Ο Βοσκός

 

Ένας βοσκός θέλει με 40 λίρες να αγοράσει 40 ζώα τριών ειδών: πρόβατα, κριάρια και αρνιά. Εάν κάθε πρόβατο πωλείται 2 λίρες, κάθε κριάρι 4 λίρες και κάθε αρνί 0,50 λίρα, πόσα θα αγοράσει από το κάθε είδος; (Κατ.34/πρβ. Νο.456)

Λύση

Το πρόβλημα έχει δύο λύσεις. Με τη πρώτη λύση αγόρασε 11 πρόβατα, 1 κριάρι και 28 αρνιά. Με τη δεύτερη λύση αγόρασε 4 πρόβατα, 4 κριάρια και 32 αρνιά. Έστω «α» τα πρόβατα, «β» τα κριάρια και «γ» τ’ αρνιά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ=40(1)
2α+4β+0,50γ=40(2)
Λύνουμε την(1) ως προς "γ" κι’ έχουμε:
α+β+γ=40-->γ=[40-(α+β)](3)
Αντικαθιστούμε τη(3) στη(2)κι’έχουμε:
2α+4β+0,50γ=40-->2α+4β+0,50[40-(α+β)]=40-->
2α+4β+20-0,50α-0,50β=40-->1,50α+3,50β=40-20-->
1,50α+3,50β=20-->1,50α=20-3,50β-->
α=(20-3,50β)/1,50(4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών Η τιμή του "β" πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίδοντας στο"β" τις τιμές από το 1 έως το 9 βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος είναι β=1 και β=4,οπότε έχουμε δύο λύσεις.
Αντικαθιστούμε τις τιμές του "β" στη (4) κι’ έχουμε:
α=(20-3,50β)/1,50-->α=[20-(3,50*1β)]/1,50-->
α=(20-3,50)/1,50--> α=16,50/1,50-->α=11(5)
α=(20-3,50β)/1,50-->α=[20-(3,50*4)]/1,50-->
α=(20-14)/1,50-->α=6/1,50-->α=4(6)
Αντικαθιστούμε τις τιμές του "α" και «β» στη(3) κι’ έχουμε:
γ=[40-(α+β)]-->γ=[40-(11+1)]-->β=40-12-->γ=28(7)
γ=[40-(α+β)]-->γ=[40-(4+4)]-->β=40-8-->γ=32(8)
Επαλήθευση:
α+β+γ=40 -->11+1+28=40 ή
α+β+γ=40 -->4+4+32=40
2α+4β+0,50γ=40-->2*11+4*1+0,50*28=40-->22+4+14=40 ή
2α+4β+0,50γ=40-->2*4+4*4+0,50*32=40-->8+16+16=40
ο.ε.δ.

Με Δύο Εφτάρια!!

 

Στην εικόνα, βλέπουμε πως μπορούμε να σχηματίσουμε τον αριθμό 100, χρησιμοποιώντας 4 πεντάρια και τα σύμβολα των πράξεων. Πως μπορούμε να σχηματίσουμε τον αριθμό 100, χρησιμοποιώντας 2 εφτάρια και κάποια από το σύμβολα των τεσσάρων πράξεων? (Κατ.20/Πρβλ. Νο.25) 
Διευκρίνιση:
Η φιλοσοφία της λύσεως του γρίφου είναι ίδια με το προηγούμενο γρίφο.

Λύση

7/(7%)=7/0,07=700/7=100

Με Τέσσερα Εφτάρια!!

Στην εικόνα, βλέπουμε πως μπορούμε να σχηματίσουμε τον αριθμό 100, χρησιμοποιώντας 4 πεντάρια και τα σύμβολα των πράξεων. Πως μπορούμε να σχηματίσουμε τον αριθμό 100, χρησιμοποιώντας 4 εφτάρια και κάποια από το σύμβολα των τεσσάρων πράξεων? (Κατ.20/Πρβ. Νο.24) 

Του Henry Ernest Dudeney

Λύση

77/(77%)=77/0.77=7700/77=100 ή
7/(7%)+7-7=7/0,07+0=700/7=100

Με Τρία Μηδενικά = Έξι (6)!!

 

Πως μπορούμε με τρία μηδενικά να σχηματίσουμε τον αριθμό 6;
(Κατ.20/Πρβ. Νο.23)

Λύση

Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε τώρα είναι πως με τρεις άσσους θα
σχηματίσουμε τον αριθμό 6. Η απορία λύνεται με την παραγοντοποίηση.
Είναι γνωστό ότι 0!=1. Επομένως:
(0!+0!+0!)! = (1+1+1)! = 3!=1*2*3 = 6. ο.ε.δ.

