Ένας Διάλογος...με Οικονομικά

ΗΛΙΑΣ: Πατέρα, πόσα θα μας δώσεις για χαρτζιλίκι;

ΠΑΤΕΡΑΣ: Αρκετά. Αν «x» είναι το χαρτζιλίκι του Κυριάκου και «y» το χαρτζιλίκι του Ηλία, από το τετράγωνο του ημιαθροίσματος, αφαιρέστε το τετράγωνο της ημιδιαφοράς. Θα βρείτε 24.

ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Εγώ δικαιούμαι περισσότερα, είμαι μεγαλύτερος.

ΗΛΙΑΣ: Δύο Ευρώ περισσότερα από μένα θα σου δώσει, Κυριάκο. Αν και εγώ τα δικαιούμαι, γιατί το βρήκα πρώτος.

ΚΥΡΙΑΚΟΣ: Κι εγώ το ίδιο βρήκα. Φέρε, πατέρα, τα 6€! 

Πώς σκεφτήκανε τα παιδιά και φτάσανε σ’ αυτό το αποτέλεσμα;
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/blog-post_25.html

Λύση

Ο Κυριάκος θα πάρει 6€ και ο Ηλίας θα πάρει 4€. Έστω «x» το χαρτζιλίκι του Κυριάκου και «y» το χαρτζιλίκι του Ηλία. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
[((x+y)2/22)-((x-y)2/22)=24 --> [(x2+2xy+y2)/4-(x2-2xy+y2)/4]=24 --> (x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)=24*4 --> x2+2xy+y2-x2+2xy-y2=96 --> 4xy=96 --> xy=96/4 --> xy=24 --> x=24/y (1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "y" τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη, βάσει της δήλωσης του Ηλία «Δύο Ευρώ περισσότερα από μένα θα σου δώσει, Κυριάκο...» και δίνει ακέραιο αριθμό "x" είναι ο αριθμός y = 4.
Αντικαθιστούμε τη τιμή «y» στην (1) κι’ έχουμε:
x=24/y --> x=24/4 --> x=6
Επαλήθευση:
[((x+y)2/22)-((x-y)2/22)]=24 --> [((6+4)2/22)-((6-4)2/22)]=24 -->
[(102)/22]-[(22)/22]=24 -->(100/4)-(4/4)=24 --> 25-1=24

Η Ανακάλυψη της Σπουδαιότερης Εφεύρεσης

Να βρεθεί το έτος της ανακαλύψεως μιας από τις σπουδαιότερες εφευρέσεις του ανθρώπου, που χωρίς αυτήν η ανθρωπότητα θα βρισκόταν ακόμα στην Νεολιθική Εποχή, και τον εφευρέτη της, εάν γνωρίζουμε τα εξής:

(α)Αποτελείται από τέσσερα ψηφία.

(β)Το άθροισμα των  ψηφίων του ισούται με 14.

(γ)Το ψηφίο των δεκάδων ισούται με το 1/2 του ψηφίου των μονάδων.

(δ)Το ψηφίο των χιλιάδων ισούται με τη διαφορά του ψηφίου των δεκάδων από το ψηφίο των εκατοντάδων.

(ε)Εάν αντιστραφούν τα ψηφία του αριθμού, από τη διαφορά των δύο αριθμών  προκύπτει αριθμός μεγαλύτερος κατά 4.905 μονάδες.

Διευκρίνιση: Τέθηκε σε διαγώνισμα στο Πανεπιστήμιο των Αθηνών το 1939

Διαβάστε περισσότερα »

Ο Διψήφιος Αριθμός

Διψήφιου αριθμού τα ψηφία εάν τ’ αντιστρέψουμε σχηματίζεται ένας νέος διψήφιος αριθμός, ο οποίος είναι κατά 45 μονάδες μεγαλύτερος από τον αρχικό. Εάν πολλαπλασιάσουμε επί 3 το ψηφίο των δεκάδων  και από το γινόμενο αφαιρέσουμε το ψηφίο των μονάδων προκύπτει ο αριθμός 3. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Λύση

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 49. Έστω ότι είναι α το ψηφίο των δεκάδων και β το ψηφίο των μονάδων. Ο αριθμός αυτός παριστάνεται ως 10α+β . Εάν αντιστρέψουμε τη θέση των ψηφίων ο νέος αριθμός θα έχει τη μορφή 10β+α, ο οποίος είναι κατά 45 μονάδες μεγαλύτερος του αρχικού αριθμού. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
10α+β+45 = 10β+α (1)
3α-β = 3 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
3α-β=3 ---> β = 3α –3 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του β στην (1) κι’ έχουμε:
10α+β+45 = 10β+α ---> 10α +3α-3+45 = 10*(3α-3)+α ---> 13α+42 = 30α-30+α ----> 13α+42 = 31α-30 ----> 31α-13α = 42+30 ----> 18α = 72 ----> α =72/18 ----> α = 4 (4)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του α στη (3) κι’ έχουμε:
β = 3α –3 ----> β = (3*4)-3 ----> β = 12-3 ----> β = 9 (5)
Επαλήθευση:
10α+β+45=10β+α ----> (10*4)+9+45=(10*9)+4 ----> 40+9+45=90+4 = 94
3α-β = 3 ----> [(3*4)-9]=3 ----> 12-9=3 ο.ε.δ

Η Στοργική Γιαγιά

 

Μια μέρα όλα τα εγγόνια της κυρίας Δωροθέας την επισκέφτηκαν στο σπίτι της. Στο τραπέζι της κουζίνας υπήρχε ένα καλάθι με μήλα και αχλάδια. Η κυρία Δωροθέα πρόσφερε σε κάθε εγγόνι το ίδιο πλήθος φρούτων, χωρίς να δώσει σημασία τι είδος φρούτων πήρε το καθένα. Ένα από τα εγγόνια της, ο Αλέξης, πήρε το 1/8 των μήλων και το 1/10 των αχλαδιών. Μπορείτε να βρείτε πόσα εγγόνια έχει η κυρία Δωροθέα;

Λύση

Λύση του Voulagx
Αν:
μ=πολλαπλάσιο του 8=8κ, ο αριθμός των μήλων.
α=πολλαπλάσιο του 10=10λ, ο αριθμός των αχλαδιών.
και χ= ο αριθμός των εγγονιών.
Τότε:
μ/8 + α/10 = (α+μ)/χ ----> 8κ/8 + 10λ/10 = (8κ+10λ)/χ -----> κ+λ=(8κ+10λ)/χ -----> χ=8κ+10λ/(κ+λ) -----> χ=(8κ+8λ+2λ)/(κ+λ)=(8(κ+λ)+2λ)/(κ+λ) -----> χ=8+2λ/(κ+λ)
Πρέπει:
2λ/(κ+λ)=β, ακέραιος θετικός.
Άρα: 2λ=(κ+λ)β ----> 2λ=βκ+βλ -----> 2λ-βλ=βκ -----> (2-β)λ=βκ>0 ----->
2 μεγαλύτερο του β και β μεγαλύτερο του μηδενός.
Άρα:
β=1 και (2-1)λ=1*κ δηλ. λ=κ
Οπότε:
χ=8+2λ/(κ+λ)=8+β=8+1=9 τα εγγόνια της γιαγιάς.