Ο Βαθμός

Σε ένα διαγωνισμό πήραν μέρος 9 άτομα. Όλοι εκτός από 5, πήραν βαθμό 5. Όλοι εκτός από 6, πήραν βαθμό 6. Οι υπόλοιποι πήραν βαθμό 7. Πόσα ήταν τα άτομα που πήραν βαθμό 7; (Κατ.34)

Λύση

Βαθμό 5 πήραν: 9-5=4 μαθητές
Βαθμό 6 πήραν: 9-6=3 μαθητές
Άρα βαθμό 7 πήραν: 9-7=2 μαθητές]

Η Τιμή

Μια παρέα, που αποτελείται από «n» άτομα, παίζει ένα επιτραπέζιο παιγνίδι με τους εξής κανόνες:

(α)Σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα.

(β)Το παιγνίδι ολοκληρώνεται μετά από «n» γύρους.

(γ)Κάθε δυάδα παικτών έχει παίξει μαζί τουλάχιστον ένα γύρο.

Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του «n».(Κατ.5) 

34^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο Αρχιμήδης», 2017

 Θέμα Νο.4:https://drive.google.com/file/d/0B1wl0ZTW2zvOODk1UmlXOU5XVms/view

Λύση:http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/competitions/2016/Arximides%202017_Ekfoniseissolutions_final.pdf

Λύση

Αφού σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα, το πλήθος των δυάδων σε κάθε γύρο είναι C(3,2)=(1*2*3)/1*2=3. Επομένως όταν το παιγνίδι ολοκληρωθεί μετά από «n» γύρους θα έχουν παίξει μαζί «3n» δυάδες ατόμων. Για να ικανοποιείται η συνθήκη «γ», της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή, να έχουν παίξει όλες οι δυάδες παικτών μαζί ένα γύρο, πρέπει το «3n» να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το συνολικό πλήθος των δυάδων, που είναι C(n,2). Δηλαδή, πρέπει να είναι:
C(n,2) μικρότερο ή ίσο με 3n <=> [n*(n-1)]/2 μικρότερο ή ίσο με 3n <=> (n-1)/2≤3 <=> n μικρότερο ή ίσο με 7
Στη συνέχεια θ’ αποδείξουμε ότι η τιμή n=7 είναι η μεγαλύτερη δυνατή, αφού ικανοποιεί τους κανόνες του προβλήματος. Πράγματι, για n=7 έχουμε:
C(n,2) ---> C(7,2)=7!/(2!*5!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*1*2*3*4*5)=(6*7)/(1*2) ---> 42/2=21=3*7
Εάν υποθέσουμε ότι τα επτά μέλη της παρέας είναι οι: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, και Η, τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε επτά τριάδες που θα παίξουν στους επτά γύρους που πρέπει να πραγματοποιηθούν, έτσι ώστε όλα τα μέλη της παρέας ανά δύο να έχουν παίξει ένα παιγνίδι σ’ ένα τουλάχιστον γύρο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη του προβλήματος. Μια λύση δίνουν οι κατωτέρω τριάδες:
(Α,Β,Γ), (Α,Δ,Ε), (Α,Ζ,Η), (Β,Δ,Η), (Β,Ε,Ζ), (Γ,Δ,Ζ), και (Γ,Ε,Η) ο. ε. δ.

Οι Τιμές

Οι αριθμοί 2.015 και 757 διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό «x» δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 17. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»; (Κατ.34)

Λύση

Λύση του Voulagx.
Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74.
2015=χ*κ+17 =>2015-17=χ*κ =>χ*κ=1998=2*(3^3)*37=(2*37)*(3^3)=74*(3^3)(1)
757=χ*λ+17 =>757-17=χ*λ =>χ*λ=740=2*2*5*37=(2*37)*2*5=74*2*5(2)
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε:
2015-757=χ*(κ-λ) =>χ*(κ-λ)=1258=(2*37)*17=74*17 (3)
Από τις (1),(2) και (3) προκύπτει ότι κοινοί διαιρέτες, μεγαλύτεροι του 17, των αριθμών 1998,740 και 1258 είναι οι 37 και 74, άρα χΕ{37,74}.
Λύση του Θεματοδότη.
Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ*π+υ έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις:
x*π1+17=2.015 ---> x*π1=1.998(1)
x*π2+17=757 ---> x*π2=740 (2)
Επειδή το «x» είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 1.998 και 740 έχουμε:
1998=2*(3^3)*37=(2*37)*(3^3)=74*(3^3)(1)
740=2*2*5*37=(2*37)*2*5=74*2*5 (2)
Άρα 1.998=2*3^3*37 και 740=2^2*5*37
Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 1.998 και 740 είναι οι: 1, 2, 37, 74
Επειδή το υπόλοιπο είναι μικρότερο του διαιρέτη ("υ" μικρότερο του "x"),θα πρέπει ο διαιρέτης να είναι μεγαλύτερος του 17 ("χ" μεγαλύτερος του 17)
Άρα ο διαιρέτης ισούται με x=37 ή 74.

