Τα Νομίσματα

Κάποιος πήγε στην αγορά τρεις φορές.

(α)Τη πρώτη φορά, έφερε πίσω τα διπλάσια χρυσά νομίσματα  απ’ όσα είχε πάρει μαζί του.

(β)Τη δεύτερη φορά, πήρε μαζί του το διπλό ποσό του και επέστρεψε με το ίδιο
ποσό συν την τετραγωνική ρίζα του ποσού αυτού επαυξημένου κατά δύο χρυσά νομίσματα

(γ)Όλα αυτά τα διατήρησε  και επέστρεψε στην αγορά με αυτά για τρίτη
φορά και επέστρεψε με το τετράγωνο από αυτά που πήρε μαζί του και 4
επιπλέον χρυσά νομίσματα. Επέστρεψε από την αγορά με επί πλέον 310 χρυσά νομίσματα

Πόσα χρυσά νομίσματα είχε πάρει μαζί του τη πρώτη φορά;

Πηγή:

Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο
«Artis Magnæ», 1545.

Πηγή:The Rules of Algebra: Artis Magnæ

Λύση

Τη πρώτη φορά είχε πάρει μαζί του 7 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα που είχε πάρει μαζί του την πρώτη φορά που πήγε στην αγορά. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(2x+sqrt(2x+2))^2+4-(2x+sqrt(2x+2))=310 (1)
Θέτουμε «ω», όπου 2x+sqrt(2x+2) και έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω (2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
ω^2+4-ω=310 ----> ω^2-ω+4-310=0 -----> ω^2-ω-306=0 (3)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
ω={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> ω=(1±sqrt[(1^2)-4*1*(-306]/2*1 ---->
ω=(1±sqrt[1+1.224]/2 ----> ω=(1±sqrt[1.225]/2 ----> ω=(1±35)/2
ω1= (1+35)/2 ----> ω1=36/2 ----> ω1=18 Αποδεκτή. (4)
ω2=(1-35)/2 ----> ω2= -34/2 ----> ω2= -17 Μη Αποδεκτή (5)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω ----> 2x+sqrt(2x+2) = 18 ----> sqrt(2x+2)=18-2x
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:
sqrt(2x+2)=18-2x ----> (sqrt(2x+2))^2=(18-2x)^2 ----> 2x+2=18^2-2*2*18x+2^2x^2 ---->
2x+2=324-72x+4x^2 -----> 4x^2-72x-2x+324-2=0 ----> 4x^2-74x+322=0 (6)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(74±sqrt[(-74^2)-4*4*322]/2*4 ---->
x=(74±sqrt[5.476-5.152]/8 ----> x=(74±sqrt[324]/8 ----> x=(74±18)/8
x1= (74+18)/8 ----> x1=92/8 ----> x1=11,50 Μη Αποδεκτή. (7)
x2=(74-18)/8 ----> x2= 56/8 ----> x2= 7 Αποδεκτή (8)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε:
2x+sqrt(2x+2) = ω ----> 2x+sqrt(2x+2) = -17 ----> sqrt(2x+2) = -17- 2x
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:
sqrt(2x+2) = -17- 2x ----> (sqrt(2x+2))^2 = (-17- 2x)^2, αδύνατη διακρίνουσα αρνητική
Επαλήθευση:
(2x+sqrt(2x+2))^2+4-(2x+sqrt(2x+2))=310
[2*7+[sqrt[(2*7)+2]]^2+4-[2*7+sqrt[(2*7)+2]]=310
[14+sqrt(14+2)]^2+4-[14+sqrt(14+2)]=310
(14+sqrt(16)]^2+4-[14+sqrt(16)]=310 ----> (14+4)^2+4-(14+4)=310
18^2+4-18=310 ----> 324+4-18=310 ----> 328-18=310 ο.ε.δ.