Τα Διαμάντια

Ρωτάει  ο  κλέφτης διαμαντιών Λαμόγιος τον βοηθό του  Αρπάξη:

-«Που είναι  τα διαμάντια που άφησα χθες βράδυ στο χρηματοκιβώτιο; Όταν τα έβαλα στο χρηματοκιβώτιο  τα είχα τοποθετήσει σε σχήμα τετραγώνου, αλλά τώρα που άνοιξα το χρηματοκιβώτιο  βρήκα μόνο δυο.»
Ο Αρπάξης αποκρίθηκε:
-«Ήρθαν ο  Βουτάς και τα δυο αδέρφια του  και τα πήραν αφεντικό»
Και συνέχισε:
-«Άφησαν μόνο δυο, γιατί δεν μπορούσαν να τα μοιράσουν εξίσου
μεταξύ τους.»

-«Λες ψέματα.», απάντησε νευριασμένα ο Λαμόγιος, και τον ρήμαξε
στο ξύλο.
Πως κατάλαβε ο Λαμόγιος ότι ο βοηθός του έλεγε ψέματα; (Κατ.34/Νο.743)

(Ένα πρόβλημα από σειρά μαθημάτων προετοιμασίας  για μαθηματικούς διαγωνισμούς.)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/09/blog-post_28.html

Λύση

Εφόσον τα διαμάντια μπορούσαν αρχικά να τοποθετηθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο, θα πρέπει να είναι στο πλήθος όσο το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού, έστω «χ^2» .Αφού ο Βούτας και τα δυο αδέλφια του δεν μπόρεσαν να μοιραστούν τα διαμάντια επειδή περίσσευαν 2 θα πρέπει να είναι στο πλήθος 3y+2. Άρα έχουμε χ^2=3y +2 (1) Εξετάζουμε αν υπάρχει ζεύγος φυσικών χ, y που να ικανοποίει την (1).Για τον αριθμό χ υπάρχουν τρεις περιπτώσεις : Α) Να διαιρείται με το 3. Β) Να διαιρείται με το 3 και να αφήνει υπόλοιπο 1. Γ) Να διαιρείται με το 3 και να αφήνει υπόλοιπο 2. Ας δούμε μια- μια τις περιπτώσεις: Α) Αν χ=3κ (κ φυσικός αριθμός ), τότε: χ^2=9κ^2=3y+2. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y+2) δεν διαιρείται με το 3. Β) Αν χ=3κ+1 , τότε χ^2=9κ^2+6κ+1=3y+2. ή 9κ^2+6κ=3y+1 ή 3(3κ^2+2κ)=3y+1. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y+1) δεν διαιρείται με το 3. Γ) Αν χ=3κ+2 , τότε χ^2=9κ^2+12κ+4=3y+2. ή 9κ^2+12κ=3y-2 ή 3(3κ^2+4κ)=3y-2. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y-2) δεν διαιρείται με το 3. Άρα η εξίσωση (1) είναι αδύνατη, οπότε ο βοηθός του Λαμόγιου έλεγε ψέματα.