Οι Καραμέλες

Η κυρία Μαρία, η γιαγιά της Ιουλίας, της Μαρία και του Στέφανου, είχε στο ντουλάπι της κουζίνας της ένα μεγάλο βάζο με καραμέλες. Μια μέρα η Ιουλία, χωρίς να πει τίποτα σε κανέναν, παίρνει το 1/3 από τις καραμέλες που υπήρχαν στο βάζο. Στη συνέχεια, η Μαρία, χωρίς να πει τίποτα κι’ αυτή σε κανέναν, παίρνει το 1/3 των υπόλοιπων από το βάζο. Τέλος, ο Στέφανος, χωρίς να πει τίποτα κι’ αυτός σε κανέναν, παίρνει το 1/3 των υπόλοιπων αφήνοντας μέσα στο βάζο 40 καραμέλες. Πόσες καραμέλες είχε αρχικά το βάζο; (Κατ.34/Νο.651)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_3437.html

Λύση

Το βάζο είχε 135 καραμέλες. Η Ιουλία πήρε 45 καραμέλες, Η Μαρία πήρε 30 καραμέλες ο Στέφανος πήρε 20 καραμέλες. Στο βάζο έμειναν 40 καραμέλες.. Έστω «α» οι καραμέλες που υπήρχαν στο βάζο στην αρχή. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: α) Η Ιουλία πήρε το 1/3 από αυτές και μένουν υπόλοιπες: α – α/3 = (3α-α)/3 = 2α/3 καραμέλες β)Η Μαρία πήρε το 1/3 από τις υπόλοιπες: (2α/3)*1/3=2α/9καραμέλες και μένουν υπόλοιπες: (2α/3)-(2α/9)= [(3*2α)-2α]/9= (6α-2α)/9= 4α/9 καραμέλες γ)Ο Στέφανος πήρε το 1/3 από τις υπόλοιπες: (4α/9)*1/3=4α/27 καραμέλες και μένουν υπόλοιπες: (4α/9)-(4α/27)=[(3*4α)-4α]/27=(12α-4α)/27=8α/27 καραμέλες Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, έμειναν 40 καραμέλες μέσα στο βάζο έχουμε τη εξίσωση: δ) 8α/27=40 --> 8α=40*27 --> 8α=1.080 --> α=1.080/8 --> α =135 καραμέλες. Επαλήθευση: α) α/3 --> 135/3 = 45 καραμέλες β) 2α/9 --> (2*135)/9 = 2*15 = 30 καραμέλες γ) 4α/27 --> (4*135)/27=4*5=20 καραμέλες Άρα 45+30+20+40=135 καραμέλες ο.ε.δ.

Rebus No.129 (5)

Λύση

Τάβλι [Ταυ(Ρακόρ σύνδεσμος υδροσωλήνα)λι(Kimora-Lee-Simmons=Ηθοποιός)]

Ο Αριθμός

Η Μαρία έγραψε στη σειρά τους εξής 6 αριθμούς:

α,   β,   γ,   6,   δ,   15 

Ο κάθε αριθμός, από τον τρίτο και πέρα, είναι ίσος με το άθροισμα 
των δύο προηγούμενων αριθμών της σειράς. Ο τέταρτος αριθμός είναι 6 και ο έκτος είναι 15. Ποιος είναι ο πρώτος αριθμός της 
σειράς;  (Κατ.34/Νο.650) 
Πηγή:http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2012/05/blog-post_09.html

Λύση

Ο πρώτος αριθμός στη σειρά είναι ο αριθμός μηδέν (0). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α+β=γ (1), β+γ=6 (2), γ+6=δ (3), 6+δ=15 (4). Από τη (4) συνάγουμε ότι: 6+δ=15 --> δ=15-6 --> δ=9 (5) Αντικαθιστούμε τη τιμή του (5) στη (3) κι’ έχουμε: γ+6=δ (3) --> γ=δ-6 --> γ=9-6 --> γ=3 (6) Αντικαθιστούμε τη τιμή του (6) στη (2) κι’ έχουμε: β+γ=6 --> β=6-γ --> β=6-3 --> β=3 (7) Αντικαθιστούμε τη τιμή του (7) στην (1) κι’ έχουμε: α+β=γ --> α=γ-β --> α=3-3 --> α=0 Άρα η σειρά αποτελείται από τους αριθμούς: 0, 3, 3, 6, 9, 15

Η Επαίδευση

α)Ένας μαθητής περνά το 1/3 του χρόνου στον ύπνο.
β)Έχει 3 μήνες διακοπές το καλοκαίρι.
γ)Έχει 2 εβδομάδες διακοπές τα Χριστούγεννα.

δ)Έχει 2 εβδομάδες διακοπές το Πάσχα.
ε)Έχει επίσης 52 Σαββατοκύριακα χωρίς σχολείο.

ζ)Και κάποιες αργίες του έτους:

Σχολείο πάει λιγότερο από  ένα μήνα.

i)Συμφωνείτε;

ii)Πόσες ημέρες; (Κατ.27/Νο.369)

Λύση

Λύση του sw. Θεωρούμε 365 ημέρες το χρόνο. Αφαιρούμε τις ολόκληρες ημέρες που περιλαμβάνουν και τον ύπνο και την ξεκούραση αλλά και τα Σαββατοκύριακα α) 3 μήνες διακοπές το καλοκαίρι σημαίνει 92 ημέρες β) 2+2 εβδομάδες διακοπές Χριστούγεννα-Πάσχα 30 ημέρες γ) 5 ημέρες επίσημες αργίες. Δεν υπολογίζονται οι αργίες που είναι ήδη υπολογισμένες παραπάνω όπως η 15 Αυγούστου ή τα Φώτα Σύνολο ημερών 92+30+5=127 ημέρες Μένουν ακόμα 365-127=238 ημέρες Τα ΣΚ σε αυτές τις ημέρες είναι 238/7=34 εβδομάδες ==> 34 ΣΚ ==> 68 ημέρες Νέο σύνολο 238-68=170 ημέρες Αυτές είναι οι ημέρες σχολείου των παιδιών οι οποίες περιλαμβάνουν 1/3 ύπνου, ξεκούραση, άλλες δραστηριότητες όπως σκάκι, και μάθημα στο σχολείο. Εάν θεωρήσουμε τώρα 6 ώρες μάθημα στο σχολείο (8 το πρωί με 14 το απόγευμα) είναι το 1/4 της ημέρας τότε σε συνεχόμενες μέρες το σχολείο είναι 170/4=42,5 ημέρες εάν πήγαιναν χωρίς διακοπή, μέρα νύχτα, σχολείο τα παιδιά.

Rebus No.128 (6)

Λύση

Γρίφος [Γρι(γρι-γρι = δίκτυ ψαρέματος)φος(Δ.Ε.Η. = φως, ηλεκτρισμός)]

Ο Ελαιοπαραγωγός

Ένας ελαιοπαραγωγός το έτος 2012 παρήγαγε 800κιλά λάδι. Για τη καλλιέργεια του ελαιώνα δαπάνησε 407€ και για τη συγκομιδή του καρπού δαπάνησε 1.050€. Η τιμή πώλησης του λαδιού είναι 2,50€ το κιλό, η οποία συμπεριλαμβάνει φόρο 6%. Να βρείτε: 

α)Πόσα κιλά ήταν οι ελιές της συγκομιδής. 

β)Πόσα κιλά λάδι πρέπει να πωλήσει ο παραγωγός για να καλύψει τα έξοδά του. 

γ)(i)Ποια είναι η αμοιβή του ελαιοτριβείου.

   (ii)Σε τι ποσοστό αντιστοιχεί επί του παραγόμενου λαδιού. 

δ)Πόσα κιλά λάδι θα μείνουν στο παραγωγό μετά τη πώληση λαδιού για τη κάλυψη των εξόδων του. 

Διευκρίνιση: 

α)Τα 20κιλά ελιές παράγουν 5κιλά λάδι.

β)Το ελαιοτριβείο ως αμοιβή κρατάει 2,50κιλά λάδι για κάθε 31,25κιλά λαδιού που παράγει. 

(Κατ.34/Νο.649) 

Λύση

α)Ο παραγωγός συγκέντρωσε από τη συγκομιδή: Κατάταξη: Τα 20κιλά ελιές παράγουν 5κιλά λάδι. x; κιλά ελιές παράγουν 800κιλά λάδι x =(800*0)/5=16.000/5=3.200κιλά ελιές. β)Από τη μικτή τιμή 2,50€/κιλό το λάδι πρέπει ν’ αφαιρέσουμε το 6% που αντιστοιχεί στο φόρο, οπότε έχουμε: 2,50*6%=15/100=0,15€ αξία του φόρου. Άρα  η καθαρή τιμή πώλησης του λαδιού είναι: 2,50-0,15=2,35€/κιλό. Τα έξοδα του παραγωγού ανέρχονται σε: 1.050+407=1.457€ Άρα ο παραγωγός πρέπει να πουλήσει: 1.457:2,35=620κιλά λάδι, για να καλύψει τα έξοδα παραγωγής. γ1)Η αμοιβή του ελαιοτριβίου για τη παραγωγή των 800κιλών λαδιού ανέρχεται σε: Κατάταξη: Για κάθε 31,25κιλά λάδι που παράγει το ελαιοτριβείο αμείβεται με 2,50κιλά λάδι. Για τα 800κιλά λάδι που παρήγαγε το ελαιοτριβείο με x;κιλά λάδι θ’ αμειφθεί. x =(800*2,50)/31,25=2.000/31,25=64κιλά λάδι. γ2)Η ποσότητα της αμοιβής του ελαιοτριβείου επί της παραγωγής του λαδιού αντιστοιχεί σε: Κατάταξη: Τα 800κιλά λάδι αντιστοιχούν στο 100%. Τα 64κιλά λάδι «x» πόσο τοις % αντιστοιχούν; x=(64*100%)/800 --> x=64/800 --> x=0.08 ή 8% δ)Στο παραγωγό έμειναν: 800-(620+64)=800-664=116κιλά λάδι.

