Πέμπτη, 24 Μαΐου 2018

Τα Δηνάρια

0σχόλια
Ένας μανάβης αγόρασε ένα συγκεκριμένο ποσό μήλων και πλήρωσε για κάθε 7 μήλα 1 δηνάριο. Την επόμενη ημέρα πούλησε όλα τα μήλα  που αγόρασε τη προηγούμενη ημέρα 1 δηνάριο για κάθε 5 μήλα. Το καθαρό κέρδος από τη πώληση των μήλων  ανερχόταν σε 12 δηνάρια..
(α)Πόσα μήλα αγόρασε;
(β)Πόσα δηνάρια έδωσε για την αγορά των μήλων;
Πηγή:?

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.

Τρίτη, 22 Μαΐου 2018

Ο Άγνωστος Αριθμός

4σχόλια
Να βρεθεί η τιμή του «x» στην ανωτέρω παράσταση.

Λύση

Η τιμή του «x» είναι 2016. Στο πρώτο μέλος εφαρμόζουμε την ταυτότητα της διαφοράς των τετραγώνων, οπότε έχουμε:
(10^2.014+25+10^2014-25)*(10^2014+25-10^2014+25)=10^x
(2*10^2014)*(25+25)=10^x
2*10^2014*50=10^x
100*10^2014=10^x
10^2*10^2014=10^x
10^2016=10^x
Άρα:
x = 2016

Κυριακή, 20 Μαΐου 2018

10σχόλια
Ένας μοναχός, εδώ και 2 μήνες (δηλαδή 60 ημέρες), έπινε κρυφά ένα ποτήρι κρασί κάθε βράδυ. Αφού έπινε ένα ποτήρι, έριχνε μέσα στο βαρέλι ένα ποτήρι νερό, ώστε να μην πέσει η στάθμη του κρασιού και τον καταλάβουν οι άλλοι μοναχοί. Την 61η ημέρα πιάνεται από τους μοναχούς επ’ αυτοφώρω πριν προλάβει να πιει άλλο ένα ποτήρι. Οι μοναχοί του ζητάνε να πληρώσει 1€ για κάθε ποτήρι κρασί που ήπιε, δηλαδή συνολικά 60€. Όμως ο ηγούμενος, ως σοφότερος από όλους, θεώρησε ότι αυτή η ποινή ήτανε άδικη και πρότεινε να πληρώσει ο μοναχός μόνο όσο κρασί ήπιε, αφού από το δεύτερο ποτήρι και μετά το κρασί ήταν νερωμένο. Εάν το κόστος ενός ποτηριού (250 ml) γεμάτο κρασί είναι 1€ και το βαρέλι περιείχε 100λίτρα κρασί, πόσα χρήματα θα πρέπει να πληρώσει ο μοναχός;

Λύση

Το βαρέλι περιείχε 100lt κρασί, (400*250=100.000ml:1.000ml(1lt=1.000ml)=100lt), δηλαδή 400 ποτήρια.
Το 1ο ποτήρι περιείχε καθαρό κρασί, 250ml.
Το 2ο ποτήρι περιείχε 1-(1/400) του ποτηριού κρασί, αφού το 1/400 είναι νερό.
Το 3ο ποτήρι περιείχε 1-(2/400) του ποτηριού κρασί, αφού τα 2/400 είναι νερό.
........................
Το 60ο ποτήρι περιείχε 1-(59/400) του ποτηριού κρασί, αφού τα 59/400 είναι νερό.
Οπότε ο μοναχός ήπιε συνολικά:
1+(1-1/400)+(1-2/400)+(1-3/400)+...+(1-59/400)=[60-(1/400)]*(1+2+3+...+59)= =[60-(1/400)]*[(1+59)/2]*59=[60-(1/400)]*(60/2)*59=[60-(1/400)]*30*59= =[60-(1.770/400)]=60-4,425=55,575
Άρα ο μοναχός πρέπει να πληρώσει ≈ 55,58€.

Τρίτη, 1 Μαΐου 2018

Πρωτομαγιά 2018!!

0σχόλια
Αντιγράφω το κείμενο που ανάρτησε ο Δ. Σπυρόπουλος στην ιστοσελίδα
του «Το ιστολόγιο ενός Μαθηματικού και όχι μόνο...», όπου στις τρεις
γραμμές του συμπεριλαμβάνει όλο το νόημα  της σημερινής ημέρας που δεν είναι ΑΡΓΙΑ, αλλά ΑΠΕΡΓΙΑ!!

*Καλό μήνα και καλή πρωτομαγιά.* *Να είμαστε καλά και να θυμόμαστε τους κοινωνικούς αγώνες των * *εργατών που ανέδειξαν **αυτονόητα δικαιώματα και αντέταξαν ηρωισμό * *απέναντι στην κάθε είδους αυθαιρεσία.......*

Η ιστοσελίδα του «Papaveri48» σας εύχεται με τη σειρά του Καλό Μήνα και Καλή Πρωτομαγιά!!

Πέμπτη, 26 Απριλίου 2018

Οι Μπανάνες

0σχόλια
Μέσα στις φωτεινές και αναζωογονητικές παρυφές του δάσους, τις γεμάτες από αναρίθμητα δένδρα, με τα κλαδιά τους λυγισμένα από το βάρος των λουλουδιών και των φρούτων, δέντρα όπως, νεραντζιές, λεμονιές, φλαμουριές, μπανανιές, παλμίρες και μάγκο, μέσα στις παρυφές τις γεμάτες ήχους, από πλήθος παπαγάλων, πιθήκων και κούκων που βρισκόταν κοντά σε πηγές γεμάτες νούφαρα, με τις μέλισσες να βουίζουν γύρω από αυτά, ένας αριθμός από κουρασμένους ταξιδιώτες μπήκαν με χαρά. Εκεί υπήρχαν 63 ίσοι τον αριθμό, σωροί από μπανάνες και επτά άλλοι σωροί από τα ίδια φρούτα, που μοιράστηκαν ίσα σε 23 ταξιδιώτες, έτσι ώστε να μην υπάρχει υπόλοιπο. Πείτε μου τώρα το αριθμητικό μέτρο του κάθε σωρού από μπανάνες.
Του Ινδού μαθηματικού Mahavira Acharya (800–870)

Λύση

Κάθε σωρός αποτελείτο από 5 μπανάνες και κάθε ταξιδιώτης πήρε από 14 μπανάνες. Έστω «x» οι σωροί από μπανάνες και «y» οι μπανάνες που αντιστοιχούν σε κάθε ταξιδιώτη. Βάσει των δεδομένων της εκφώνξσης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
63 x+7=23y (1)
63 x+7=23y ----> y=(63x+7)/23 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "x" τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "y" είναι ο αριθμός x = 5 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή «x» στη (3) κι’ έχουμε:
y=63x+7)/23--> y=[(63*5)+7]/23--> y=(315+7)/23-->
y=322/23-->y=14(4)
Επαλήθευση:
63 x+7=23y ----> [(63*5)+7]=23*14 -----> 315+7=23*14 -----> 322=23*14 ο.ε.δ.

Τετάρτη, 25 Απριλίου 2018

Οι Αριθμοί

2σχόλια
Το άθροισμα δυο αριθμών είναι 45. Το άθροισμα του λόγου τους και του αντίστροφου του λόγου τους είναι 2,05. Ποιοι είναι οι αριθμοί;
Πηγή: Εισαγωγικές Εξετάσεις στη Σχολή Ικάρων, 1967

Λύση

Οι αριθμοί είναι ο 20 και ο 25. Έστω α και β οι αριθμοί. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(α+β)=45 (1)
α/β+β/α=2,05 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(α+β)=45 --> β=45-α (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
α/β+β/α=2,05 --> α^2+β^2=2,05αβ --> (α+β)^2-2αβ= 2,05αβ =>
45^2=2αβ+2.05αβ --> 2.025= 4,05αβ --> αβ=2.025/4.05--> αβ=500 (4)
Αντικαθιστώ τη τιμή β από τη (3) στη (4) κι’ έχουμε:
α*(45-α)=500 --> 45α –α^2 =500 --> α^2-45α+500=0
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x = -β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α --> x = -β±sqrt[(-45)^2-4*1*500]/2*1 --->
x = -β±sqrt[2.025-2.000]/2 --> x =[45±sqrt(25)]/2 --> x = (45±5)/2
x1=(45+5)/2 --> x1=50/2 --> x1=25
x2=(45-5)/2 --> x2=40/2 --> x2=20
Άρα:
α=25 ή α=20 και β=20 ή β=25 αντίστοιχα.
Επαλήθευση:
(α+β)=45 --> 25+20=45
α/β+β/α=2,05 -->(25/20)+(20/25)=2,05 --> 1,25+0,80=2,05
(α+β)=45 --> 20+25=45
α/β+β/α=2,05 --> (20/25)+(25/20)=2,05 --> 0,80+1,25=2,05

Σάββατο, 14 Απριλίου 2018

Ο Κλέφτης

8σχόλια
Κάποιος συνελήφθει, από τους φύλακες του βασιλιά, στα βασιλικά ανάκτορα ενώ προσπαθούσε να κλέψει αντικείμενα από το θησαυροφυλάκιο. Τον οδήγησαν στο βασιλιά και αυτός του είπε:
 «Θέλω να μου πεις πια ποινή σκεπτομαι  να πραγματοποιήσω γι’ αυτη σου τη πράξη: να  σε ρίξω στα λιοντάρια ή να σε ρίξω στους κροκόδειλους. Αν αυτή είναι αληθής, θα σε ρίξω στα λιοντάρια. Αν αυτή είναι ψευδής, θα σε ρίξω στους κροκόδειλους.»
Ο κλέφτης, αφου σκέφθηκε για λίγο, έδωσε μία απάντηση και ο βασιλιάς τον άφησε ελεύθερο. Ποια ήταν η απάντηση που έδωσε στον βασιλιά;

Λύση

Η απάντηση που έδωσε στο βασιλιά ήταν:
«Θα με ρίξεις στους κροκόδειλους!!»
που προκαλεί έναν φαύλο κύκλο συλογισμών καταλήγοντας σε παράδοξο. 1.)Εάν η πρόταση είναι αληθής, πρέπει να ριχθεί στα λιοντάρια, γεγονός που την κάνει ψευδή, οπότε πρέπει να ριχθεί στους κροκόδειλους, γεγονός που την κάνει αληθή ...
2.)Εάν η πρόταση είναι ψευδής, πρέπει να ριχθεί στους κροκόδειλους, γεγονός που την κάνει αληθή, οπότε πρέπει να ριχθεί στα λιοντάρια, γεγονός που την κάνει ψευδή ..
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes