Παρασκευή, 19 Οκτωβρίου 2018

Η Επέκταση

0σχόλια
O Πίτερ Μινούιτ δίνει εμπορεύματα στους Ινδιάνους για να εγκαταλείψουν το Μανχάταν, 1624.
Ο Ολλανδός εξερευνητής Peter Minuit (1580/1585 - 1638) «αγόρασε» το νησί Μανχάταν, το 1624, από μία ομάδα ιθαγενών Αμερικανών για μερικές χάντρες και ψευτοκοσμήματα αξίας $24. Φαίνεται ότι αυτή ήταν μια από τις καλύτερες συμφωνίες στην ιστορία. Ας υποθέσουμε όμως, ότι οι ιθαγενείς Αμερικανοί είχαν επενδύσει αυτό το ποσό με επιτόκιο 8% αυξανόμενο ημερησίως (ανατοκιζόμενο ημερησίως). Τι θα προτιμούσατε να έχετε:
Το Μανχάταν με τα κτήρια του, ή τα χρήματα της επένδυσης των $24;
Πηγή:?

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.

Πέμπτη, 18 Οκτωβρίου 2018

Τα Νομίσματα

5σχόλια
Κάποιος πήγε στην αγορά τρεις φορές.
(α)Τη πρώτη φορά, έφερε πίσω τα διπλάσια χρυσά νομίσματα  απ’ όσα είχε πάρει
μαζί του.
(β)Τη δεύτερη φορά, πήρε μαζί του το διπλό ποσό του και επέστρεψε με το ίδιο
ποσό συν την τετραγωνική του ρίζα συν δύο επί πλέον χρυσών νομισμάτων.
(γ) Όλα αυτά τα διατήρησε  και επέστρεψε στην αγορά με αυτά για τρίτη
φορά. και το κέρδος του ήταν το τετράγωνο από αυτά που πήρε μαζί του και
4 επιπλέον χρυσά νομίσματα. Επέστρεψε από την αγορά με επί πλέον 310
χρυσά νομίσματα. Πόσα χρυσά νομίσματα είχε πάρει μαζί του τη πρώτη φορά;
Πηγή:
Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο
«Artis Magnæ», 1545.

Λύση

Τη πρώτη φορά είχε πάρει μαζί του 6,00625 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα που είχε πάρει μαζί του την πρώτη φορά που πήγε στην αγορά. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(2x+sqrt(2x)+2)^2+4=310
(2x+sqrt(2x)+2)^2=310-4
(2x+sqrt(2x)+2)^2=306
Υψώνουμε στην τετραγωνική ρίζα και τα δύο μέλη κι’ έχουμε:
sqrt[(2x+sqrt(2x)+2)^2]=sqrt[306]
2x+sqrt(2x)+2=sqrt[306]
sqrt(2x)= sqrt[306]-2x-2
Υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη κι’ έχουμε:
sqrt(2x)= sqrt[306]-2x-2
[sqrt(2x)]^2=[sqrt[306]-2x-2]^2
2x=(sqrt(306)-2x-2)^2
2x=306+4x^2+4+8x-4sqrt(306)x-4sqrt(306)
4x^2+8x-2x-4*sqrt(306)x+310-4sqrt(306)=0
4x^2+8x-2x-4*17,49286x+310-4*17,49286=0
4x^2+8x-2x-69,97144x+310-69,97144=0
4x^2-63,98x+240.03=0 (1)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(63,98±sqrt[(-63,98^2)-4*4*240,03]/2*4 ---->
x=(63,98±sqrt[4.093,44-3.840,48]/8 ----> x=(63,98±sqrt[252,96]/8 ----> x=(63,98±15,93)/8
x1= (63,98+15,93)/8 ----> x1= 79,91/8 ----> x1= 9,98875 Μη Αποδεκτή.
x2=(63,98-15-93)/8 ----> x2= 48,05/8 ----> x2= 6,00625 Αποδεκτή (2)
Επαλήθευση:
(2x+sqrt(2x)+2)^2+4=310
(2*6,00625 +sqrt(2*6,00625)+2)^2+4=310
(12,0125+sqrt(12,0125)+2)^2+4=310
(12,0125+3,47+2)^2+4=310
(17,4825)^2+4=310
305,63780625+4=310