Τα Ψηφία

 

Πόσα ψηφία χρειάζονται για να γραφτούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί με 1, 2, 3, 4,...,ν ψηφία;

 (Κατ.34/Πρβ. Νο.455)

Λύση

Υπάρχουν 9 μονοψήφιοι αριθμοί που χρειάζονται:1*9=9 ψηφία.
Υπάρχουν 99-9=90 διψήφιοι αριθμοί που χρειάζονται:
2*90 =2*10*9=180 ψηφία.
Υπάρχουν 999-99=900 τριψήφιοι αριθμοί που χρειάζονται:
3*900 = 3*102*9=2.700 ψηφία.
Υπάρχουν 9.999-999=9.000 τετραψήφιοι αριθμοί που χρειάζονται:
4*9.000 =4*103*9.000=36.000 ψηφία.
…………
Γενικά υπάρχουν 10(ν-1)x9 ν-ψήφιοι αριθμοί που χρειάζονται:
ν*10(ν-1)x9 ψηφία

Οι Εκθέτες

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί "x" και "y" που ικανοποιούν την ανωτέρω 

εξίσωση.  (Κατ.34/Πρβ. Νο.454) 

Πηγή: http://lisari.blogspot.com/2011/07/13.html

Λύση

Εάν x>0 και y>0, τότε οι αριθμοί 2^x, 4^y είναι και οι δύο άρτιοι,
οπότε δεν μπορεί το άθροισμά τους να είναι ο περιττός αριθμός 1025.
Άρα τουλάχιστον ένας εκ των x ή y είναι 0.
α) Έστω x = 0, τότε έχουμε:
2^x+4^y = 1.025 --> 2^0+4^y = 1.025 --> 4^y = 1.025-2^0 -->
4^y =1.025-1 --> 4^y =1.024 --> 4^5 =1.024
Δηλαδή βρήκαμε την λύση x = 0, y = 5.
β) Έστω y = 0, τότε έχουμε:
2^x+4^y = 1.025 --> 2^x+4^0 = 1.025 --> 2^x =1.025-4^0 -->
2^x =1.025-1 --> 2^x =1.024 --> 2^10 =1.024
Δηλαδή βρήκαμε την λύση x = 10, y = 0.

Ο Διψήφιος Αριθμός

Να βρεθεί ένας διψήφιος αριθμός, έτσι ώστε το 1/2 του γινομένου των ψηφίων του να ισούται με το άθροισμα των ψηφίων του. 

(Κατ.34/Πρβ. Νο.453)

Λύση

Οι διψήφιοι αριθμοί είναι ο 63, ο 36 και ο 44. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β=(αβ)/2-->α=[(αβ)/2]-β-->α=(αβ-2β)/2-->α=[β(α-2)]/2(1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Δίνοντας στο «α» τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «β» είναι οι αριθμοί 4 και 6.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στην (1) κι’έχουμε:
α=[β(α-2)]/2--> 6=[β(6-2)]/2-->6=(4*β)/2-->6=2β-->β=6/2-->β=3(2)
α=[β(α-2)]/2-->4=[β(4-2)]/2-->4=(2*β)/2-->β= 4 (3)
Επαλήθευση:
α+β=(αβ)/2-->6+3=(6*3)/2-->6+3=18/2-->6+3=9
α+β=(αβ)/2-->4+4=(4*4)/2-->4+4=16/2-->4+4=8 ο.ε.δ.

Η Αγορά

 Κάποιος αγόρασε 120 αντικείμενα συνολικής αξίας 120δρχ, εκ των οποίων αλλά μεν αντικείμενα στοιχίσανε 2δρχ. το καθ’ ένα, άλλα δε αντικείμενα στοιχίσανε 3δρχ. το καθ’ ένα και τα υπόλοιπα αντικείμενα στοιχίσανε 0,50δρχ. το καθ’ ένα. Πόσα αντικείμενα αγόρασε από το κάθε είδος. (Κατ,34/Πρβ. Νο.452)

Λύση

Το πρόβλημα επιδέχεται επτά λύσεις. Έστω «α» τα αντικείμενα των 2δρχ.,
«β» τα αντικείμενα των 3δρχ. και «γ» τα αντικείμενα της 0,50δρχ. Βάσει
των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+ω = 120 (1)
2α+3β+0,50ω = 120 (2)
Δηλαδή ένα σύστημα δύο εξισώσεων με τρεις αγνώστους, που πρέπει να
είναι ακέραιοι αριθμοί. Λύνουμε την (1) ως προς "α" κι’ έχουμε:
α+β+ω = 120 --> α=[120-(β+ω)] (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
2α+3β+0,50ω = 120 --> 2[120-(β+ω)]+3β+0,50ω = 120 -->
2(120-β-ω)+3β+0,50ω = 120 --> 240-2β-2ω+3β+0,50ω=120 -->
240+β-1,50ω=120 --> β= -240+1,50ω+120 --> β=1,50ω-120 (4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την
διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Η μικρότερη τιμή που μπορεί να
δοθεί στο «ω» είναι ω=120/1,50 =80
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "ω" στη (4) κι’ έχουμε:
β=1,50ω-120 --> β=(1,50*80)-120 --> β=120-120 --> β =0
Αντικαθιστούμε τις τιμές "β" και "ω" στη (3) κι’ έχουμε:
α=[120-(β+ω)] --> α=[120-(80+0)] --> α=120-80 --> α = 40
Επειδή το «β» πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός, μπορούμε να λάβουμε τις
κάτωθι τιμές για το «ω»:
ω = 82,84,86,88,90,92,94,96
Για τιμή του «ω» μεγαλύτερη του 96, η πρώτη εξίσωση δεν δίνει αποδεκτή
τιμή του «α». Συνεπώς το πρόβλημα επιδέχεται τις ακόλουθες λύσεις:
Μεταβλητή:α=40,35,30,25,20,15,10,5,0(Φθίνουσα σειρά με λόγο το 5)
Μεταβλητή: β=0,3,6,9,12,15,18,21,24 (Αύξουσα σειρά με λόγο το 3)
Μεταβλητή: ω=80,82,84,86,88,90,92,94,96(Αύξουσα σειρά με λόγο το 2)
Οι έντονες χρωματιστές τιμές των μεταβλητών δεν μπορούν να γίνουν
αποδεκτές,λόγω του ότι δύο μεταβλητές έχουν τιμή μηδέν, πράγμα που
αντβαίνει στη συνθήκη του προβλήματος επειδή πραγματοποιήθηκαν
αγορές στις δύο αυτές μεταβλητές.
Επαλήθευση:
α+β+ω = 120 --> 35+3+82 = 120
2α+3β+0,50ω = 120 --> (2*35)+(3*3)+(0,50*82)=120 --> 70+9+41=120 ο.ε.δ.

Διασχίζοντας την έρημο Γκόμπι

 Τρεις καμηλιέρηδες, ο «Α», ο «Β» και ο «Γ», διέσχιζαν την έρημο Γκόμπι
(στην Ασία), για να πάνε από τη πόλη Yumen στη πόλη Yinchuan. Ο
καμηλιέρης «Α» είχε μαζί του 5λίτρα νερό, ο καμηλιέρης «Β» είχε μαζί
του 3λίτρα νερό, ενώ ο καμηλιέρης «Γ»  δεν είχε μαζί του νερό. Για να
επιβιώσουν και οι τρεις, μοιραζόντουσαν τα 8λίτρα νερό σε ίσες ποσότητες.
Όταν τελικά έφτασαν στον προορισμό τους, δίχως να περισσέψει σταγόνα
νερό, ο καμηλιέρης «Γ» για να τους ευχαριστήσει που επιβίωσε, τους έδωσε

50 χρυσές λίρες για να τις μοιραστούν. Πόσες χρυσές λίρες πρέπει να πάρει
αναλογικά ο καθένας από τους καμηλιέρηδες «Α» και «Β»;

Διευκρίνιση: 

Οι καμήλες δεν  πίνουν νερό, (Στην έρημο Γκόμπι ζει η ασιατική 

καμήλα, η λεγόμενη "Βακτριανή", με τις δύο καμπούρες (ύβους). Οι 

καμήλες παίρνουν το νερό που χρειάζονται για την επιβίωσή τους,

στην έρημο, από το λίπος που έχουν αποθηκευμένο στις καμπούρες 

τους, το οποίο με τις καύσεις μέσα στον οργανισμό τους δίνει νερό. 

Εκατό γραμμάρια λίπους δίνουν 107γραμμάρια νερό),  αλλά μόνο  

οι καμηλιέρηδες! (Κατ.36/Πρβ. Νο.29)

Πηγή:  http://lisari.blogspot.com/2011/06/10.html
Ο γρίφος αναρτήθηκε με κάποια τροποποίηση από τον γράφοντα.

Λύση

Η συνήθης απάντηση ο «Α» 30 χρυσές λίρες και ο «Β» 20 χρυσές λίρες
αντίστοιχα,δεν είναι σωστή. Τα 8λίτρα νερό μοιράστηκαν εξ ίσου σε 3
ίσα μερίδια, δηλαδή,8*3 = 24 λίτρα. Εφόσον ο τρίτος πλήρωσε 50 χρυσές
λίρες, τα 8 λίτρα νερού στοιχίζουν 3*50= 150 χρυσές λίρες και συνεπώς
το κάθε λίτρο νερού στοιχίζει 150/8= 18,75 χρυσές λίρες. Το κόστος των
5lt νερού που πρόσφερε ο «Α» ανέρχεται σε 5*18,75 = 93,75
χρυσές λίρες,συνεπώς ο «Α» δικαιούται να πάρει 93,75-50,00 = 43,75
χρυσές λίρες.Το κόστος των 3lt νερού που πρόσφερε ο «Β» ανέρχεται σε
3*18,75 = 56,25 χρυσές λίρες, συνεπώς ο «Β» δικαιούται να πάρει
56,25 -50,00 = 6,25 χρυσές λίρες.
Συνολικό κόστος 8lt νερού: 93,75+56,25 = 150,00 χρυσές λίρες.
Αναλογική κατανομή των 50,00 χρυσών λιρών:
«Α»:.......43,75 χρυσές λίρες
«Β»:........6,25 χρυσές λίρες
Σύνολο:....50,00 χρυσές λίρες ο.ε.δ.