Οι Ηλικίες

Οι μαθητές μιας τάξης σε κάποιο σχολείο ρώτησαν τον καθηγητή τους:

-«Κύριε καθηγητά,  πόσων ετών είστε και ποια είναι η ηλικία των παιδιών σας;»

Ο καθηγητής δεν έχασε την ευκαιρία, για να τους προβληματίσει, τους είπε:

-«Εάν πολλαπλασιάστε την ηλικία που είχα πριν 5 χρόνια με την ηλικία που θα έχω μετά από 5 χρόνια, το γινόμενο ισούται με 1.200. Όσον αφορά την ηλικία των δύο παιδιών μου, αυτά είναι δίδυμα. Εάν πολλαπλασιάστε ή προσθέσετε τις ηλικίες τους θα βρείτε τον ίδιο αριθμό.» (Κατ.34)

Πηγή:Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.9, σελ.102, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Λύση

Η ηλικία του καθηγητή είναι 35 ετών και των παιδιών του 2 ετών το καθ’ ένα αφού είναι δίδυμα. Έστω «α» η ηλικία του καθηγητή, Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
α)Για την ηλικία του καθηγητή:
(α-5)*(α+5)=1.200 (1)
α^2-5α+5α-25=1.200 ---> α^2=1.200+25 ---> α^2=1.225
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
α^2=1.225 ---> ---> α=35 (2)
Επαλήθευση:
(α-5)*(α+5)=1.200 ---> (35-5)*(35+5)=1.200 ---> 30*40=1.200 - ο.ε.δ.
β)Για την ηλικία των παιδιών του:
Έστω «β» η ηλικία έκαστου παιδιού και «ω» η εμφάνιση του ίδιου αριθμού της ηλικίας λόγω του ότι είναι δίδυμοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
ω=β*β (1)
ω=β+β (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
ω=β*β ---> ω=β^2 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
ω=β+β ---> β^2=2β ---> (β^2)/β=2 ---> β=2 (4)
Επαλήθευση:
ω=β*β ---> ω=2*2 ---> ω=4
ω=β+β ---> ω=2+2 ---> ω=4 - ο.ε.δ.

Οι Αριθμοί των Σελίδων

Ο καθηγητής των μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν ορισμένες ασκήσεις για να εμπεδώσουν την ενότητα που διδάχθηκαν.
Οι μαθητές ρώτησαν τον καθηγητή:

-«Σε ποια σελίδα του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;»

Ο καθηγητής τους απάντησε:

-«Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες που το γινόμενο των αριθμών των δύο
αντικριστών σελίδων ισούται με 506.»

Σε ποιες σελίδες του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;(Κατ.34)

Πηγή: Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.6, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Λύση

Λύση του Voulagx.
Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23. Οι αριθμοί των αντικριστών σελίδων είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Έστω «χ» και «χ+1» οι αριθμοί των σελίδων. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
χ*(χ+1)=506 ---> χ^2+χ-506=0 (1)
χ=(-1+sqrt(1+4*506))/2, αρνητική ρίζα, οπότε απορρίπτεται.
χ=(-1+sqrt(1+2024))/2=(-1+sqrt(2025))/2=(-1+sqrt(81*25))/2
χ=(-1+9*5)/2=(-1+45)/2=44/2=22.
Λύση του Θεματοδότη.
Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23 του βιβλίου των μαθηματικών. Έστω «α» ο ένας αριθμός της σελίδας και (α+1) ο άλλος αριθμός της σελίδας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
α*(α+1)=506 ---> α^2+α=506 ---> α^2+α-506=0 (1)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α ---> x=[-1±sqrt[(1)^2-4*1*(-506)]/2*1 --->
x=[-1±sqrt[1+2.024]/2 ---> x=[-1±sqrt[2.025]/2 ---> x= (-1±45)/2
x1= (-1+45)/2 ---> x1=44/2 ---> x1=22
x2= (-1-45)/2 ---> x2= -46/2 ---> x2= -23 αρνητική ρίζα, οπότε απορρίπτεται.
Δεκτή μόνο η ρίζα «x1».
Αντικαθιστούμε την τιμή του «x1» στην (1) κι’ έχουμε:
α*(α+1)=506 ---> 22*(22+1)=506 ---> 22*23=506 ο.ε.δ.

