Η Επίσκεψη

Ο Παύλος πηγαίνει να επισκεφθεί το φίλο του Μάκη. Ο Μάκης, ξέροντας

ότι η μητέρα του συνηθίζει να κάνει διάφορες ερωτήσεις στους φίλους του, 

προειδοποίησε το Παύλο ν’ απαντά όσο μπορεί με ασάφεια. Πράγματι, 

μόλις ο Παύλος έφτασε στο σπίτι του Μάκη η μητέρα του το ρώτησε πόσο 

χρονών είναι. Και ο Παύλος έδωσε την εξής λακωνική απάντηση:

-"Προχθές ήμουν 19 ετών, ενώ τον επόμενο χρόνο θα είμαι 21 ετών".

Να βρείτε ποια ημέρα επισκέφθηκε το Μάκη και ποια ημερομηνία 

γεννήθηκε. (Κατ27/Πρβ. Νο.77) 
Διευκρίνιση: 
Ως αφετηρία υπολογισμού λαμβάνουμε το έτος που διανύουμε.
Με οποιονδήποτε  τρόπο την υπολογίσει κανείς. 
(Σχετική ή Απόλυτη)
Λύση
Μια από τις πολλές λύσεις.
Ο Παύλος επισκέφθηκε το Μάκη τη 1η Ιανουαρίου 2010, ο

οποίος γεννήθηκε στις 30 Δεκεμβρίου1991. Στις 30 Δεκεμβρίου έκλεισε τα 19 και μπήκε στα 20. Οπότε στις 30 Δεκεμβρίου 2011 θα κλείσει τα 20 και θα μπει στα 21.

Η Θερμοκρασία

 Από τ’ απομνημονεύματα ενός αλχημιστή του 13^ου αι. μαθαίνουμε
ότι κάποιο χειμώνα, της εποχής εκείνης, η θερμοκρασία είχε κατέβει 
τουλάχιστον στους 39 βαθμούς υπό το μηδέν (-39^οC).  Πως όμως  γνώριζαν με ακρίβεια πόσους βαθμούς υπό το μηδέν είχε πέσει η    θερμοκρασία, αφού το θερμόμετρο δεν είχε    εφευρεθεί ακόμη;     (Κατ.27/Πρβ.78)

Οι Διαδρομές

 Τέσσερις πόλεις, Α, Β, Γ και Δ, συνδέονται μεταξύ τους ως εξής:

• Από τη πόλη Α οδηγούν 5 διαφορετικοί δρόμοι για τη πόλη Β.

• Από τη πόλη Β οδηγούν 9 διαφορετικοί δρόμοι για τη πόλη Γ.

• Από τη πόλη Γ οδηγούν 7 διαφορετικοί δρόμοι για τη πόλη Δ.

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να φτάσει κανείς από τη πόλη Α 

στη πόλη Δ;
Διευκρίνιση:  

Η κάθε διαδρομή πρέπει να είναι διαφορετική από τις 
προηγούμενες.
(Κατ.27/Πρβ. Νο.79)

Οι Ηλικίες

 

Τρεις αδελφές έχουν ηλικίες α, β, και γ, όταν πολλαπλασιαστούν αυτές οι 
τρεις ηλικίες προκύπτει ως γινόμενο ο αριθμός 36. Εάν γνωρίζουμε ότι 
μια από τις τρεις αδελφές είναι μαθήτρια της ΣΤ΄ Δημοτικού, μπορείτε να 
βρείτε την ηλικία της κάθε μιας; (Κατ.27/Πρβ. Νο.80)

Η Ημέρα

Σε κάποιο δίσεκτο έτος οι τρεις Κυριακές από τις πέντε ενός μηνός ήταν 

άρτιες, δηλαδή, οι ημερομηνίες τους ήταν αριθμοί άρτιας τάξεως (ζυγοί). 

Ποια ημέρα ήταν 20 του μηνός; Μήπως Σάββατο; (Κατ.27/Πρβ. Νο.82)

Ο Ταχυδρόμος

Ένας ταχυδρόμος από ένα επαρχιακό χωριό της Μακεδονίας, που 

ονομάζεται «Κρυσταλλοπηγή», διανέμει τα γράμματα στα σπίτια 

δέκα οικογενειών. Τα σπίτια είναι αριθμημένα από το 1 έως το 10. 

Κάποια εβδομάδα ο ταχυδρόμος δεν παρέδωσε κανένα γράμμα σε 

δύο από τα δέκα σπίτια, εφ’ όσον δεν υπήρχε αλληλογραφία, ενώ 

στα υπόλοιπα οκτώ παρέδωσε στο καθ’ ένα τρεις φορές γράμματα. 