Rebus No. 127 (7)

Λύση

Ρέμπους [Ρε(νότα μουσικής)μπους(George Walker Bush-(Junior)-43th President of U.S.A.)]

Η Διανομή

Ένας Δήμος αποτελείται από τρία χωριά: 

Το «Α» με πληθυσμό 1.000 κατοίκους και έκταση 3χλμ^2.

Το «Β» με πληθυσμό 1.500 κατοίκους και έκταση 4χλμ^2.

Το «Γ» με πληθυσμό 2.000 κατοίκους και έκταση 5χλμ^2.

Το Δημοτικό Συμβούλιο αποφάσισε να διανέμει ένα μεγάλο χρηματικό ποσό μεταξύ των τριών χωριών, για διάφορα εγγειοβελτιωτικά έργα, ανάλογα με τον πληθυσμό τους. Όμως μετά από διαμαρτυρίες των κατοίκων του χωριού «Α», άλλαξε την απόφασή του και τελικά η διανομή έγινε ανάλογα με την έκταση του κάθε χωριού. Έτσι με το δεύτερο τρόπο διανομής το χωριό «Α» πήρε 20.000 €  περισσότερα απ’ ότι με τον αρχικό τρόπο διανομής. Να βρείτε: 

α) Πόσο ήταν το συνολικό ποσό που διενεμήθει στα χωριά. 

β) Ποια κοινότητα με το δεύτερο τρόπο διανομής πήρε λιγότερα χρήματα και πόσα Ευρώ λιγότερα;

(Κατ.34/Νο.648)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. α) Συνολικό ποσό 720.000€ β) Το “Γ” παίρνει λιγότερα, 20.000€ λιγότερα Έ στω Χ το ποσό που διανεμήθηκε στα 3 χωριά. Με τον πρώτο τρόπο τα χωριά θα πάρουν: Το “Α” Χ*1.000/(1.000/(1.000+1.500+2.000)=Χ*(1.000/4.500)=2Χ/9, Το “Β” Χ*1.500/4.500=Χ/3, Το “Γ” Χ*2000/4.500=4Χ/9, Με τον δεύτερο τρόπο τα χωριά θα πάρουν: Το “Α” Χ*3/(3+4+5)=Χ*3/12=Χ/4, Το “Β” Χ*4/12=Χ/3, Το “Γ” Χ*5/12=5Χ/12, α) Άρα το “Α” πήρε παραπάνω Χ/4 -2Χ/9 =Χ/36 => Χ/36 =20.000 => Χ=36*20.000=720.000€ β) Το “Α” χωριό παίρνει με τον πρώτο τρόπο 2*720.000/9=160.000€ και με τον δεύτερο τρόπο 720.000/4=180.000€ Το “Β” χωριό παίρνει ίδιο ποσό 720.0000/3=240.000€ Το “Γ” παίρνει με τον δεύτερο τρόπο διανομής λιγότερα, 5Χ/12-4Χ/9=-1/36 =-720.000/36=-20.000€ (Α 20.000, 20.000-20.000=0) Λύση του sw. Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης έχουμε για τον πρώτο τρόπο διανομής τα χωριά να παίρνουν εάν θεωρήσουμε x το συνολικό ποσόν που θα μοιραστεί και 4,5 μέρη που πρέπει να χωριστεί το ποσόν αυτό, αφού έχουμε 1+1,5+2=4,5 η αναλογία πληθυσμού. Α=x*10/45 Β=x*15/45 Γ=x*20/45 Και αντίστοιχα για το δεύτερο τρόπο διανομής με 12 μέρη που θα χωριστεί το ποσόν ανάλογα με την έκταση Α=x*3/12 Β=x*4/12 Γ=x*5/12 Εάν εξισώσουμε τώρα τις δύο περιπτώσεις του χωριού Α θα έχουμε x*(10/45)+20.000=x*(3/12) -->(10x+900.000)/45=3x/12 --> (10x+900.000)/3x=45/12 --> 10+(900.000/x)=135/12 --> 900.000/x=(135/12)-10 --> x*[(135/12)-10]=900.000 --> x*[(135-10*12)]=900.000*12 --> x(135-120)=10.800.000 --> 15x=10.800.000 --> x=10.800.000/15 --> x=720.000€ το ποσό που θα μοιραστεί. Με τον πρώτο τρόπο θα πάρουν: Α=160.000€ Β=240.000€ Γ=320.000€ Με τον δεύτερο τρόπο θα πάρουν: Α=180.000€ Β=240.000€ Γ=300.000€ Αδικημένο με τον δεύτερο τρόπο είναι το χωριό Γ που θα χάσει 20.000€ και θα τα πάρει το χωριό Α. Το χωριό Β και με τους δύο τρόπους θα πάρει τα ίδια χρήματα. Λογικό αφού και με τους δύο τρόπους παίρνει το 1/3 του συνόλου.

Rebus No.126 (6,4)

Λύση

Πάρθια Βέλη [Πάρθιον Βέλος: Παροιμιώδης έμεινε η φράση «Πάρθια βέλη», που σημαίνει ξαφνικό, απροσδόκητο , αιφνιδιαστικό, ύπουλο χτύπημα, μεταφορικά. προσβολή με λόγια. Η φράση προέρχεται από την τακτική των Πάρθων ιππέων να γυρίζουν απότομα το σώμα τους και να χτυπούν τους αντιπάλους με τα τόξα, ενώ οπισθοχωρούσαν. Οι κάτοικοι της Παρθίας πολεμούσαν έφιπποι με τόξα και βέλη ,έχοντας μια ιδιόρρυθμη πολεμική τακτική. Κατά τις συγκρού-σεις τους οπισθοχωρούσαν ,δίνοντας την εντύπωση στους αντιπάλους τους ότι εγκατα-λείπουν τη μάχη, ενώ στην πραγματικότητα ανασυντάσσονταν και επιτίθεντο εκ νέου σημαδεύοντας τους με τα βέλη τους με καταπληκτική επιτυχία. Οι Πάρθοι (από το 247π.Χ. μέχρι το 224 μ.Χ.) κατοικούσαν στη Ν.Δ. Ασία, στην Κασπία θάλασσα, ανατολικά και βόρεια του σημερινού Ιράν μέχρι το Κιργιστάν. Η Παρθία βρισκόταν στη σημερινή περιοχή Χορασάν, στο βορειοανατολικό άκρο, της Περσίας (σημερινό Ιράν).

Το Αυτοκίνητο

Ένα αυτοκίνητο διανύει τα 1.200μ. σε  54 δευτερόλεπτα. Να βρείτε: 
α)Πόσα χιλιόμετρα την ώρα είναι η  ταχύτητά του. 
β)Μέχρι πόσο τοις «%»  μπορεί να αυξήσει την ταχύτητά του ώστε να μην
υπερβεί το όριο ταχύτητας που είναι 90χιλιόμετρα την ώρα. (Κατ.34/Νο.647)

Λύση

Λύση του sw. α) Μετατρέπουμε τα μέτρα σε χιλιόμετρα και την ώρα σε δευτερόλεπτα, κι’ έχουμε: Τα 1.200m αντιστοιχούν σε 1.200/1.000=1,2Κm. Η μια ώρα αντιστοιχεί σε 60*60=3.600 δευτερόλεπτα. Κατάταξη: Σε 54 δευτερόλεπτα διανύει 1,2χιλιόμετρα Σε 3.600 δευτερόλεπτα δυανύει πόσα «x» χιλιόμετρα; x=1,2*(3.600/54) --> x= 4320/54 --> x=80Km/h β) Για τη διαφορά των 10Km/h, από 80Km/h σε 90Km/h το ποσοστό της αύξησης είναι: Κατάταξη: Στα 80Km/h έχουμε αύξηση 100 Στα 10Km/h πόση «χ» αύξηση έχουμε; x=100*10/80 --> x=1.000/80 --> x=12,50% Αυτό σημαίνει ότι με 12,50% αύξηση στην ταχύτητά του θα πιάσει ακριβώς το όριο. Με οποιοδήποτε ποσοστό από το 12,50% και πάνω ξεπερνάει το όριο.

Τα Μπισκότα

Η κυρία Μαρία μόλις έβγαλε από το φούρνο τα μπισκότα που έφτιαξε,τα οποία είναι λιγότερα από 50, και ευωδίασε όλο το σπίτι. Τα παιδιά της και οι φίλοι τους αμέσως τρέξανε να πάρουνε για να φάνε. Αντιμετωπίζει όμως το εξής πρόβλημα:

Εάν τα μοιράσει εξίσου σε τέσσερα παιδιά της περσσεύει ένα.
Εάν τα μοιράσει εξίσου σε πέντε παιδιά της περσσεύουν τέσσερα.
Εάν τα μοιράσει εξίσου σε επτά παιδιά δεν της περσσεύει κανένα.
Πόσα μπισκότα έφτιαξε; (Κατ.34/Νο.646)

Λύση

Λύση του Papaveri. Η κυρία Μαρία έφτιαξε 49 μπισκότα. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: ω=4α+1 (1), ω=5β+4 (2), ω=7γ (3). Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) και στη (2)κι’ έχουμε: Α)ω=4α+1 --> 7γ=4α+1 --> γ=(4α+1)/7 (4), Β)ω=5β+4 --> 7γ=5β+4 --> γ=(5β+4)/7 (5). Διερεύνηση: Στις (4) και (5) λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «α» και «β» τις τιμές από το 1 έως το «ν», με δοκιμές βλέπουμε ότι η μοναδικές τιμές που ικανοποιεούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «γ», με «ω» μικρότερο του 50, είναι ο αριθμός α=12 για το (4)και β=9 για το (5). Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στη (4) και τη τιμή του «β» στη (5) κι’ έχουμε: γ=(4α+1)/7 --> γ=((4*12)+1)/7 --> γ=(48+1)/7 --> γ=49/7 --> γ=7 (6) γ=(5β+1)/7 --> γ=((5*9)+1)/7 --> γ=(45+4)/7 --> γ=49/7 --> γ=7 (7) Επαλήθευση: ω=4α+1 --> ω=[(4*12)+1] --> ω=48+1 --> ω=49 ω=5β+4 --> ω=[(5*9)+4] --> ω=45+4 --> ω=49 ω=7γ --> ω=7*7 --> ω=49 Λύση του batman1986. Η κυρία Μαρία έφτιαξε 49 μπισκότα. Aπό τα δεδομένα προκύπτει ότι: λ=4α+1 (1) λ=5β+4 (2) λ=7γ (3) Άρα: λ+3=4*(α+1) λ+1=5*(β+1) λ=7γ Προκύπτει λ=49 αφού επαληθεύονται τα παραπάνω λ=49 50=5*10 52=4*13 Αυτη είναι η ελάχιστη λύση,δεν είναι μοναδική. Γενικά ισχύει για γ = 7,17,27,37,...n

Rebus No. 125 (8,6)

Λύση

Αρκτικός Κύκλος [Αρκτοι*(μαρμάρινα κορίτσια του 4π.Χ.)κως(νησί των Δωδεκανήσων) Κυκλος(της ζωής)] *Μικρές άρκτοι, χαριτωμένες «αρκουδίτσες» όπως τις ονόμαζαν οι αρχαίοι πρόγονοι, μαρμάρινα κορίτσια του 4ου αιώνα π.Χ. με τρυφερό βλέμμα, πλεξούδες στα μαλλιά και πτυχωτούς χιτώνες -ορισμένα κρατούν ζωάκια στα χέρια τους- σχημάτιζαν πομπή προς τη θεά Βραυρωνία Αρτεμιδα. ΑΡΚΤΙ[μικρές άρκτοι(άρκτος, ονομασία που έδωσαν οι αρχαίοι Έλληνες στα νεαρά κορίτσια τα οποία έκαναν κινήσεις ανάλογες με της αρκούδας (άρκτου) στην τελετή της γιορτής των Βραυρωνίων, στην οποία τιμούσαν τη θεά Άρτεμη. Η τελετή γινόταν στη Βραυρώνα της Αττικής κάθε 5 χρόνια, πιθανότατα το καλοκαίρι.]ΚΟΣ[Κως, όπου βρίσκεται το πρώην μουσουλμανικό τέμενος και νυν ..καφετέρια) ΚΥΚΛΟΣ[κύκλος της ζωής σε...ρόδες, από το μαιευτήριο έως την νεκροφόρα(μακριά από εμάς)

Η Στρατηγική

Είστε «n» άτομα σε ένα δωμάτιο και παίζετε το εξής υποθετικό παιγνίδι:

Κάθε ένας από εσάς καλείται να επιλέξει έναν αριθμό από το 1 έως το 100, χωρίς να γνωρίζει τις απαντήσεις των άλλων.

Κάποιος που σημειώνει τις απαντήσεις όλων, παίρνει τον μεγαλύτερο αριθμό που επιλέχτηκε, τον διαιρεί δια του δύο και σε αυτόν που έχει πλησιάσει περισσότερο δίνει το ποσό που επέλεξε σε χιλιάδες ευρώ.

Π.χ. Εάν η μέγιστη επιλογή ήταν το 100 τότε αυτός που επέλεξε 50 κερδίζει 50.000€!! Σε περίπτωση ισοπαλίας τα κέρδη μοιράζονται μεταξύ των νικητών.

 Εσείς ποιον αριθμό θα επιλέγατε; (Κατ.27/Νο.368)

Πηγή:http://aplamathimatika.blogspot.gr/2011/05/blog-post_13.html

Λύση

Λύση του sw. Πολύ περίεργο παιχνίδι. Γιατί κάποιος να διαλέξει αριθμό μεγαλύτερο από 50 αφού το 50 στη μέγιστη επιλογή του 100 θα κερδίσει; Και πάλι όμως εάν όλοι σκεφτούν έτσι γιατί να διαλέξουν κάτι παραπάνω από 25 αφού εάν όλοι διαλέξουν 50 με το σκεπτικό του μέγιστου κέρδους τότε θα κερδίσει το 25. Εάν συνεχίσουν οι παίχτες να σκέφτονται έτσι τότε μάλλον θα κερδίσει κάτι μεταξύ 1-3. Εκτός και εάν συνεννοηθείς με κάποιον στο παιχνίδι να πει το 100, εσύ το 50 και μετά μοιράζεστε τα 50 χιλιάρικα. Λύση του batman1986. Aν έχουμε τυχαία επιλογή από τους άλλους θα έλεγα γύρω στο 25. Όμως αν σκέφτονται όμως όλοι λογικά τότε συμπεραίνουμε: Ολοι σκέφτονται ότι κανείς δεν θα πάρει το 100 αφού αν κάποιος το πάρει είναι σίγουρα χαμένος(ο μέγιστος δυνατός αριθμός διαιρείται με 2 άρα 50.Οι υπόλοιποι αν παρουν κάποιον από 1 εώς 99 τότε αυτός που πήρε 100 σίγουρα χάνει) Απορρίποτοντας το 100 ο μέγιστος πλέον 99.Την ίδια σκέψη μπορούμε να κάνουμε για αυτόν όμως.Αν κάποιος πάρει από 1 εώς 98 τότε αυτός που πήρε 99 σίγουρα χάνει .Αφού 99/2=49,5 Οπότε οι ακραίες περιπτώσεις 1 και 98 είναι πιο κοντά στον 49,5 απ΄ότι ο 99 Ομίως αφού φεύγει ο 98 το ίδιο ισχύει για τον 97 που είναι μέγιστος πλέον κ.ο.κ.Άρα απορρίπτονατι όλοι οι αριθμοί και προκύπτει ότι μας συμφέρει να επιλέξουμε 1 αφού όλοι σκέφτονται λογικά.Αφού πιστεύουμε ότι όλοι θα επιλέξουν 1 πρέπει και μεις να πάρουμε το 1.Αφούν αν πάρουμε άλλο αριθμό τότε σίγουρα χάνουμε αφού θα είμαστε ο μέγιστος,θα διαιρεθούμε με το 2 και αυτό που θα προκύπτει θα είναι πάντα πιο κοντά στο 1 Άρα με αυτή τη λογική μήπως πρέπει να πάρουμε τον άσσο??

Rebus No.124 (10,10)

Λύση

Παγκόσμιος Στρατιώτης* [Παγκόσμιος(χάρτης) Στρατιώτης] *Κινηματογραφική ταινία του 2009 με τους ηθοποιούς: Ζαν Κλοντ Βαν Νταμ, Ντολφ Λούντγκρεν, Αντρέι Αρλόφσκι, Μάικ Πάιλ. σκηνοθεσία: Τζον Χάιαμς

Οι Μαθητές

Από τους μαθητές ενός σχολείου, οι 180 μαθητές έχουν επιλέξει ως ξένη γλώσσα τα γαλλικά ενώ οι υπόλοιποι μαθητές που αποτελούν τα 2/5  του συνόλου των μαθητών του σχολείου, έχουν επιλέξει αγγλικά. 

(α)Να βρείτε το σύνολο των μαθητών του σχολείου. 

(β)Την επόμενη χρονιά οι μαθητές που επέλεξαν γαλλικά, αυξήθηκαν κατά 10%, ενώ όλοι οι υπόλοιποι επέλεξαν αγγλικά. Εάν ο συνολικός αριθμός των μαθητών του σχολείου παρέμεινε ο ίδιος, σε τι ποσοστό επί τοις % μειώθηκε ο αριθμός των μαθητών που επέλεξαν αγγλικά; (Κατ.34/Νο.645)
Πηγή:Παράρτημα Ε.Μ.Ε. – Διαγωνισμός Α΄ Γυμνασίου - 2013

Λύση

(α)Το σύνολο των μαθητών του σχολείου ανέρχεται σε 300 μαθητές. (β)Ο αρχικός αριθμός των μαθητών που επίλεξαν την Αγγλική γλώσσα μειώθηκε κατά 15%. Έστω «α» οι μαθητές του σχολείου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α-180=2α/5 --> 5*(α-180)=2α --> 5α-900=2α --> 5α-2α=900 --> 3α=900 --> α=900/3 --> α=300 (1) Άρα από τους 300 μαθητές οι 180 μαθητές επίλεξαν την Γαλλική γλώσσα και οι υπόλοιποι 120, που αποτελούν τα 2/5 του συνόλου των μαθητών, επίλεξαν την Αγγλική γλώσσα. Την επόμενη χρονιά οι 180 που επίλεξαν την Γαλλική γλώσσα αυξήθηκαν κατά 10%, ήτοι: 10%*180=18μαθητές Άρα το σύνολο των μαθητών που επίλεξαν την Γαλλική γλώσσα ανήλθε σε: 180+18=198 μαθητές Οπότε έχουμε: Γαλλική Γλώσσα=180+18=198 μαθητές Αγγλική Γλώσσα=120-18=102 μαθητές Δηλαδή έχουμε μία μείωση της τάξης του: 18/120=0,15 ή 15% Επομένως οι 120 μαθητές που επίλεξαν την Αγγλική γλώσσα, την προηγούμενη χρονιά, μειώθηκαν κατά 15% τον επόμενο χρόνο.

Η Σκάλα

Μία σκάλα έχει 5 σκαλοπάτια. Ανεβαίνουμε και κατεβαίνουμε τη σκάλα πατώντας μία φορά σε κάθε σκαλοπάτι (χωρίς να πατάμε στο έδαφος), μετρώντας 1 για το 1^ο σκαλοπάτι, 2 για το 2^ο , κλπ μέχρι το 5 για το 5^ο. Στο έκτο βήμα, αρχίζουμε και κατεβαίνουμε μετρώντας 6 για το 4^ο σκαλοπάτι, 7 για το 3^ο, κλπ. Όταν μετρήσουμε μέχρι το 1.000 σε ποιο σκαλοπάτι θα βρισκόμαστε;(Κατ.3/Νο.26)

Πηγή: Παράρτημα Ε.Μ.Ε. – Διαγωνισμός Α΄ Γυμνασίου - 2013

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Στο δεύτερο σκαλοπάτι.Ο πρώτος «κύκλος» ανέβα-κατέβα είναι 9 πατήματα και οι υπόλοιποι «κύκλοι» 8 πατήματα ο καθένας συν τα τελευταία πατήματα, έστω «α». Όπου «α» μεγαλύτερο η ίσο του μηδενός και «α» μικρότερο του οκτώ, άρα ισχύει: 1.000 = 1+8κ+α --> 8κ+α=999 --> 124*8+7=999 Άρα στο χιλιοστό πάτημα θα βρισκόμαστε στον 7ο του τελευταίου κύκλου, δηλαδή, στο 2ο σκαλοπάτι. Ή με χρήση mod, 999mod8 =(ισοδύναμο) 7mod8, άρα στο 2 σκαλοπάτι. Λύση του Papaveri. Το δεύτερο σκαλοπάτι είναι το χιλιοστό. Και τούτο, διότι κατά την αρίθμηση το 1o σκαλοπάτι καταμετρήθηκε ως 1ο, 9ο, 17ο,...,n-oστό. Οι ανωτέρω όροι αποτελούν αριθμητική πρόοδο με: Πρώτο όρο: α=1 Λόγο: ω=8 ν =μικρότερο ή ισο του 1.000 Τελευταίο όρο: τ=; Από το τύπο τ=[α+(ν-1)*ω] βρίσκουμε το τελευταίο όρο της αριθμητικής πορόδου. Το «ν» είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 1+(ν-1)*8μικρότερο ή ισο του 1.000 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του (1.000-1)/8 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του 999/8 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του 124,075 --> (ν)μικρότερο ή ισο του 124,075+1 --> (ν) μικρότερο ή ισο του 125,075 Άρα ν=125. Οπότε έχουμε: τ=[α+(ν-1)*ω] --> τ=[1+(125-1)*8] --> τ=[1+(124)*8 ] --> τ = 1+992 --> τ=993 Επομένως ο αριθμός 993 αντιστοιχεί στο πρώτο σκαλοπάτι και απομένουν 7(1.000-993) αριθμοί μέχρι το 1.000, που πολύ εύκολα, κάνοντας την αντίστοιχία, βρίσκουμε ότι ο αριθμός 1.000 αντιστοιχεί στη δεύτερο σκαλοπάτι.

Οι Αριθμοί

Το άθροισμα δυο αριθμών είναι 45 Το άθροισμα του λόγου τους και του αντίστροφου του λόγου τους είναι 2,05. Ποιοι είναι οι αριθμοί; (Κατ.34/Νο.644)
Πηγή:Εισαγωγικές Εξετάσεις στη Σχολή Ικάρων, 1967

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω α και β οι αριθμοί α+β=45 => β=45-α (1) α/β+β/α=2,05 =>α^2+β^2=2,05*αβ =>(α+β)^2-2αβ= 2,05*αβ => 45^2 =4.05αβ =>αβ=2025/4.05=500 (2), αντικαθιστώ το β από(1) στην (2) α*(45-α)=500 => α^2-45α+500=0 => α=[45+ή-((-45)^2-4*500)^0,5]/2, άρα α=25 ή α=20 και β=20 ή β=25 αντίστοιχα. Λύση του sw. Από την εκφώνηση έχουμε (i)α+β=45 και (ii)(α/β)+(β/α)=2,05 Λύνουμε τη (ii) και έχουμε (α/β)+(β/α)=2,05==>α^2+β^2=2,05αβ==>(α+β)^2-2αβ=2,05αβ (από την ταυτότητα: (α+β)^2=α^2+β^2+2αβ) Σε συνδυασμό με την (i) έχουμε 4,05αβ=2025==>αβ=500 Οι δύο καινούργιες σχέσεις που έχουν διαμορφωθεί τώρα είναι (1) α+β=45 και (2) αβ=500==>α=500/β Έτσι με αντικατάσταση στην (1) έχουμε (500/β)+β=45==>(500+β^2)/β=45==> β^2-45β+500=0 Βρίσκουμε διακρίνουσα και ρίζες Δ=Β^2+4αγ=25>0. Δύο ρίζες οι οποίες είναι οι (-β+sqr(Δ))/2 και (-β-sqr(Δ))/2 και εάν λύσουμε αντίστοιχα (45+5)/2=25 και (45-5)/2=20 άρα οι πιθανές λύσεις είναι α=20, β=25 ή α=25, β=20.

Rebus No. 123 (8)

Λύση

Φαντομάς* [Φαντομ(Τύπος μαχητικού αεροπλάνου)ας] *Ο Φαντομάς είναι ένας φανταστικός χαρακτήρας που δημιουργήθηκε το 1911από τους Γάλλους συγγραφείς Marcel Allain (1885-1969) και Pierre Souvestre (1874-1914). Ένας από τους πιο δημοφιλείς χαρακτήρες στην ιστορία της γαλλικής αστυνομικής λογοτεχνίας. Κυκλοφόρησαν 32 τόμοι (1911-1913) με τους δύο συγγραφείς μαζί. Μετά το θάνατο του Pierre Souvestre κυκλοφόρησαν άλλοι 11 τόμοι (1913-1963) από τον συγγραφέα Marcel Allain Από τη λογοτεχνία μεταπήδησε στον κινηματογράφο με τον (Louis de Funes) και αργότερα στη τηλεόραση.

Ο Αγρότης ΙΙ

Υποθέτουμε ότι 7 κατσίκες σε 5 μέρες δίνουν τόση ποσότητα γάλατος όση 2 αγελάδες σε 7 μέρες. Επίσης 4 κατσίκες σε 3 μέρες δίνουν 28,8 κιλά γάλα. Εάν από 100κιλά γάλα παίρνουμε 4κιλά βούτυρο, να υπολογίσετε την ποσότητα του βουτύρου που θα παράγει σε 10 μέρες ένας αγρότης που συντηρεί 3 αγελάδες και 15 κατσίκες.(Κατ.34/Νο.643) 
Διευκρίνιση: 
Θεωρούμε ότι :
Όλες οι αγελάδες παράγουν την ίδια ποσότητα γάλατος μεταξύ τους.
Όλες οι κατσίκες παράγουν την ίδια ποσότητα γάλατος μεταξύ τους.
Η ποσότητα του βουτύρου που παίρνουμε δεν εξαρτάται από το είδος του γάλατος.

Λύση

Σε 10 ημέρες θα παράξει 21,60κιλά βούτηρο. Έστω «χ» και «ψ» η ημερησία παραγωγή γάλακτος κατσίκας και αγελάδας αντίστοιχα. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε. Από το πρώτο δεδομένο ισχύει: 7*5*χ=2*7*ψ --> 35*χ=14*ψ --> ψ=35*χ/14 --> ψ=2,50*χ (1) Από το δεύτερο δεδομένο ισχύει: 4*3χ=28,80 --> 12*χ=28,80 --> χ=28,80/12 --> χ=2,40κιλά γάλα ημερησίως (2) Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε: ψ=2,50*χ --> χ=2,50*2,40 --> ψ=6κιλά γάλα ημερησίως Επομένως ο αγρότης με τις 3 αγελάδες και τις 15 κατσίκες παράγει ημερησίως: 3*ψ+15*χ=(3*6)+(15*2,40)=18+36=54κιλά γάλα Εφόσον εξ’ ορισμού γνωρίζουμε ότι από 100κιλά γάλα παράγει 4κιλά βούτυρο θα βρούμε πόσα κιλά βούτυρο παράγει ημερησίως από τα 54κιλά γάλα που παράγουν οι αγελάδες και οι κατσίκες μαζί. Κατάταξη: Από τα 100κιλά γάλα παράγει 4κιλά βούτηρο. Από τα 54κιλά γάλα πόσα (x)κιλά βουτυρο παράγει; x = (54*4)/100 --> x = 216/100 --> x = 2,16κιλά βούτυρο ημερησίως Επομένως σε 10 ημέρες θα παράξει: 2,16*10=21,60κιλά βούτυρο.

Rebus No.122 (5)

Λύση

Φάσμα [Φ(Χρυσή Τομή=1,618)ασμα(Άσμα αλ-Άσαντ=σύζυγος του Προέδρου της Συρίας Μπασάρ αλ Άσαντ)]

Ο Ελαιοχρωματιστής II

Ένας ελαιοχρωματιστής σε 3,5ώρες βάφει 45,5τ.μ. Άρχισε να εργάζεται το πρωί στις εννιά παρά τέταρτο και δούλεψε συνεχώς μέχρι τις έντεκα και είκοσι. Μετά έκανε διάλειμμα μισής ώρας και ξανάρχισε να εργάζεται μέχρι τις δύο και μισή το μεσημέρι. Εάν η αμοιβή του είναι 0,60€ το τετραγωνικό μέτρο, πόσα Ευρώ πρέπει να πληρωθεί; (Κατ.34/Νο.640-Παραλλαγή) 
Διευκρίνιση: 
Θεωρούμε ότι ο ελαιοχρωματιστής βάφει με τον ίδιο ρυθμό όλες τις ώρες.

Λύση

Λύση του sw. Ο ελαιοχρωματιστής δούλεψε από τις 8:45-11:20, δηλαδή 2 ώρες και 35 λεπτά ή 155 λεπτά και από τις 11:50-14:30, δηλαδή 2 ώρες και 40 λεπτά ή 160 λεπτά και συνολικά 315 λεπτά. Έχουμε με απλή μέθοδο των τριών. Σε 210 λεπτά βάφει 45,50 τ.μ. Σε 315 λεπτά πόσα (x)τ.μ.βάφει; (φαίνεται αμέσως ότι βάφει 1,5 φορά επάνω, αλλά ας κάνουμε τυπικά την πράξη) x=(45,50*315)/210 --> x=14332,50/210 --> x=68,25τ.μ. Tελικά θα πληρωθεί: 68,25*0,60=40,95€