Οι Τιμές

Οι αριθμοί 2.015 και 757 διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό «x» δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 17. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»; (Κατ.34)

Λύση

Λύση του Voulagx.
Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74.
2015=χ*κ+17 =>2015-17=χ*κ =>χ*κ=1998=2*(3^3)*37=(2*37)*(3^3)=74*(3^3)(1)
757=χ*λ+17 =>757-17=χ*λ =>χ*λ=740=2*2*5*37=(2*37)*2*5=74*2*5(2)
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε:
2015-757=χ*(κ-λ) =>χ*(κ-λ)=1258=(2*37)*17=74*17 (3)
Από τις (1),(2) και (3) προκύπτει ότι κοινοί διαιρέτες, μεγαλύτεροι του 17, των αριθμών 1998,740 και 1258 είναι οι 37 και 74, άρα χΕ{37,74}.
Λύση του Θεματοδότη.
Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ*π+υ έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις:
x*π1+17=2.015 ---> x*π1=1.998(1)
x*π2+17=757 ---> x*π2=740 (2)
Επειδή το «x» είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 1.998 και 740 έχουμε:
1998=2*(3^3)*37=(2*37)*(3^3)=74*(3^3)(1)
740=2*2*5*37=(2*37)*2*5=74*2*5 (2)
Άρα 1.998=2*3^3*37 και 740=2^2*5*37
Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 1.998 και 740 είναι οι: 1, 2, 37, 74
Επειδή το υπόλοιπο είναι μικρότερο του διαιρέτη ("υ" μικρότερο του "x"),θα πρέπει ο διαιρέτης να είναι μεγαλύτερος του 17 ("χ" μεγαλύτερος του 17)
Άρα ο διαιρέτης ισούται με x=37 ή 74.