Οι Πολύχρωμες Μπάλες

Έχουμε ένα μπολ με τέσσερις μπάλες: Μια πράσινη, μια μπλε και δύο πορτοκαλί. Το μπολ ανακινείται και κάποιος τραβάει δύο μπάλες. Τις κοιτάει και ανακοινώσει στους άλλους ότι τουλάχιστον μία από τις μπάλες είναιπορτοκαλί. Πόσες είναι οι πιθανότητες να είναι και η άλλη μπάλα πορτοκαλί;

Λύση

Οι πιθανότητες είναι μία στις πέντε. Τα πιθανά ζεύγη είναι έξι: πορτοκαλί και πορτοκαλί, πορτοκαλί και πράσινο, πορτοκαλί και μπλε, πράσινο και πορτοκαλί , μπλε και πορτοκαλί, πράσινο και μπλε. Ξέρουμε όμως ότι ο τελευταίος συνδυασμός είναι αδύνατος γιατί τουλάχιστον η μία από τις δύο μπάλες είναι πορτοκαλί...

Χριστούγεννα 2018!!

Η Ιστοσελίδα του Papaveri48 εύχεται σε όλους

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!

Και

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!

Με το όραμα της ελεύσεως του Νέου Έτους, είθε ο Αναγεννημένος Χριστός να μας βοηθήσει να ξεπεράσουμε τις όποιες δυσκολίες που μπορεί να προκύψουν, λόγω του ότι βρισκόμαστε ακόμα μέσα σ' ένα σκοτεινό τούνελ που μόνο το Άστρο της Βηθλεέμ μπορεί να το φωτίσει για να βρούμε τον δρόμο της εξόδου!

Το Μερίδιο ΙΙ

 Τρεις έμποροι, ο Piero, ο  Polo, και ο  Zuanne,  επένδυσαν τα χρήματά τους σε μια εταιρεία, Ο Piero κατέθεσε 112 δουκάτα, ο Polo κατέθεσε 200 δουκάτα και ο Zuanne κατέθεσε 142 δουκάτα. Στο τέλος μιας ορισμένης περιόδου διαπίστωσαν ότι είχαν κερδίσει 563 δουκάτα. Απαιτείται να γνωρίζουμε τι μερίδιο αναλογεί σε κάθε έμπορο, ώστε κανείς να μην αδικηθεί.

Επεξήγηση:

Ένα δουκάτο ισούται με 24 grossi

Πηγή:Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century, ... (page 138)

Λύση

Βρίσκουμε το συνολικό ποσό της συμμετοχής των τριών εμπόρων:στην επένδυση της εταιρείας
Piero:..........112 ducats
Polo:...........200 ducats
Zuanne:......142 ducats
Σύνολο:.......454 ducats
(α) Το μερίδιο από τα κέρδη για τον Piero:
Κατάταξη:
Εάν στα 454 ducats κέρδισε 563 ducats
Στα 112 ducats τι μερίδιο «x;» πρέπει να πάρει; x=(563*112)/454 ----> x=63.056/454 ----> x=138 ducats και 404/454 του ducat
Μετατρέπουμε τα 404/454 του ducat σε grossi
(404*24)/454=9.696/454=21,36grossi
(β) Το μερίδιο από τα κέρδη για τον Polo:
Κατάταξη:
Εάν στα 454 ducats κέρδισε 563 ducats
Στα 200 ducats τι μερίδιο «x;» πρέπει να πάρει;
x=(563*200)/454 ----> x=112.600/454 ----> x=248 ducats και 8/454 του ducat
Μετατρέπουμε τα 8/454 του ducat σε grossi
(8*24)/454= 192/454=0,43 grossi
(γ) Το μερίδιο από τα κέρδη για τον Zuanne:
Κατάταξη:
Εάν στα 454 ducats κέρδισε 563 ducats
Στα 142 ducats τι μερίδιο «x;» πρέπει να πάρει;
x=(563*142)/454 ----> x= 79.946/454 ----> x=176 ducats και 42/454 του ducat
Μετατρέπουμε τα 42/454 του ducat σε grossi
(42*24)/454=1.008/454=2,22 grossi
Το μερίδιο του καθενός ανέρχεται σε:
Piero:..........138 ducats 21,36grossi
Polo:...........248 ducats 0,42grossi
Zuanne:......176 ducats 2,22grossi
Σύνολο:........562ducats 24,00grossi ----> 562+1=563 ducats

Ανάρρωση

Αγαπητοί Λύτες,

Μετά από απουσία 35 ημερών επέστρεψα στην οικία μου. Η επέμβαση είχε αίσιο τέλος και βρίσκομαι πλέον στην ανάρρωση.

Από αύριο θα βρίσκομαι ενεργός στις αναρτήσεις των γρίφων.

Ευχαριστώ όλους σε όσους μου ευχήθηκαν καλή επιτυχία!

Φιλικά,

Carlo de Grandi

Επέμβαση

Αγαπητοί Λύτες,

Επιτακτική ανάγκη με αναγκάζει να λείψω 
ένα διάστημα από τις αναρτήσεις γρίφων 
προς επίλυση.Πρόκειται να χειρουργηθώ 
στο αριστερό ισχίο. Ελπίζω με τη βοήθεια 
του Θεού να πάνε όλα κατ’ ευχήν και να 

έχω αίσιο τέλος σ' αυτή τη δοκιμασία!!

Φιλικά,

Carlo de Grandi

Το Μερίδιο

Δύο έμποροι, ο Sebastiano και ο Jacomo, ιδρύουν μια εταιρεία.

Ο Sebastiano κατέθεσε 350 δουκάτα την πρώτη Ιανουαρίου του 1472.

Ο Jacomo κατέθεσε 500 δουκάτα, και 14 grossi την πρώτη Ιουλίου του 1472.

Την πρώτη ημέρα του Ιανουαρίου του 1474 διαπιστώνουν ότι έχουν κερδίσει
622 δουκάτα. 

Απαιτείται το μερίδιο του καθενός.

Επεξήγηση:

Ένα δουκάτο ισούται με 24 grossi.

Πηγή: 

Από το εγχειρίδιο που περιέχει εμπορικά μαθηματικά γραμμένο στην λαϊκή καθομιλουμένη Βενετσιάνικη γλώσσα της εποχής εκείνης με τίτλο «Treviso Arithmetic»,

που εκδόθηκε στο Treviso το 1478, Σε μερικούς καταλόγους βιβλίων αναφέρεται ως «Arte dell’ Abbaco (Art of Calculation)». Μια πλήρη μετάφραση και ανάλυση του «Treviso Arithmetic» μπορείτε να βρείτε στο βιβλίο του Frank Swetz, Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century (La Salle, IL: Open Court, 1987). 

Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century, ... (page 138)

Περισσότερες πληροφορίες για το «Treviso Arithmetic»  βλέπε εδώ:  

https://en.wikipedia.org/wiki/Treviso_Arithmetic

https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-the-treviso-arithmetic

Λύση

Μετατρέπουμε όλα τα δουκάτα σε grossi:
Sebastiano: 350*24= 8.400grossi
Jacomo: 500*24=.....12,000grossi
Jacomo:...........................14grossi
Σύνολο:...................20.414grossi
Βρίσκουμε το σύνολο της επένδυσης για τον καθένα μέσα στα δύο χρόνια:
Sebastiano:24μήνες*8.400=201.600grossi
Jacomo:18μήνες*12.014=..216.252grossi
Σύνολο:................................417.852grossi
Μετατρέπουμε τα 622 δουκάτα σε grossi:
622*24=14.928grossi
(α)Το μερίδιο από τα κέρδη για τον Sebastiano
Κατάταξη:
Εάν στα 417.852 grossi κέρδισε 14.928 grossi
Στα 201.600 grossi τι μερίδιο «x;» πρέπει να πάρει;
x=(201.600*14.928)/417.852 ----> x= 3.009.484.800 /417.852 ----> x=7.202,27grossi ή x=7.202,27/24=300,09δουκάτα
Μετατρέπουμε τα 0,09 δουκάτα σε grossi
0,09*24=2,16grossi
(β)Το μερίδιο από τα κέρδη για τον Jacomo
Κατάταξη:
Εάν στα 417.852 grossi κέρδισε 14.928 grossi
Στα 216.252 grossi τι μερίδιο «x;» πρέπει να πάρει;
x=(216.252*14.928)/417.852 ----> x= 3.228.209.856 /417.852 ----> x=7.725,73grossi ή x=7.725,73/24=321,91δουκάτα
Μετατρέπουμε τα 0,91 σε grossi:
0,91*24= 21,84grossi
Άρα το μερίδιο του καθενός είναι:
Sebastiano:300δουκάτα και 2,16grossi
Jacomo:.....321δουκάτα και 21,84grossi
Σύνολο:......621δουκάτα και 24,00grossi=621+1=622δουκάτα

Η Επέκταση

O Πίτερ Μινούιτ δίνει εμπορεύματα στους Ινδιάνους για να εγκαταλείψουν το Μανχάταν, 1624.

Ο Ολλανδός εξερευνητής Peter Minuit (1580/1585 - 1638) «αγόρασε» το νησί Μανχάταν, το 1624, από μία ομάδα ιθαγενών Αμερικανών για μερικές χάντρες και ψευτοκοσμήματα αξίας $24. Φαίνεται ότι αυτή ήταν μια από τις καλύτερες συμφωνίες στην ιστορία. Ας υποθέσουμε όμως, ότι οι ιθαγενείς Αμερικανοί είχαν επενδύσει αυτό το ποσό με επιτόκιο 8% . Τι θα προτιμούσατε να έχετε:

Το Μανχάταν με τα κτήρια του, ή τα χρήματα της επένδυσης των $24;

Λύση

Φυσικά τα χρήματα που επενδύσανε οι ιθαγενείς. Βάσει του τύπου του ανατοκισμού:
Α = p*(1+(r/n))^n*t
Α = Η συνολική αξία της επένδυσης.
p = Το ποσό της επένδυσης (24$)
t = Ο συνολικός χρόνος της επένδυσης (2018-1624=394 έτη)
r = Το επιτόκιο (8%)
n = ο αριθμός των φόρων που το κεφάλαιο ανατοκίζεται.
η συνολική αξία της επένδυσης ανέρχεται σε περίπου 354.200.000.000.000$, ποσό με το οποίο αρκεί να αγοραστεί το Μανχάταν και τα κτήρια του.