Τετάρτη, 17 Οκτωβρίου 2018

Ο Αριθμός

2σχόλια
Έναν αριθμό, τον οποίο έχω ξεχάσει, τον διαίρεσα σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος
το έχω επίσης ξεχάσει, Αλλά το δεύτερο μέρος  ήταν ο αριθμός 4 και θυμάμαι
πως εάν το μέρος που έχω ξεχάσει πολλαπλασιαζόταν με τον εαυτό του και
επίσης με το 4, αυτοί οι δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 117. Θα ήθελα να ξέρω
ποιος ήταν ο αρχικός αριθμός και ποιο ήταν το πρώτο μέρος του που ξέχασα.
Πηγή:
Από το βιβλίο του Ουαλού μαθηματικού Robert Record (1510-1558) με τίτλο:
«The Whetstone of Witte – Το Ακονιστήρι της Εξυπνάδας ή Για ν’ Ακονίζετε το Μυαλό σας.», 1557

Λύση

Ο αρχικός αριθμός ήταν το 13 και το πρώτο μέρος του που ξέχασα ήταν ο αριθμός 9. Έστω «α» ο αρχικός αριθμός και «x» το πρωτο μέρος που ξέχασα μετά από την διαίρεση του αρχικού αριθμού σε δύο μέρη. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχου τις εξής εξισώσεις:
α=x+4 (1)
x^2+4x=117 ----> x^2+4x-117=0 (2)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(-4±sqrt[(4^2)-4*1*(-117)]/2*1 ---->
x=(-4±sqrt[16+ 468]/2 ----> x=(-4±sqrt[484]/2 ----> x=(-4±22)/2 ---->
x1= (-4+22)/2 ----> x1=18/2 ----> x1=9 Αποδεκτή. (3)
x2=(-4-22)/2 ----> x2=(-26)/2 ----> x2= -13 Απορρίπτεται.
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α=x+4 ----> α=9+4=13
Επαλήθευση:
x^2+4x=117 ----> 9^2+4*9=117 ----> 81+36=117 ο.ε.δ.

Τρίτη, 16 Οκτωβρίου 2018

Τα Μέλη

2σχόλια
Υπήρχαν δύο συνεταιρισμοί εκ των οποίων ο ένας είχε τρία μέλη περισσότερα από τον άλλο. Μοίρασαν ίσο αριθμό χρυσών νομισμάτων μεταξύ των μελών τους. Ο αριθμός των χρυσών νομισμάτων, που ήταν για μοίρασμα, σε κάθε περίπτωση ήταν 93 περισσότερο από το σύνολο των μελών των δύο συνεταιρισμών και τα μέλη του μικρότερου συνεταιρισμού έλαβαν 6 χρυσά νομίσματα περισσότερα από τα μέλη του μεγαλύτερου συνεταιρισμού. Πόσα μέλη είχε ο κάθε συνεταιρισμός;
Πηγή:
Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο «Artis Magnæ», 1545.

Λύση

Ο ένας συνεταιρισμός έχει 6 μέλη και ο άλλος έχει 9 μέλη. Έστω «x» τα μέλη του πρώτου συνεταιρισμού και «x+3» τα μέλη του δεύτερου συνεταιρισμού. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξής εξίσωση:
(2x+3+93)/x=6+(2x+3+93)/(x+3) (1)
(2x+3+93)/x=6+(2x+3+93)/(x+3) ----> (2x+3+93)/x=[6(x+3)+(2x+3+93)]/(x+3) ---->
(2x+3+93)/x=(6x+18+2x+3+93)/(x+3) ---->
(x+3)*(2x+96)=x*(8x+114) ----> 2x^2+96x+6x+288=8x^2+114x ---->
8x^2+114x-2x^2-96x-6x-288=0 ----> 6x^2+12x-288=0 (2)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(-12±sqrt[(12^2)-4*6*(-288)]/2*6 ---->
x=(-12±sqrt[144+ 6.912]/12 ----> x=(-12±sqrt[7.056]/12 ---->
x=(-12± 84)/12
x1= (-12+84)/12 ----> x1=72/12 ----> x1=6 Αποδεκτή. (3)
x2=(-12-84)/12 ----> x2=(-96)/12 ----> x2= - 8 Απορρίπτεται.
Επαλήθευση:
6x^2+12x-288=0 ----> 6*6^2+12*6-288=0 ----> 216+72-288=0

Δευτέρα, 15 Οκτωβρίου 2018

Τα Χρήματα

4σχόλια

Δύο φίλοι είχαν κάποια χρηματικά ποσά, έτσι ώστε το άθροισμα των ποσών του δεύτερου ήταν 3 και 1/4 φορές του πρώτου. Εάν οι δύο ποσότητες τους πολλαπλασιάζονταν μεταξύ τους και σ’ αυτό το γινόμενο προστίθεντο οι δύο ποσότητες τα χρηματικά ποσά θα ανέρχονταν σε 142 και 1/2. Πόσα χρήματα είχε ο καθένας;
Πηγή:

Από το βιβλίο του Ουαλού μαθηματικού Robert Record (1510-1558) με τίτλο:
«The Whetstone of Witte – Το Ακονιστήρι της Εξυπνάδας ή Για ν’ Ακονίζετε το Μυαλό σας.», 1557
 Λύση
Συνολικά και οι δύο φίλοι είχαν 25,50 νομίσματα. Ο πρώτος είχε 6 νομίσματα και ο δεύτερος είχε 19,50 νομίσματα. Έστω «Π» τα νομίσματα του πρώτου φίλου και «Δ» τα νομίσματα του δεύτερου φίλου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Δ = 3Π+Π/4 (1)
Π*Δ+Π+Δ=142,50 (2)
Π+Δ=? (3)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
Δ = 3Π+Π/4 (1) ----> Δ = [(3*4Π)+Π]/4 ----> Δ = (12Π+Π)/4 ----->
Δ = 13Π/4 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι΄έχουμε:
Π*Δ+Π+Δ=142,50 ----> Π*13Π/4+Π+13Π/4=142,50 ---->
1*13Π^2+4Π+13Π=4*142,50 ----> 13Π^2+17Π= 570 -----> 13Π^2+17Π-570=0 (5)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
Π={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ---->
Π= -17±sqrt[(17)^2-4*13*(-570)]/2*13 ---->
Π = -17±sqrt[289+29.640]/26 ----> Π = -17±sqrt (29.929)/26 ---->
Π = (-17±173)/26 ----> Π = (-17+173)/26 -----> Π = 156/26 ----> Π = 6 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (4) κι’ έχουμε:
Δ = 13Π/4 ----> Δ = (13*6)/4 ----> Δ= 78/4 ----> Δ= 19,5 (7)
Επαλήθευση:
Π*Δ+Π+Δ=142,50 ----> 6*19,50+6+19,50=142,50 ----> 117+6+19,50=142,50

Τα Καθίσματα

2σχόλια
Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει «α» καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά. Η 7η σειρά έχει 36 καθίσματα και το πλήθος των καθισμάτων του σταδίου είναι 300.
(α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να
αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.
(β)Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά;
Πηγή:
Προβλήματα από το βιβλίο του Ιταλού μαθηματικού Leonardo di Pisa- Leonardo Pisano- (Fibonacci) (1170-1250), «Liber Abaci», 1202.

Λύση

Λύση Ανώνυμος
x: αριθμός καθισμάτων 1ης σειράς
7η σειρά: x+6α=36 ----> 10x+10*6α=10*36 ----> 10x+60α=360 (1)
Συνολικά καθίσματα: x+(x+α)+(x+2α)+...+(x+9α)=300=>10x+α(1+2+..+9)=300 ----> 10x+45α=300 (2)
Αφαιρώντας κατά μέλη την (2) από την (1) κι’ έχουμε:
15α=60 ----> α=4 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
x+6α=36 ----> x+6*4=36 ----> x=12 (4)
Τα καθίσματα του γηπέδου δεν αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου, αφού είναι καθίσματα. Όμως τα πλήθη των καθισμάτων των σειρών του γηπέδου, αποτελούν εξ ορισμού όρους αριθμητικής προόδου, καθώς η κ σειρά έχει 12+4(κ-1) καθίσματα.

Σάββατο, 13 Οκτωβρίου 2018

Οι Καρέκλες

3σχόλια
Σε ένα οικογενειακό δείπνο κάθονται γύρω από το τραπέζι μια οικογένεια που αποτελείται από έναν παππού, μια γιαγιά, δύο πατέρες, δύο μητέρες, τέσσερα παιδιά, τρία εγγόνια, ένας αδερφός, δύο αδερφές, δύο γιοί, δύο κόρες, ένας πεθερός, μια πεθερά και μια νύφη.
Πόσες καρέκλες θα χρειαστούν;
Διευκρίνιση:
Η απάντηση ΔΕΝ είναι 23 καρέκλες!

Λύση

Θα χρειαστούν 7 καρέκλες.,
2 οι παππούς και γιαγιά (που είναι ταυτόχρονα και πατέρας-μητέρα)
2 οι γονείς (που είναι ταυτόχρονα και πατέρα-μητέρα αλλά και παιδι δηλαδή γιος-νύφη)
και 3 παιδιά 2 κορίτσια και 1 αγόρι (που είναι ταυτόχρονα 2 αδερφές και ένας αδερφός)
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes