Στην Λοξολάνδη διεξήχθη δημοψήφισμα για την φίμωση των ροζ
παπαγάλων. Στο χωριό Άνω Ραχούλα ψήφισαν «κ» άτομα, όπου «κ» είναι τετραψήφιος αριθμός
και παράλληλα τέλειο τετράγωνο, ενώ στο διπλανό χωριό, την Κάτω Ραχούλα, ψήφισαν «λ» άτομα, όπου ο «λ» είναι
επίσης τέλειο τετράγωνο και προκύπτει εάν αυξήσουμε τα ψηφία
του αριθμού «κ» κατά μια μονάδα.
Πόσοι ψήφισαν σε κάθε χωριό; (Κατ.34)
Ο δήμαρχος της Άνω Ραχούλας Μπόρις Καλοχαιρέτας
ρωτήθηκε από τους
δημοσιογράφους για το αποτέλεσμα του δημοψηφίσματος και ως συνήθως
απάντησε κάτι άλλο.
-«Να σας πω. Η ηλικία μου είναι
ένας πρώτος αριθμός που όταν διαιρεθεί με την ηλικία του εξάχρονου εγγονού μου δίνει πηλίκο 14»
Ποια είναι η ηλικία του δήμαρχου Καλοχαιρέτα; (Κατ.34)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/06/blog-post_25.html
(α)Από την Άνω Ραχούλα ψήφισαν 2.025 άτομα και από την Κάτω Ραχούλα ψήφισαν 3.136 άτομα. Εάν κ=α^2 και λ=β^2, τότε από υπόθεση προκύπτει η σχέση:
β^2-α^2=1.111 ή (β-α)(β+α)=11*101
Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 11 και 101 είναι πρώτοι αριθμοί και επειδή β-α<β+α
διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:
(Ι)β-α=1 (1)
β+α=1.111 (2)
(ΙΙ)β-α=11 (1)
β+α=101 (2)
Το σύστημα (Ι) δίνει:
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
β-α=1
β+α=1.111
2β=1.112 ---> β=1.112/2 ---> β=556 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β-α=1 ---> 556-α=1 ---> α=556-1 ---> α=555 (4)
Και τα δύο αποτελέσματα απορρίπτονται καθώς τα τετράγωνα τους έχουν περισσότερα από 4 ψηφία.
Το σύστημα (ΙΙ) δίνει:
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
β-α=11
β+α=101
2β=112 ---> β=112/2 ---> β=56 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β-α=11 ---> 56-α=11 ---> α=56-11 ---> α=45 (4)
Οι λύσεις είναι δεκτές καθώς:
45^2=2.025 και 56^2=3.136
Επαλήθευση:
κ=α^2 ---> κ=45^2 ---> κ=2.025
λ=β^2 ---> λ=56&2 ---> λ=3.136
(Ι)β-α=1 ---> 556-555=1
β+α=1.111 ---> 556+555=1.111
(ΙΙ)β-α=11 ---> 56-45=11
β+α=101 ---> 56+45=101
(β)Ο δήμαρχος είναι 89 ετών. Αν «η» η ηλικία του Καλοχαιρέτα, τότε από υπόθεση προκύπτει, βάσει του τύπου της "Ευκλείδειας Διαίρεσης":
Διαιρετέος=(διαιρέτης*πηλίκο)+υπόλοιπο ---> Δ=(δ*π)+υ, όπου υ<δ
έχουμε:
η=14*6+υ, όπου 0≤υ<δ
Διερεύνηση:
Για υ=0, υ=1, υ=2, υ=3, υ=4 έχουμε:
η=84, η=85, η=86, η=87, και η =88
οι αριθμοί «η» που προκύπτουν δεν είναι πρώτοι αριθμοί.
Για υ=5, έχουμε:
η=(14* 6) +5= 89
Ο αριθμός 89 είναι πρώτος αριθμός.
Αναρτήσεις