Τα Νομίσματα

Κάποιος πήγε στην αγορά τρεις φορές.

(α)Τη πρώτη φορά, έφερε πίσω τα διπλάσια χρυσά νομίσματα  απ’ όσα είχε πάρει μαζί του.

(β)Τη δεύτερη φορά, πήρε μαζί του το διπλό ποσό του και επέστρεψε με το ίδιο
ποσό συν την τετραγωνική ρίζα του ποσού αυτού επαυξημένου κατά δύο χρυσά νομίσματα

(γ)Όλα αυτά τα διατήρησε  και επέστρεψε στην αγορά με αυτά για τρίτη
φορά και επέστρεψε με το τετράγωνο από αυτά που πήρε μαζί του και 4
επιπλέον χρυσά νομίσματα. Επέστρεψε από την αγορά με επί πλέον 310 χρυσά νομίσματα

Πόσα χρυσά νομίσματα είχε πάρει μαζί του τη πρώτη φορά;

Πηγή:

Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο
«Artis Magnæ», 1545.

Πηγή:The Rules of Algebra: Artis Magnæ

Λύση

Τη πρώτη φορά είχε πάρει μαζί του 7 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα που είχε πάρει μαζί του την πρώτη φορά που πήγε στην αγορά. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(2x+sqrt(2x+2))^2+4-(2x+sqrt(2x+2))=310 (1)
Θέτουμε «ω», όπου 2x+sqrt(2x+2) και έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω (2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
ω^2+4-ω=310 ----> ω^2-ω+4-310=0 -----> ω^2-ω-306=0 (3)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
ω={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> ω=(1±sqrt[(1^2)-4*1*(-306]/2*1 ---->
ω=(1±sqrt[1+1.224]/2 ----> ω=(1±sqrt[1.225]/2 ----> ω=(1±35)/2
ω1= (1+35)/2 ----> ω1=36/2 ----> ω1=18 Αποδεκτή. (4)
ω2=(1-35)/2 ----> ω2= -34/2 ----> ω2= -17 Μη Αποδεκτή (5)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω ----> 2x+sqrt(2x+2) = 18 ----> sqrt(2x+2)=18-2x
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:
sqrt(2x+2)=18-2x ----> (sqrt(2x+2))^2=(18-2x)^2 ----> 2x+2=18^2-2*2*18x+2^2x^2 ---->
2x+2=324-72x+4x^2 -----> 4x^2-72x-2x+324-2=0 ----> 4x^2-74x+322=0 (6)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(74±sqrt[(-74^2)-4*4*322]/2*4 ---->
x=(74±sqrt[5.476-5.152]/8 ----> x=(74±sqrt[324]/8 ----> x=(74±18)/8
x1= (74+18)/8 ----> x1=92/8 ----> x1=11,50 Μη Αποδεκτή. (7)
x2=(74-18)/8 ----> x2= 56/8 ----> x2= 7 Αποδεκτή (8)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω ----> 2x+sqrt(2x+2) = -17 ----> sqrt(2x+2) = -17- 2x
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:
sqrt(2x+2) = -17- 2x ----> (sqrt(2x+2))^2 = (-17- 2x)^2, αδύνατη διακρίνουσα αρνητική
Επαλήθευση:
(2x+sqrt(2x+2))^2+4-(2x+sqrt(2x+2))=310
[2*7+[sqrt[(2*7)+2]]^2+4-[2*7+sqrt[(2*7)+2]]=310
[14+sqrt(14+2)]^2+4-[14+sqrt(14+2)]=310
(14+sqrt(16)]^2+4-[14+sqrt(16)]=310 ----> (14+4)^2+4-(14+4)=310
18^2+4-18=310 ----> 324+4-18=310 ----> 328-18=310 ο.ε.δ.

Ο Αριθμός

Έναν αριθμό, τον οποίο έχω ξεχάσει, τον διαίρεσα σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος
το έχω επίσης ξεχάσει, Αλλά το δεύτερο μέρος  ήταν ο αριθμός 4 και θυμάμαι
πως εάν το μέρος που έχω ξεχάσει πολλαπλασιαζόταν με τον εαυτό του και
επίσης με το 4, αυτοί οι δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 117. Θα ήθελα να ξέρω
ποιος ήταν ο αρχικός αριθμός και ποιο ήταν το πρώτο μέρος του που ξέχασα.

Πηγή:

Από το βιβλίο του Ουαλού μαθηματικού Robert Record (1510-1558) με τίτλο:

«The Whetstone of Witte – Το Ακονιστήρι της Εξυπνάδας ή Για ν’ Ακονίζετε το Μυαλό σας.», 1557

Λύση

Ο αρχικός αριθμός ήταν το 13 και το πρώτο μέρος του που ξέχασα ήταν ο αριθμός 9. Έστω «α» ο αρχικός αριθμός και «x» το πρωτο μέρος που ξέχασα μετά από την διαίρεση του αρχικού αριθμού σε δύο μέρη. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχου τις εξής εξισώσεις:
α=x+4 (1)
x^2+4x=117 ----> x^2+4x-117=0 (2)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(-4±sqrt[(4^2)-4*1*(-117)]/2*1 ---->
x=(-4±sqrt[16+ 468]/2 ----> x=(-4±sqrt[484]/2 ----> x=(-4±22)/2 ---->
x1= (-4+22)/2 ----> x1=18/2 ----> x1=9 Αποδεκτή. (3)
x2=(-4-22)/2 ----> x2=(-26)/2 ----> x2= -13 Απορρίπτεται.
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α=x+4 ----> α=9+4=13
Επαλήθευση:
x^2+4x=117 ----> 9^2+4*9=117 ----> 81+36=117 ο.ε.δ.

Τα Μέλη

Υπήρχαν δύο συνεταιρισμοί εκ των οποίων ο ένας είχε τρία μέλη περισσότερα από τον άλλο. Μοίρασαν ίσο αριθμό χρυσών νομισμάτων μεταξύ των μελών τους. Ο αριθμός των χρυσών νομισμάτων, που ήταν για μοίρασμα, σε κάθε περίπτωση ήταν 93 περισσότερο από το σύνολο των μελών των δύο συνεταιρισμών και τα μέλη του μικρότερου συνεταιρισμού έλαβαν 6 χρυσά νομίσματα περισσότερα από τα μέλη του μεγαλύτερου συνεταιρισμού. Πόσα μέλη είχε ο κάθε συνεταιρισμός;

Πηγή:

Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο «Artis Magnæ», 1545.

Λύση

Ο ένας συνεταιρισμός έχει 6 μέλη και ο άλλος έχει 9 μέλη. Έστω «x» τα μέλη του πρώτου συνεταιρισμού και «x+3» τα μέλη του δεύτερου συνεταιρισμού. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξής εξίσωση:
(2x+3+93)/x=6+(2x+3+93)/(x+3) (1)
(2x+3+93)/x=6+(2x+3+93)/(x+3) ----> (2x+3+93)/x=[6(x+3)+(2x+3+93)]/(x+3) ---->
(2x+3+93)/x=(6x+18+2x+3+93)/(x+3) ---->
(x+3)*(2x+96)=x*(8x+114) ----> 2x^2+96x+6x+288=8x^2+114x ---->
8x^2+114x-2x^2-96x-6x-288=0 ----> 6x^2+12x-288=0 (2)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(-12±sqrt[(12^2)-4*6*(-288)]/2*6 ---->
x=(-12±sqrt[144+ 6.912]/12 ----> x=(-12±sqrt[7.056]/12 ---->
x=(-12± 84)/12
x1= (-12+84)/12 ----> x1=72/12 ----> x1=6 Αποδεκτή. (3)
x2=(-12-84)/12 ----> x2=(-96)/12 ----> x2= - 8 Απορρίπτεται.
Επαλήθευση:
6x^2+12x-288=0 ----> 6*6^2+12*6-288=0 ----> 216+72-288=0

Τα Χρήματα

Δύο φίλοι είχαν κάποια χρηματικά ποσά, έτσι ώστε το άθροισμα των ποσών του δεύτερου ήταν 3 και 1/4 φορές του πρώτου. Εάν οι δύο ποσότητες τους πολλαπλασιάζονταν μεταξύ τους και σ’ αυτό το γινόμενο προστίθεντο οι δύο ποσότητες τα χρηματικά ποσά θα ανέρχονταν σε 142 και 1/2. Πόσα χρήματα είχε ο καθένας;
Πηγή:

Από το βιβλίο του Ουαλού μαθηματικού Robert Record (1510-1558) με τίτλο:

«The Whetstone of Witte – Το Ακονιστήρι της Εξυπνάδας ή Για ν’ Ακονίζετε το Μυαλό σας.», 1557
 Λύση

Συνολικά και οι δύο φίλοι είχαν 25,50 νομίσματα. Ο πρώτος είχε 6 νομίσματα και ο δεύτερος είχε 19,50 νομίσματα. Έστω «Π» τα νομίσματα του πρώτου φίλου και «Δ» τα νομίσματα του δεύτερου φίλου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Δ = 3Π+Π/4 (1)
Π*Δ+Π+Δ=142,50 (2)
Π+Δ=? (3)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
Δ = 3Π+Π/4 (1) ----> Δ = [(3*4Π)+Π]/4 ----> Δ = (12Π+Π)/4 ----->
Δ = 13Π/4 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι΄έχουμε:
Π*Δ+Π+Δ=142,50 ----> Π*13Π/4+Π+13Π/4=142,50 ---->
1*13Π^2+4Π+13Π=4*142,50 ----> 13Π^2+17Π= 570 -----> 13Π^2+17Π-570=0 (5)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
Π={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ---->
Π= -17±sqrt[(17)^2-4*13*(-570)]/2*13 ---->
Π = -17±sqrt[289+29.640]/26 ----> Π = -17±sqrt (29.929)/26 ---->
Π = (-17±173)/26 ----> Π = (-17+173)/26 -----> Π = 156/26 ----> Π = 6 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (4) κι’ έχουμε:
Δ = 13Π/4 ----> Δ = (13*6)/4 ----> Δ= 78/4 ----> Δ= 19,5 (7)
Επαλήθευση:
Π*Δ+Π+Δ=142,50 ----> 6*19,50+6+19,50=142,50 ----> 117+6+19,50=142,50

Τα Καθίσματα

Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει «α» καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά. Η 7^η σειρά έχει 36 καθίσματα και το πλήθος των καθισμάτων του σταδίου είναι 300.

