και «ΣΑ» το σημείο συνάντησης που απέχει από το λαγό απόσταση «χ» βήματα (το βήμα είναι μονάδα μήκους). Η ταχύτητα του σκύλου είναι 250 μονάδες ενώ του λαγού 100 μονάδες (βήματα ανα μονάδα χρόνου). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: (ΛΑ) = (ταχύτητα λαγού)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) (1) (ΣΑ) = (ΣΛΑ) +(ΛΑ) (2) (ΣΑ) = (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) (3) Από την (1) συνάγουμε ότι: (ΛΑ) = (ταχύτητα λαγού)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) ---> (ΛΑ)=100*t (4) Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε: (ΣΑ) = (ΣΛΑ) +(ΛΑ) ---> (ΣΑ)=30+100*t (5) Από τη (3) συνάγουμε ότι: (ΣΑ) = (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) ---> (ΣΑ)=250*t (6) Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε: (ΣΑ)=30+100*t ---> 250*t=30+100*t ---> 250*t-100*t=30 --->150*t=30 ---> t=30/150 ---> t=0.2 μονάδες χρόνου (7) Αντικαθιστούμε την (7) στις (4) (5) και (6) κι’ έχουμε: (ΛΑ)=100*t ---> (ΛΑ)=100*0,2 ---> (ΛΑ)=20 βήματα (8) (ΣΑ)=30+100*t ---> (ΣΑ)=30+100*0,2 ---> (ΣΑ)=30+20=50 βήματα (9) (ΣΑ)=250*t ---> (ΣΑ)=250*0,2 ---> (ΣΑ)=50 βήματα (10) Λύση του Ε. Αλεξίου. Κάρλο επειδή αυτό είναι πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής (δημοτικό) θα το λύσω με εργαλείο την πρακτική αριθμητική και για να μην μείνει άγραφη η σελίδα αλλά και γιατί μπορεί να διαβάζουν Διασκεδαστικά Μαθηματικά μαθητές Δημοτικού! Πρόκειται για κλασικό πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής που επιλύεται με την απλή μέθοδο των τριών, τη μέθοδο δηλαδή, όπου από τις τρεις γνωστές τιμές βρίσκουμε την τέταρτη. Με βάση τα βήματα (ταχύτητα) του λαγού. Όταν ο λαγός κάνει 100 βήματα ο σκύλος κάνει 250 βήματα, άρα πλησιάζει τον λαγό κατά 150 βήματα, οπότε λέμε: Κατάταξη: Στα 100 βήματα λαγού, ο σκύλος πλησιάζει κατά 150 βήματα Σε πόσα (X;) βήματα λαγού ο σκύλος θα πλησιάσει κατά 30 βήματα; X=100×30/150=20 βήματα Ή με βάση τα βήματα (ταχύτητα) του σκύλου. Όταν ο σκύλος κάνει 250 βήματα ο λαγός κάνει 100 βήματα, άρα πλησιάζει τον λαγό κατά 150 βήματα, οπότε λέμε: Κατάταξη: Στα 250 βήματα του σκύλου, ο σκύλος πλησιάζει κατά 150 βήματα Σε πόσα (X;) βήματα σκύλου, ο σκύλος θα πλησιάσει κατά 30 βήματα; X=250×30/150=50 βήματα