Η Ανακάλυψη της Σπουδαιότερης Εφεύρεσης

Να βρεθεί το έτος της ανακαλύψεως μιας από τις σπουδαιότερες εφευρέσεις του ανθρώπου, που χωρίς αυτήν η ανθρωπότητα θα βρισκόταν ακόμα στην Νεολιθική Εποχή, και τον εφευρέτη της, εάν γνωρίζουμε τα εξής:

(α)Αποτελείται από τέσσερα ψηφία.

(β)Το άθροισμα των  ψηφίων του ισούται με 14.

(γ)Το ψηφίο των δεκάδων ισούται με το 1/2 του ψηφίου των μονάδων.

(δ)Το ψηφίο των χιλιάδων ισούται με τη διαφορά του ψηφίου των δεκάδων από το ψηφίο των εκατοντάδων.

(ε)Εάν αντιστραφούν τα ψηφία του αριθμού, από τη διαφορά των δύο αριθμών  προκύπτει αριθμός μεγαλύτερος κατά 4.905 μονάδες.

Διευκρίνιση: Τέθηκε σε διαγώνισμα στο Πανεπιστήμιο των Αθηνών το 1939

 

Λύση

Η ζητούμενη χρονολογία της ανακάλυψης της τυπογραφίας είναι το έτος 1436 και ο εφευρέτης αυτής είναι ο Γερμανός Ιωάννης Γουτεμβέργιος, ψευδώνυμο του Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg (1397/(1400;)-1468), μαθητευόμενος χρυσοχόος. Έστω "α" το ψηφίο των χιλιάδων, "β" το ψηφίο των εκατοντάδων, "γ" το ψηφίο των δεκάδων και "δ" το ψηφίο των μονάδων του τετραψήφιου αριθμού (αβγδ)που είναι της μορφής (1000α+100β+10γ+δ). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α + β+ γ + δ = 14 (1)
γ =δ/2 (2)
α = β – γ (3)
(1000δ+100γ+10β+α)-(1000α+100β+10γ+δ) = 4.905 (4)
Από τη (4) συνάγουμε ότι:
(1000δ+100γ+10β+α)-(1000α+100β+10γ+δ) = 4.905 --->
1000δ+100γ+10β+α –1000α-100β-10γ-δ = 4.905 ---->
999δ+90γ-90β-999α = 4.905 ---> 9(111δ+10γ-10β-111α) = 4.905 --->
111δ+10γ-10β-111α =4.905/9 ---> 111δ+10γ-10β-111α= 545 (5)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α + β+ γ + δ = 14 ---> α + β +(δ/2) + δ = 14 ---> 2α + 2β + δ + 2δ = 2*14 --->
2α+2β+3δ=28 (6)
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:
α = β – γ ---> α = β – (δ/2) ---> 2α = 2β – δ ---> 2α-2β+δ=0 (7)
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (5) κι’ έχουμε:
111δ+10γ-10β-111α = 545 ---> 111δ+[10*(δ/2)]-10β-111α = 545 --->
111δ+5δ-10β-111α = 545 ---> 116δ-10β-111α=545 (8)
Προσθέτουμε κατά μέλη την (6) και την (7) κι’ έχουμε:
2α + 2β + 3δ = 28
2α – 2β + δ = 0
4α-0+ 4δ= 28 ---> 4α + 4δ = 28 ---> α + δ =28/4 ----> α+δ=7 (9)
Λύνουμε την (7) ως προς "β" κι’ έχουμε:
2α – 2β + δ = 0 ---> 2β = 2α + δ ---> β=(2α+δ)/2 (10)
Προσθέτουμε κατά μέλη την (7) και την (8) κι’ έχουμε:
2α – 2β + δ = 0
-111α –10β + 116δ = 545
-109α- 12β+117δ=545 (11)
Αντικαθιστούμε τη (10) στην (11) κι’ έχουμε:
-109α – 12β + 117δ = 545 ----> -109α –12 *(2α+δ)/2+ 117δ = 545 ---->
-109α –6 *(2α +δ) + 117δ = 545 ---> -109α –12α +6δ + 117δ = 545 --->
-121α+111δ=545 (12)
Από την (9) συνάγουμε ότι:
α + δ = 7 ----> α=7-δ (13)
Αντικαθιστούμε τη τιμή "α" στη (12) κι’ έχουμε:
-121α + 111δ = 545 ---> -121*(7-δ)+111δ = 545 ---> -847 +121δ+111δ = 545 ---->
121δ+111δ = 545 +847 ----> 232δ = 1.292 ----> δ =1.392/232 ----> δ=6 (14)
Αντικαθιστούμε τη τιμή "δ" στη (13) κι’ έχουμε:
α = 7 - δ ----> α = 7 – 6 ----> α=1 (15)
Αντικαθιστούμε τη τιμή "δ" στη (2) κι’ έχουμε:
γ =δ/2 ----> γ =6/2 ----> γ=3 (16)
Αντικαθιστούμε τη τιμή "δ" στη (3) κι’ έχουμε:
α = β – γ ----> β = α + γ ----> β = 1 + 3 ----> β=4 (17)
Επαλήθευση:
α + β+ γ + δ = 14 ----> 1+4+3+6 = 14
6341 – 1436 = 4.095 ο.ε.δ.