(α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να
αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.

(β)Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά;
Πηγή:

Προβλήματα από το βιβλίο του Ιταλού μαθηματικού Leonardo di Pisa- Leonardo Pisano- (Fibonacci) (1170-1250), «Liber Abaci», 1202.

Λύση

Λύση Ανώνυμος
x: αριθμός καθισμάτων 1ης σειράς
7η σειρά: x+6α=36 ----> 10x+10*6α=10*36 ----> 10x+60α=360 (1)
Συνολικά καθίσματα: x+(x+α)+(x+2α)+...+(x+9α)=300=>10x+α(1+2+..+9)=300 ----> 10x+45α=300 (2)
Αφαιρώντας κατά μέλη την (2) από την (1) κι’ έχουμε:
15α=60 ----> α=4 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
x+6α=36 ----> x+6*4=36 ----> x=12 (4)
Τα καθίσματα του γηπέδου δεν αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου, αφού είναι καθίσματα. Όμως τα πλήθη των καθισμάτων των σειρών του γηπέδου, αποτελούν εξ ορισμού όρους αριθμητικής προόδου, καθώς η κ σειρά έχει 12+4(κ-1) καθίσματα.

Οι Καρέκλες

Σε ένα οικογενειακό δείπνο κάθονται γύρω από το τραπέζι μια οικογένεια που αποτελείται από έναν παππού, μια γιαγιά, δύο πατέρες, δύο μητέρες, τέσσερα παιδιά, τρία εγγόνια, ένας αδερφός, δύο αδερφές, δύο γιοί, δύο κόρες, ένας πεθερός, μια πεθερά και μια νύφη.
Πόσες καρέκλες θα χρειαστούν;

Διευκρίνιση:

Η απάντηση ΔΕΝ είναι 23 καρέκλες!

Λύση

Θα χρειαστούν 7 καρέκλες.,
2 οι παππούς και γιαγιά (που είναι ταυτόχρονα και πατέρας-μητέρα)
2 οι γονείς (που είναι ταυτόχρονα και πατέρα-μητέρα αλλά και παιδι δηλαδή γιος-νύφη)
και 3 παιδιά 2 κορίτσια και 1 αγόρι (που είναι ταυτόχρονα 2 αδερφές και ένας αδερφός)

Τα Κέρματα

Εάν από τέσσερις ανθρώπους:

(α) Ο πρώτος, ο δεύτερος, και ο τρίτος όλοι μαζί είχαν 34 χρυσά νομίσματα.

(β) Ο πρώτος, ο δεύτερος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 73 χρυσά νομίσματα.

(γ) Ο πρώτος, ο τρίτος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 72 χρυσά νομίσματα.

(δ) Ο δεύτερος, ο τρίτος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 88 χρυσά νομίσματα.

Πόσα χρυσά νομίσματα είχε ο καθένας; Και πόσα ήταν συνολικά.

Πηγή:
Από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) «Liber Abbaci = Βιβλίο    Άβακος= Εγχειρίδιο    Αριθμητικής, 1202, β΄ έκδοση, 1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια.», το οποίο  ο Gerolamo Cardano το συμπεριέλαβε στο βιβλίο του: Pratica Arithmeticæ et mensurandi singularis (The Practice of Arithmetic and  Simple Mensuratio), 1539 
https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-gerolamo-cardanos-practica-arithmetice 
Λύση

Συνολικά ήταν 89 χρυσά νομίσματα. Ο πρώτος είχε 1 χρυσό νόμισμα, ο δεύτερος είχε 17 χρυσά νομίσματα, ο τρίτοε είχε 16 χρυσά νομίσματα, και ο τέταρτος είχε 55 χρυσά νομίσματα. Έστω α, β, γ, και δ οι τέσσερις άνθρωποι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
α+β+γ+δ=? (1)
α+β+γ=34 (2)
α+β+δ=73 (3)
α+γ+δ=72 (4)
β+γ+δ=88 (5)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (2), (3), (4), και (5) κι’ έχουμε:
α+β+γ=34
α+β+δ=73
α+γ+δ=72
β+γ+δ=88
3*(α+β+γ+δ)=267 ----> α+β+γ+δ=267/3 -----> α+β+γ+δ=89 (6)
Αντικαθιστούμε τις (2), (3), (4), και (5) στην (6) κι’ έχουμε:
α+β+γ+δ=89 ----> 34+δ=89 ----> δ=89-34 ----> δ=55
α+β+γ+δ=89 ----> 73+γ=89 ----> γ=89-73 -----> γ=16
α+β+γ+δ=89 ----> 72+β=89 ----> β=89-72 ----> β=17
α+β+γ+δ=89 ----> α+88=89 ----> α=89-88 ----> α=1
Επαλήθευση:
α+β+γ+δ=? -----> 1+17+16+55=89 (?)
Ο Cardano προσθέτει απλώς τους τέσσερις αριθμούς μαζί, σημειώνοντας ότι το σύνολο 267, είναι ίσο με το τριπλάσιο του συνόλου. Ως εκ τούτου, ο συνολικός αριθμός των χρυσών νομισμάτων είναι 89 και είναι εύκολο να υπολογιστεί ο αριθμός των χρυσών νομισμάτων που είχε ο καθένας.

Η Απόσταση IV

Σε μια πάροδο ανάμεσα σε δύο σπίτια υπάρχουν δύο σκάλες που στηρίζονται στα 

δύο σπίτια. Η απόσταση ΑΔ είναι 8μ. και η απόσταση ΓΒ είναι 10 μ. Οι σκάλες 

διασταυρώνονται σε ύψος 4μ. από το έδαφος. Πόσο απέχουν τα δύο σπίτια;  

Διαβάστε περισσότερα »

Η Απόσταση ΙΙΙ

Στο ανωτέρω σχήμα , έχουμε δυο πασσάλους με ύψη 10μέτρα και 6μέτρα αντίστοιχα, οι οποίοι συνδέονται με δυο σχοινιά τα ΒΓ και ΑΔ.

(α)Αν η μεταξύ τους απόσταση, ΑΓ είναι ίση με 10μέτρα σε ποιο ύψος από το έδαφος ΑΓ βρίσκεται η τομή των σχοινιών;  (Σχήμα 1)

(β)Αν η μεταξύ τους απόσταση  ΑΓ είναι ίση με 16μέτρα σε ποιο ύψος από το έδαφος βρίσκεται τώρα  η τομή των δυο σχοινιών; (Σχήμα 2)

(γ)Εξηγήστε γιατί η απόσταση των πασσάλων είναι ανεξάρτητη από το ύψος των σχοινιών.

Διαβάστε περισσότερα »

Η Απόσταση ΙΙ

Στο ανωτέρω σχήμα οι ΑΔ και ΒΓ είναι κάθετες στη ΑΒ με ΑΒ=3εκ., ΑΓ=4εκ., και  ΒΔ=5εκ. Να βρεθεί πόσο απέχει το σημείο Ε από την ευθεία ΑΒ.

Πηγή: Άσκηση από διαγωνισμό του Α.Σ.Ε.Π

Διαβάστε περισσότερα »

Η Απόσταση

Δύο κατάρτια ενός πλοίου έχουν ύψος 6μ. και 4μ. αντίστοιχα. Συρμάτινα
καλώδια συνδέουν την κορυφή του καθενός με τη βάση του άλλου.
Τα καλώδια διασταυρώνονται σε ύψος 2,40μ.από το κατάστρωμα του
πλοίου. Σε τι ύψος διασταυρώνονται τα συρματόσχοινα;

Διαβάστε περισσότερα »

Το Καθρεπτιζόμενο Ρολόι

Ο Κώστας ετοιμάζεται για να πάει στο σχολείο. Καθώς ντιυόταν κοιτάζει βιαστικά από τον καθρέφτη του δωματίου του το ρολόι που βρισκόταν στο χωλ και βλέπει μια ώρα που δεν μπορεί να ήταν σωστή, οπότε υπέθεσε λανθασμένα πως το ρολόι ήταν σταματημένο. Ανεβαίνει στο ποδήλατό του και μετά από 20 λεπτά ακριβώς φτάνει στο σχολείο του. Το ρολόι του σχολείο έδειχνε δύο ώρες και τριάντα λεπτά μετά από την ώρα που είδε στον καθρέφτη του σπιτιού του. Τι ώρα έφτασε στο σχολείο; 

Πηγή:http://dimitris-ver.blogspot.com/2013/06/blog-post_101.html

Λύση

Το ρολόι του σχολείου είχε διαφορά 2:30 - 20' = 2 ώρες και 10 λεπτά από το ρολόι του σπιτιού του. Επειδή και τα δύο ρολόγια έδειχναν τη σωστή ώρα πρέπει να βρούμε την ώρα εκείνη της οποίας η κατοπτρική της, δηλαδή η συμμετρική της ως προς τον κάθετο άξονα, θα διαφέρει κατά 2 ώρες και 10 λεπτά. Το μόνο ζευγάρι ωρών που πληροί αυτές τις προϋποθέσεις είναι οι ώρες 4:55 και 7:05. Τα ζευγάρια 10:55 - 1:05 και 11:25 - 1:35 δεν δίνουν ρεαλιστικές ώρες σχολείου. Το δεύτερο μάλιστα έχει και το πρόβλημα που παρουσιάζεται στη συνέχεια. Το ζευγάρι 5:25 - 7:35 δεν είναι κατοπτρικό γιατί οι ωροδείκτες δεν βρίσκονται ακριβώς πάνω στο 5 και στο 7, με αποτέλεσμα τα σωστά ζευγάρια να είναι 4:25 - 7:35 ή 5:25 - 6:35 τα οποίο δεν απέχουν μεταξύ τους κατά 2 ώρες και 10 λεπτά. Έτσι η μόνη ρεαλιστική λύση είναι να έφτασε στο σχολείο στις 7:05 + 20' = 7:25.

Τα Τσουρέκια

Για να μαζέψει λίγα χρήματα ένας σύλλογος αποφάσισε να πουλήσει το Πάσχα τσουρέκια.  Για το σκοπό αυτό αγοράζει 100 τσουρέκια προς 3€ το κάθε ένα και τα μεταπωλεί σε πακέτα που περιέχουν ένα , δύο ή τρία  τσουρέκια με τιμή 5€, 9€ και 13€ αντίστοιχα. Γνωρίζοντας ότι πούλησε όλα τα τσουρέκια σε 67 πακέτα, μπορείτε να βρείτε το κέρδος αυτής της πώλησης;
Πηγή:http://dimitris-ver.blogspot.com/2013/05/blog-post_5423.html
Λύση

Το κέρδος από την πώληση των τσουρεκιών ανήλθε σε 167€. Έστω τα πακέτα ότι είναι Α, Β και Γ στο πλήθος και περιέχουν αντίστοιχα 1, 2 και 3 τσουρέκια. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
Α+Β+Γ=67 (πακέτα) (1)
Α+2Β+3Γ=100 (βασιλόπιτες) (2)
Αφαιρώντας την ισότητα (1) από την ισότητα (2) έχουμε:
Α+2Β+3Γ=100
-Α-Β-Γ= -67
Β+2Γ = 33 ---> 2Γ = 33-Β ----> Γ =(33-B)/2 (3)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Αυτή η ισότητα επιδέχεται 16 λύσεις: (Β=1, Γ=16), (Β=3, Γ=15), (Β=5, Γ=14), ..., (Β=29, Γ=2), (Β=31, Γ=1). Εφ’ όσον ο σύλλογος μάζεψε λίγα χρήματα, διαλέγουμε τη σχέση (Β=1), οπότε έχουμε:
Γ =(33-B)/2 ----> Γ = (33-1)/2 ----> Γ =32/2 ----> Γ = 16 (4)
Αντικαθιστούμε τις τιμές «Β» και «Γ» στην (1) κι’ έχουμε:
Α+Β+Γ=67 ----> Α+1+16=67 ----> Α = 67-17 ----> Α = 50
Κέρδος:
[[(5Α+9Β+13Γ )]-100*3] = [[(5*50)+(9*1)+(13*16)]-300] =250+9+208-300=467-300= 167€.

Ο Μετεωρολόγος

Ένας μετεωρολόγος μετράει κάθε μέρα και επί πέντε μέρες τη θερμοκρασία σε
βαθμούς Κελσίου κάποιου σημείου μιας πόλης και βρίσκει 5 διαφορετικές
θερμοκρασίες, στρογγυλοποιημένες σε ακέραιους αριθμούς. Παρατηρεί επίσης
ότι το γινόμενο αυτών των 5 διαφορετικών θερμοκρασιών είναι ο αριθμός 12.
Ποιες θερμοκρασίες μέτρησε; 

Πηγή:http://dimitris-ver.blogspot.com/2013/05/blog-post_4080.html

Λύση

Μέτρησε τις θερμοκρασίες: -2, -1, 1, 2, 3 βαθμών Κελσίου, όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά. (-2)*(-1)*1*2*3=2*1*2*3=12.

Τα Κέρματα

Κάποιος δαπάνησε το 1/3 των κερμάτων του για αγορές, κατέθεσε τα 2/3 του υπολοίπου των κερμάτων στην τράπεζα, και του έμειναν υπόλοιπο 12 κέρματα. Πόσα κέρματα είχε στην αρχή;

Διευκρίνιση:

Όλα τα κέρματα ήταν αξίας 1€

Από το βιβλίο του Γάλλου μαθηματικού Nicholas Chuquet (1448-1500) με 
τίτλο:«Triparty en la Science des Nombres – Τριμερή στην Επιστήμη 
των Αριθμών»

Λύση

Στην αρχή είχε 54 κέρματα του 1€. Έστω «x» τα κέρματα που είχε στην αρχή. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
x-x/3 (1)
Του έμειναν υπόλοιπο:
x-x/3 ----> (3x-x)/3 ----> 2x/3 κέρματα (2)
Από αυτά, κατέθεσε στη τράπεζα τα 2/3 και του έμειναν 12 κέρματα, οπότε έχουμε την εξίσωση:
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 (3)
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 ----> 2x/3-(4x/9)=12 ----> 3*2x-4x=12*9 ----> 6x-4x=108 ----> 2x=108 ----> x=108/2 ----> x=54 κέρματα (4)
Επαλήθευση:
χ/3=54/3=18 κέρματα, που αντιπροσωπεύουν το 1/3 των αρχικών κερμάτων.
2x/3=(2*54)/3=2*18=36 κέρματα που αντιπροσωπεύουν το 2/3 των αρχικών κερμάτων.
2x/3-(2/3)*(2χ/3)=12 ----> 2*54/3-(2/3)*(2*54)/3=12 ----> 2*18-(2/3)*(2*18)=12 -----> 36-(2*2*18)/3=12 ----> 36-(4*6)=12 -----> 36-24=12

Οι Λίρες

Δύο Άραβες που ταξίδευαν στην έρημο είχαν μαζί τους : ο ένας 3 πίτες και ο άλλος 5 πίτες. Στο δρόμο συνάντησαν έναν πλούσιο αλλά πεινασμένο ταξιδιώτη. Μοίρασαν λοιπόν τις 8 πίτες σε τρία ίσα μέρη και τις έφαγαν. Ο πλούσιος φεύγοντας, άφησε 8 λίρες για να πληρώσει τη μερίδα του. Να βρείτε πόσες από τις λίρες πρέπει να πάρει καθένας από τους δύο Άραβες.
Πηγή:perisan's blog » Blog Archive » Τρεις Άραβες μοιράζονται 8 πίτες

Λύση

Η κάθε πίτα χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη. Έτσι, τα 24 κομμάτια που προκύπτουν μοιράζονται σε τρία ίσα μέρη και τρώει 8 κομμάτια ο καθένας. Ο πρώτος Άραβας είχε 3 πίτες άρα 9 κομμάτια, από τα οποία έδωσε στον ταξιδιώτη 1 κομμάτι αξία μιας λίρας, ενώ τα υπόλοιπα 8 κομμάτια τα έφαγε αυτός. Ο δεύτερος Άραβας είχε 5 πίτες, άρα 15 κομμάτια, από τα οποία έδωσε στον ταξιδιώτη 7 κομμάτια αξίας 7λιρών (7*1), ενώ τα υπόλοιπα 8 κομμάτια τα έφαγε αυτός. Έτσι ο πρώτος Άραβας δικαιούται να πάρει 1 λίρα, ενώ ο δεύτερος 7 λίρες, από τις 8 λίρες που τους έδωσε ο πλούσιος ταξιδιώτης.

Οι Απουσίες

Ο Ανδρέας τελειώνει μια εργασία σε 15 ημέρες. Ο Βασίλης την ίδια εργασία την τελειώνει σε 20 ημέρες. Συμφώνησαν να εργαστούν μαζί για να τελειώσουν αυτή την εργασία. Εάν ο Βασίλης απουσίασε μια ημέρα παραπάνω  από τον Ανδρέα και η εργασία τελείωσε σε 11 ημέρες, να βρείτε πόσες ημέρες απουσίασε ο Ανδρέας και πόσες ημέρες απουσίασε ο Βασίλης.

Λύση

Ο Ανδρέας απουσίασε 2 ημέρες και ο Βασίλης απουσίασε 3 ημέρες Ο Ανδρέας σε μία ημέρα τελειώνει το 1/15 του έργου και ο Βασίλης το 1/20 του έργου, και οι δύο μαζί τελειώνουν τα:
(1/15)+(1/20)=(4/60)+(3/60)=7/60 του έργου
Εάν εργάζονταν και τις 11 ημέρες θα τελείωναν τα:
11*(7/60)=77/60 του έργου
Τις ημέρες που δεν εργάστηκαν μαζί θα τελείωναν τα:
(11-1+7)/60=(10+7)/60=17/60 του έργου
Εάν ο Ανδρέας απουσίασε x ημέρες, τότε ο Βασίλης απουσίασε (x+1) ημέρες. Βάσει των ανωτέρω δεδομένων έχουμε την εξίσωση:
(x/15)+(x+1)/20=17/60 ----> [4x+3*(x+1)]/60=17/60 ---->
4x+3x+3=17 ----> 7x+3=17 ----> 7x=17-3 ----> 7x=14 ----> x=14/7 ----->
x=2
Επαλήθευση:
[4x+3*(x+1)]/60=17/60 ----> [4*2+3*(2+1)]/60=17/60 ----> (4*2+3*3)/60=(8+9)/60=17/60

Το Εμβαδόν

Το ανωτέρω σχήμα αποτελείται από τρία τετράγωνα. Το πιο μικρό έχει περίμετρο 20 εκ. και το μεγάλο έχει περίμετρο 60 εκ. Πόσο είναι το εμβαδόν ​όλου ​του ​σχήματος ​που ​βλέπετε;
Πηγή:Τα θέματα και οι απαντήσεις του 1ου Μαθηματικού Διαγωνισμού «ΚΩΣΤΑΣ ΖΕΡΒΟΣ» 2017 (Α΄ Γυμνασίου)

Λύση

Το εμβαδον του σχήματος είναι 350εκ.^2. Η πλευρά του τετραγώνου «Α» είναι 5εκ., του τετραγώνου «Β» είναι 10εκ. και του τετραγώνου «Γ» είναι 15εκ. Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι τετραπλάσια της πλευράς του (Π=4α). Επομένως, η πλευρά του τετραγώνου Α είναι 5 εκ.(Π=4*5), του Β είναι. 15-5 εκ. = 10εκ. (Π=4*10) και του Γ είναι 15εκ.(Π=4*15).
Υπολογίζουμε τα 3 εμβαδά (Ε=α2):
Α: 25 τετρ. εκ.(Ε=5^2)
Β: 100 τετρ. εκ. (Ε=10^2)
Γ: 225 τετρ. εκ. (Ε=15^2)
ΣΥΝΟΛΟ: Ε=225 + 100 + 25 = 350 τετρ. εκ.