Το Άθροισμα των Ηλικών

Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041.

i)Να βρείτε το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών.

ii)Μετά από πόσα χρόνια το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών
θα είναι ίσο με την ηλικία που θα έχει τότε η μητέρα τους; (Κατ.34)

Πηγή:5^ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016

Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDalVsNks4SHpRY0k/view

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
41.041=7*11*13*41
Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι 7, 11, και 13 αντιστοίχως και της μητέρας η ηλικία είναι 41.
Το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών είναι:
7+11+13=31
Παρατηρούμε ότι για κάθε χρόνο που περνάει, η ηλικία της μητέρας αυξάνεται κατά μια μονάδα, ενώ το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών αυξάνεται κατά 3 μονάδες.
Επομένως η διαφορά είναι:
41-31=10 μονάδες.
Η οποία μειώνεται κατά 2 μονάδες.
Άρα σε:
10:2=5 χρόνια το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών θα είναι ίσο με την ηλικία που θα έχει τότε η μητέρα τους.
Αλλιώς, με χρήση μεταβλητών έχουμε:
41+x=31+3x ----> 41-31=3x-x ----> 2x=10 ----> x=10/2 ----> x=5
Επαλήθευση:
41+x=31+3x ----> 41+5=31+3*5 ----> 46=31+15

Αγώνες Ξιφασκίας

Από αριστερά προς τα δεξιά:

Athos, Porthos, Aramis, d’Artagnan

Σχέδιο του Μορίς Λελουάρ, 1894

Ο Άθως, ο Πόρθος, ο Άραμις και ο ντ' Αρτανιάν κατέλαβαν τις τέσσερις πρώτες θέσεις στους βασιλικούς αγώνες ξιφασκίας.
Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Άθως, ο Πόρθος και ο ντ' Αρτανιάν ήταν 6.
Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Πόρθος και ο Άραμις ήταν επίσης 6.
Ποιες ήταν οι θέσεις κάθε σωματοφύλακα, αν γνωρίζουμε ότι ο Πόρθος είχε καλύτερη θέση από τον Άθω; (Κατ.34)

Πηγή:Περιοδικό Quantum (Τόμος 8/Tεύχος 2 Μάρτιος/Απρίλιος,2001)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2016/10/blog-post_87.html

Λύση

Η μόνη τριάδα που το άθροισμα της ισούται με 6 είναι η 1, 2, 3. Άρα ο τέταρτος ήταν ο Άραμις. Οι δύο θέσεις που μας δίνουν άθροισμα έξι είναι αναγκαστικά οι θέσεις 2, και 4. Άρα αφού ο Άραμις είναι τέταρτος τότε ο Πόρθος είναι ο δεύτερος. Ο Άθως είναι μετά τον Πόρθο, άρα θα είναι τρίτος και έτσι πρώτος θα είναι ο ντ' Αρντανιάν.
Κατάταξη:
(1) ντ' Αρντανιάν
(2) Πόρθος
(3)Άθως
(4) Άραμις
ντ' Αρτανιάν(1)+Πόρθος(2)+Άθως(3)=6
Πόρθος(2)+Άραμις(4)=6
Ή
Από την πρώτη συνθήκη έπεται ότι ο Άραμης κατέλαβε την τέταρτη θέση.
Από την δεύτερη συνθήκη έπεται ότι ο Πόρθος ήταν δεύτερος.
Από την τρίτη συνθήκη έπεται ότι ντ’ Αρτανιάν ήταν πρώτος και ο Άθως ήταν τρίτος.