Τα Καθίσματα

Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει «α» καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά. Η 7^η σειρά έχει 36 καθίσματα και το πλήθος των καθισμάτων του σταδίου είναι 300.

(α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να
αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.

(β)Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά;
Πηγή:

Προβλήματα από το βιβλίο του Ιταλού μαθηματικού Leonardo di Pisa- Leonardo Pisano- (Fibonacci) (1170-1250), «Liber Abaci», 1202.

Λύση

Λύση Ανώνυμος
x: αριθμός καθισμάτων 1ης σειράς
7η σειρά: x+6α=36 ----> 10x+10*6α=10*36 ----> 10x+60α=360 (1)
Συνολικά καθίσματα: x+(x+α)+(x+2α)+...+(x+9α)=300=>10x+α(1+2+..+9)=300 ----> 10x+45α=300 (2)
Αφαιρώντας κατά μέλη την (2) από την (1) κι’ έχουμε:
15α=60 ----> α=4 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
x+6α=36 ----> x+6*4=36 ----> x=12 (4)
Τα καθίσματα του γηπέδου δεν αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου, αφού είναι καθίσματα. Όμως τα πλήθη των καθισμάτων των σειρών του γηπέδου, αποτελούν εξ ορισμού όρους αριθμητικής προόδου, καθώς η κ σειρά έχει 12+4(κ-1) καθίσματα.