Τα Βιβλία

Ο Πυθαγόρας αγόρασε μία βιβλιοθήκη. Στη βιβλιοθήκη χωράνε περισσότερα από 50 βιβλία και λιγότερα από 90. Τα βιβλία που θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη είναι 3 περισσότερα από ένα πολλαπλάσιο του 5 και 2 λιγότερα από ένα πολλαπλάσιο του 6.

Ζητούμενα:

(α) Να βρείτε πόσα βιβλία θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη.

(β) Αν ένα από τα ράφια της βιβλιοθήκης χωράει 3 βιβλία, μπορεί ο Πυθαγόρας να τοποθετήσει όλα τα βιβλία στη βιβλιοθήκη και να αφήσει κενό αυτό το ράφι; (Κατ.34)
Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDODd0WjFPZjZLM1E/view
Πηγή:7ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Α΄ Γυμνασίου 12 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016

Λύση

(A)Λύση του Voulagx
(α)Με αυτά τα δεδομένα το πρόβλημα επιδέχεται δυο λύσεις: 58 και 88.
χ=5ω+3=6φ-2 ---> 5(ω+1)=6φ ---> 5(ω+1-φ)=φ
Το «φ» είναι πολλαπλάσιο του 5. Έστω (φ=5κ), οπότε έχουμε:
90 μεγαλύτερο του (χ=6*5κ-2) μεγαλύτερο του 50 --->92 μεγαλύτρο του (30κ) μεγαλύτερο του 52
92/30 μεγαλύτερο του (κ) μεγαλύτερο του 52/30 --->3,06 μεγαλύτερο του (κ) μεγαλύτερο του 1,73
Συνεπώς: κΕ{2,3}.
Για κ=2: χ=30*2-2=58 βιβλία.
Για κ=3: χ=30*3-2=88 βιβλία.
(β) Όχι ο Πυθαγόρας δεν μπορεί ν’ αφήσει το ράφι που χωράει τρία βιβλία κενό, διότι τα ράφια της βιβλιοθήκης είναι 5 με χωρητικότητα 17 και 11 βιβλία αντίστοιχα με την περίπτωση:
(α) 88-3=85=17*5
(β) 58-3=55=11*5
οπότε τα 3 βιβλία που περισσεύουν θα τοποθετηθούν στο μικρό ράφι που χωράει 3 βιβλία.
(B)Λύση της Ε.Μ.Ε. - Παράρτημα Ροδόπης
https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDZlltbjB4d254Tm8/view

Οι Πόντοι

Στους τελευταίους τρεις αγώνες μπάσκετ ο Αλέξης σημείωσε κατά μέσο όρο 21 πόντους. Εάν στον πρώτο αγώνα, από τους τρεις, σημείωσε 22 πόντους και στον τρίτο αγώνα, από τους τρεις σημείωσε 25 πόντους, πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις; (Κατ.34)

Πηγή:11^ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός "ΠΑΙΧΝΙΔΙ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ" Ε΄ και ΣΤ΄ Δημοτικού του περιοδικού "Ο ΜΙΚΡΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" (ΣΤ΄ Δημοτικού)

Λύση

Ο Αλέξης σημείωσε 16 πόντους. Έστω «α» οι πόντοι που σημείωσε στο πρώτο αγώνα, «β» οι πόντοι που σημείωσε στο δεύτερο αγώνα, και «γ» οι πόντοι που σημείωσε στο τρίτο αγώνα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος συνάγουμε το εξής συμπέρασμα:
Οι 21 πόντοι αποτελούν τον μέσο όρο των συνολικών πόντων που σημείωσε ο Αλέξης στους τρεις τελευταίους γύρους, οπότε έχουμε την εξίσωση:
(α+β+γ)/3=21 (1)
Αντικαθιστούμε τις τιμές «α» και «γ» με τους δεδομένους πόντους, από την εκφώνξση του προβλήματος, που σημείωσε στον πρώτο και τρίτο αγώνα και βρίσκουμε πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις.
(α+β+γ)/3=21 ---> (22+β+25)/3=21 ---> (47+β)/3=21 47+β=21*3 ---> 47+β=63 ---> β=63-47 ----> β=16 (2)
Επαλήθευση:
(α+β+γ)/3=21 ----> (22+16+25)/3=21 ----> 63/3=21 ο.ε.δ.
Άρα ο Αλέξης σημείωσε 16 πόντους στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις τελευταίους.