Τις καθημερινές, από Δευτέρα έως Σάββατο, παραδίδει γράμματα 

σε τέσσερα σπίτια, και το άθροισμα των αριθμών των σπιτιών που 

έλαβαν γράμμα είναι, βλέπε διάγραμμα κατωτέρω:

 

Δύο από τα σπίτια του χωριού δεν έλαβαν γράμματα αυτή την 

εβδομάδα. Ποια είναι αυτά; (Κατ.27/Πρβ. Νο. 149)

Λύση:

Εάν ο ταχυδρόμος παρέδιδε γράμματα και στα 10 σπίτια του 

χωριού τρεις φορές την εβδομάδα, τότε το τελικό άθροισμα θα 

έπρεπε να είναι:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)*3 = 55*3 = 165
Ενώ τώρα το άθροισμα είναι:
18+12+23+19+32+25 = 129
Η διαφορά είναι:
165 – 129 = 36
Διαιρώντας τη διαφορά με το 3 έχουμε:
36:3 = 12
Συνεπώς, το άθροισμα των δύο σπιτιών που δεν έλαβαν 

γράμμα αυτή την εβδομάδα ισοδυναμεί με 12.
Οι πιθανοί συνδυασμοί του 12 είναι οι κάτωθι:

Κάθε ημέρα τέσσερα σπίτια έπαιρναν τα γράμματά τους.
Την Τρίτη το άθροισμα των αριθμών των τεσσάρων σπιτιών 

ισοδυναμεί με 12.

Οι δύο συνδυασμοί για να έχουμε ως αποτέλεσμα 12 είναι οι

κάτωθι:
α) 1 + 2 + 3 + 6 = 12
β) 1 + 2 + 4 + 5 = 12
Την Παρασκευή το άθροισμα των αριθμών των τεσσάρων 

σπιτιών ισοδυναμεί με 32. Οι δύο συνδυασμοί για να έχουμε ως 

αποτέλεσμα 32 είναι οι κάτωθι:
α) 5 + 8 + 9 + 10 = 32
β) 6 + 7 + 9 + 10 = 32
Από τ’ ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι τα σπίτια 3, 2, 9, και 10 

έχουν λάβει γράμμα αυτή την εβδομάδα και συγκεκριμένα την 

Τρίτη, εφ’ όσον οι συνδυασμοί τους δίδουν τον αριθμό 12, βλέπε 

κατωτέρω διάγραμμα:

Οπότε, απορρίπτονται.
Ο συνδυασμός 5 και 7 απορρίπτεται, διότι έλαβαν γράμματα 

και τα δύο σπίτια με αριθμούς 5 και 7
Συνεπώς, ο μόνος συνδυασμός αριθμών που μένει και μας δίνει 

τον αριθμό 12 είναι ο αριθμός 4 και ο αριθμός 8, που είναι και 

ζητούμενα σπίτια που δεν πήραν γράμμα αυτή την εβδομάδα.
Υπάρχουν πολλοί πιθανοί συνδυασμοί διανομής των επιστολών 

τις έξι ημέρες της  εβδομάδος. Βλέπε κατωτέρω μια πιθανή 

διανομή:

Οι Κλήροι

Απο το παιγνίδι ΤΟΜΠΟΛΑ παίρνουμε δέκα αριθμημένες μάρκες από το1 έως το 10 και τις τοποθετούμε μέσα σ' ένα καπέλο. Πέντε φίλοι παίρνουν από δύο κλήρους ο καθ’ ένας. Κάποιος, που είχε αναλάβει την υποχρέωση να γράφει τους αριθμούς των κλήρων που έπαιρνε ο καθ’ ένας, έκανε το εξήςλάθος: Αντί να σημειώνει δίπλα στο καθ’ ένα τους δύο αριθμούς που έπαιρνε,αυτός σημείωνε το άθροισμα των δύο αριθμών, π.χ.  αντί 3 και 5, σημείωνε 8. Όταν τελείωσε η διαδικασία της κλήρωσης στο χαρτί ήταν γραμμένα τα εξής:

Μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που τράβηξε ο καθ’ ένας;   
Διευκρίνιση:
    * Δεν υπάρχουν κλήροι με ίδιους αριθμούς.
    * Οι κλήροι που κληρώνονται δεν μπαίνουν ξανά στο καπέλο.
(Κατ.27/Πρβ. Νο.85)

Τα Κλάσματα

 Τι κοινό έχουν τ' ανωτέρω κλάσματα; (Κατ.27/Πρβ. Νο.83)

Λύση:

Tα κλάσματα  συνδέονται με την εξής ιδιότητα:
Η αξία τους δε μεταβάλλεται, εάν αφαιρεθεί το ψηφίο που 
επαναλαμβάνεται στον αριθμητή και τον παρονομαστή.

 

Οι Δίσκοι L. P.

Τρεις φίλοι, ο Μάκης, ο Σάκης και ο Λάκης, αγόρασαν συνολικά,  από 

ένα κατάστημα δίσκων μουσικής, 10 δίσκους L.P. Κανένας τους δεν 

ξέρει πόσους δίσκους πήραν οι άλλοι δύο. Ο Λάκης ρώτησε το Μάκη, 

εάν οι δίσκοι που αγόρασε είναι μονός ή ζυγός αριθμός. Από την 

απάντηση που πήρε, πίστεψε ότι βρήκε πόσους δίσκους αγόρασαν ο 

Μάκης και ο Σάκης. Ο Μάκης, όμως, του είπε ψέματα! Στη 

πραγματικότητα, ο αριθμός των δίσκων που αγόρασε ο Μάκης, είναι 

κατά ένα δίσκο μικρότερος από εκείνον που συμπέρανε ο Λάκης. 

Μπορείτε να βρείτε, με τ’ ανωτέρω δεδομένα,  πόσους δίσκους αγόρασε 

ο καθ’ ένας από τους φίλους; (Κατ.27/Πρβ. Νο.86)

Γη...Σελήνη

Πόσα σπιρτόξυλα, το καθ’ ένα έχει μήκος 0,05 εκ., χρειάζονται για να 
ενώσει κάποιος, θεωρητικά, τη Γη με τη…Σελήνη;  
(Κατ.27/Πρβ. Νο.88)
Διευκρίνιση:
Η απόσταση που χωρίζει τη Γη από τη Σελήνη, το φυσικό δορυφόρο, 
είναι περίπου 375.000 χιλιόμετρα.

Η Ισότητα

Έχουμε την ακόλουθη μαθηματική σχέση, με λατινικούς αριθμούς, που

φυσικά δεν είναι σωστή:

Μετακινήστε ένα μόνο σπίρτο, ώστε να ισχύει η ισότητα.

Επεξήγηση:

• Θεωρείστε ότι κάθε "γραμμή" των αριθμών είναι και ένα σπίρτο (πλην της γραμμής  του κλάσματος και των γραμμών του ίσον). 

(Κατ.27/Πρβ. Νο.96)

Λύση:

Ο Μεσημβρινός

Τρεις πόλεις, η Α, η Β και η Γ, απέχουν μεταξύ τους τις εξής αποστάσεις:

• Α – Β 129 χιλιόμετρα.

• Α – Γ 534 χιλιόμετρα.

• Β – Γ 405 χιλιόμετρα

• Επίσης, η πόλη Α βρίσκεται νοτίως της πόλης Γ.

Με τα ανωτέρω δεδομένα οι τρεις πόλεις βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό.
Ναι ή Όχι; (Κατ.27/Πρβ. Νο.91)

Η Ελαχιστοποίηση

  

Μετακινήστε ένα ψηφίο από τον ανωτέρω αριθμό, ώστε να γίνει τέσσερις

φορές μικρότερος. (Κατ.27/Πρβ. Νο.109)

Το Στρώσιμο του Τραπεζιού

Δουλεύεις σ' ένα εστιατόριο και ο συνάδελφός σου σε προκαλεί σ' ένα 

παιχνίδι από το οποίο ο χαμένος θα πλύνει τα πιάτα στο τέλος της 

βάρδιας: Τοποθετείτε εναλλάξ έναν μεγάλο αριθμό ίδιων πιάτων 

οπουδήποτε πάνω σ' ένα στρογγυλό τραπέζι και ο πρώτος που δεν θα 

έχει χώρο για να τοποθετήσει το πιάτο του, χάνει το παιχνίδι. Τα πιάτα 

πρέπει να ακουμπάνε κανονικά πάνω στο τραπέζι και δεν επιτρέπεται να 

επικαλύπτονται μεταξύ τους. Θα διαλέξεις να παίξεις πρώτος ή δεύτερος;
Εκτός εάν ρίξετε ένα ζάρι και όποιος φέρει το μελύτερο αριθμό ξεκινάει
πρώτος το παιγνίδι ή τραβάει ο καθ' ένας απο μια τράπουλα, χωρίς
φιγούρες, ένα φύλλο και όποιος φέρει το μεγαλύτερο αριθμό ξεκινάει
πρώτος το παιγνίδι. Ποια στρατηγική θ' ακολουθήσεις για να κερδίσεις
στα σίγουρα το παιχνίδι; (Κατ.27/Πρβ. Νο.111)

Πηγή: http://pantsik.awardspace.com/problems/problems.html

Τα Πανέρια µε τα Φρούτα

Έχουμε τρία κλειστά πανέρια και µία επιγραφή πάνω στο καθένα. Η 
πρώτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ", η δεύτερη γράφει "ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ" 
και η τρίτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ". Γνωρίζουμε 
ότι και οι τρεις επιγραφές είναι τοποθετημένες λάθος. Πως μπορούμε, 
βγάζοντας ένα φρούτο από ένα µόνο πανέρι και χωρίς να κοιτάξουμε 
μέσα ή να ψηλαφίσουμε, να βάλουμε τις επιγραφές στη σωστή τους 
θέση; (Κατ.27/Πρβ.Νο.113)
Πηγή: http://pantsik.awardspace.com/problems/problems.html

Οι Καμήλες του Αμπντουλάχ

"Ο Αμπντουλάχ είναι πολύ πλούσιος", είπε ο Αλή Μπαμπά, "Συγκεκριμένα 

έχει τουλάχιστον 100 καμήλες".

"Αποκλείεται", είπε ο Ισμαήλ. "Είμαι σίγουρος ότι έχει λιγότερες από 100".

"Απ' όσο ξέρω εγώ, έχει τουλάχιστον μία καμήλα", πρόσθεσε ο Φαρούχ.

Αν μόνο ένας από τους τρεις έχει δίκιο, τότε πόσες καμήλες έχει ο 

Αμπντουλάχ; (Κατ.27/Πρβ. Νο.115)

Πηγή: http://pantsik.awardspace.com/problems/problems.htm

Ράβδοι Χρυσού

Ένας κλέφτης κατόρθωσε να κλέψει δύο ράβδους χρυσού από τον βασιλιά.
Καθώς τον κυνηγούσαν οι φρουροί, βρέθηκε μπροστά σε μία γέφυρα, με
μία πινακίδα που έγραφε ότι το μέγιστο βάρος που μπορούσε να αντέξει
ήταν 80κιλά. Δυστυχώς ο ίδιος ζύγιζε 76κιλά και η κάθε μία από τις
ράβδους 3κιλά. Μήπως είχε έρθει η ώρα να αποχωριστεί τη μία ράβδο;
(Κατ.27/Πρβ. Νο.127)

Πηγή: http://pantsik.awardspace.com/problems/problems.html

Λύση   

Για να περάσει και τη δεύτερη ράβδο χρησιμοποίησε το εξής τέχνασμα:

Πέρασε τη γέφυρα ζυγό παίζοντας τις δύο ράβδους στον αέρα (όπως

κάνουν οι ζονγκλέρ στο τσίρκο), έτσι κάθε φορά κρατούσε μία μόνο

ράβδο και το βάρος του υπερέβαινε μόνο κατά 3 κιλά, όσο ήταν και το

βάρος της ράβδου.

Η Μπανιέρα

 

Σε μια μπανιέρα που είναι γεμάτη μέχρι το όριο (εντελώς ως πάνω, ακόμα 

και λίγο νερό να προσθέσουμε θα τρέξει) επιπλέει ένα μεγάλο κομμάτι 
πάγου. Αν λιώσει ο πάγος η στάθμη του νερού της μπανιέρας θα μειωθεί, 
θα μείνει ίδια ή θα αυξηθεί; (Κατ.2 7/Πρβ. Νο.138)

Οι Πρώτοι Αριθμοί

Υπάρχουν 362.880 συνδυασμοί αριθμών  με εννιά ψηφία, όπου ο καθ'
ένας περιέχει τα ψηφία από το 1 έως το 9 από  μια φορά. Πόσοι από
αυτούς τους συνδυασμούς είναι πρώτοι αριθμοί;
(Κατ27/Πρβ. Νο.144)

Γινόμενο Δύο Αριθμών Χωρίς Μηδενικά

 

Μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 1.000.000 ως γινόμενο δύο αριθμών, 
από τους οποίους κανείς από τους δύο αριθμούς να μη περιλαμβάνει τον 
αριθμό μηδέν στα ψηφία του. Πως μπορεί να γίνει αυτό;
(Κατ.25/Πρβ. Νο.145)

Η Σωστή Επιλογή

Η λέξη «ΝΑΜΑ» είναι για τη λέξη «ΑΜΑΝ» ό,τι ο αριθμός 6.323 για τον 

αριθμό… Ποιος αριθμός από τους ανωτέρω ταιριάζει στον προηγούμενο 

συλλογισμό; (Κατ.27/Πρβ. Νο.151)

Τέσσερις Άσσοι

α) Τραβάμε από μία τράπουλα τέσσερα  φύλλα στη τύχη. Ποια είναι η

πιθανότητα και τα τέσσερα φύλλα να είναι άσσοι;

β) Εάν τραβήξουμε από μια τράπουλα έξι φύλλα, ποια είναι η 

πιθανότητα και τα τέσσερα φύλλα να είναι άσσοι;

(Κατ.33/Πρβ. Νο.16)

Δύο Άσσοι

Τραβάμε από μία τράπουλα δύο φύλλα στη τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα
και τα δύο φύλλα να είναι άσσοι; (Κατ.33/Πρβ. Νο.15)

Τα Παιδιά

Η οικογένεια του κυρίου Γεωργίου αποτελείται από τον πατέρα, την 

μητέρα και από μερικά παιδιά. Ο μέσος όρος των ηλικιών της 

οικογένειας είναι 18 χρόνια. Χωρίς τον 38χρονο πατέρα, ο μέσος 

όρος των υπόλοιπων της οικογένειας είναι μόνο 14 χρόνια. Πόσα 

παιδιά έχει η οικογένεια του κυρίου Γεωργίου;

(Κατ34/Πρβ. Νο.414)

Τα Βιβλία

Η Αλίκη έχει στην βιβλιοθήκη της από 50 έως 100 βιβλία. Από αυτά το 
25% είναι βιβλία Μαθηματικών. Από τα βιβλία των Μαθηματικών τα 
19 είναι βιβλία Γεωμετρίας. Πόσα ακριβώς βιβλία έχει η Αλίκη στην 
βιβλιοθήκη της; (Κατ.34/Πρβ. Νο.412)

Οι Πρώτοι Αριθμοί

Η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών πρώτων αριθμών είναι πάντα ένας 

άρτιος αριθμός, εκτός από δύο διαδοχικούς πρώτους αριθμούς που η 

διαφορά τους δίδει ως αποτέλεσμα περιττό αριθμό. Μπορείτε να βρείτε 

τους δύο αυτούς διαδοχικούς πρώτους αριθμούς;

(Κατ.27/Πρβ. Νο.162)

Οι Δύο Αριθμοί

Να βρεθούν δυο μη μηδενικοί αριθμοί "α" και "β", τέτοιοι ώστε το άθροισμά

τους (α+β) να είναι ίσο με το γινόμενο τους (α*β) και ίσο με το πηλίκο τους
(α/β).   (Κατ.1/Πρβ. Νο.116)

Είναι Πρώτος;

Ο ανωτέρω αριθμός  είναι πρώτος; Τι γνώμη έχετε;

(Κατ.27/Πρβ. Νο.147)

Ένας Αριθμός με…Παρελθόν

Οι αρχαίοι Έλληνες τον αριθμό οκτώ τον θεωρούσαν πανίσχυρο. 

Έλεγαν, επίσης, και την εξής παροιμία: 

                    -«Όλα τα πράγματα είναι οκτώ»

Ίσως, επειδή παριστάνει την αιώνια συνέχεια. Δεν είναι τυχαίο
το γεγονός ότι το μαθηματικό σύμβολο του απείρου έχει το 
σχήμα του 8 πλαγιασμένο (∞). Επίσης, δείχνει την αιώνια 
σπειροειδή κίνηση των ουρανίων πλανητών.  
Ζητούμενο:
Γιατί πίστευαν,όμως, ότι ο αριθμός οκτώ είναι ο αριθμός, ο 
οποίος ήταν στενά συνδεδεμένος με τον θάνατο;  
(Κατ.27/Πρβ. Νο.154) 

Λύση

Το Τελευταίο Ψηφίο

Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του ανωτέρω αναπτύγματος;

(Κατ.27/Πρβ. Νο.150)

Τα Υπόλοιπα

Μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του ανωτέρω αριθμού, με 

το 3 και με το 9 αντίστοιχα, χωρίς να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή;

(Κατ27/Πρβ. Νο.156)