Οι Λίθοι

Ο Νίκος και ο Τάσος είναι δυο ευυπόληπτοι κλέφτες πολύτιμων λίθων. Ο  Νίκος  έβαλε σε ένα σακουλάκι  35 διαμάντια, 38 μαργαριτάρια και  39 σμαράγδια και στην συνέχεια  τα έκρυψε- όπως νόμιζε- από το Τάσο σε ένα ντουλάπι .Ο Τάσος, όμως, κάθε τρεις ημέρες έπαιρνε από το σακουλάκι δυο πολύτιμους λίθους διαφορετικού είδους και στην θέση τους έβαζε ένα πολύτιμο λίθο διαφορετικό από το ζεύγος που πήρε. Για παράδειγμα, αν έπαιρνε 1 διαμάντι και 1 μαργαριτάρι θα έβαζε στην θέση τους 1 σμαράγδι. Υστέρα από κάποιο χρονικό διάστημα ο Νίκος πήρε το σακουλάκι ,το άνοιξε και διαπίστωσε με έκπληξη ότι περιείχε πολύτιμους λίθους του ίδιου είδους.Τι περιείχε το σακούλι,διαμάντια, σμαράγδια ή μαργαριτάρια;

Διευκρίνιση:

Ο Τάσος είχε δικό του απόθεμα από πολύτιμους λίθους και μπορούσε να κάνει τις αντικαταστάσεις που αναφέρονται. (Κατ.27/Νο.426)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/05/blog-post_11.html

Λύση

Έστω Δ το πλήθος των διαμαντιών, Μ το πλήθος των μαργαριταριών, και Σ το πλήθος των σμαραγδιών τότε από την υπόθεση θα ισχύει: Δ+Μ=73, Δ+Σ=74, Μ+Σ=77. Κάθε φορά που ο Τάσος κλέβει δυο διαφορετικούς πολύτιμους λίθους και τον αντικαθιστά με ένα τρίτο ,ένα από τα αθροίσματα θα ελαττώνεται κατά 2 και τα άλλα δυο αθροίσματα θα παραμένουν αμετάβλητα. Όταν ο Τάσος θα ανοίξει το σακουλάκι, ένα από τα 3 αθροίσματα θα έχει μηδενιστεί .Το μοναδικό άθροισμα από τα τρία που μπορεί να μηδενιστεί ελαττωμένο κατά 2 είναι το Δ+Σ=74 οπότε θα μείνουν στο σακουλάκι μόνο μαργαριτάρια.