Οι Χωρικοί και τ' Αυγά

Δυο χωρικοί έφεραν στην λαϊκή αγορά συνολικά 100 αυγά για να τα πουλήσουν. Ο ένας όμως είχε περισσότερα αυγά από τον άλλο. Και οι δύο όμως, αφού πούλησαν τα αυγά τους, πήραν τα ίδια χρήματα.
Ο πρώτος χωρικός είπε στο δεύτερο:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 15 σακιά πίτουρα».
Ο δεύτερος χωρικός του απάντησε:

-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα  6 και  2/3 σακιά πίτουρα».
Πόσα αυγά είχε ο καθένας από τους χωρικούς; (Κατ.34)

Πηγή:http://omathimatikos.gr/?p=7177

Λύση

Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη
Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β=100(1)
Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:
α*x ευρώ
Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:
(100-α)*ψ ευρώ
Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:
α*x=(100-α)*ψ (2)
Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:
(100-α)*χ=15*κ ----> x=15*κ/(100-α) (3)
Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:
α*ψ=(20*κ)/3 ---> ψ=(20κ)/3*α (4)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α*x=(100-α)*ψ ---> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α --->3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ
Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:
3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ --->
45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 --->
45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 --->
45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 ---> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 --->
25α^2+4.000α-200.000=0
Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:
25α^2+4.000α-200.000=0 ---> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 ---> α^2+160α-8.000=0 (5)
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:
α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —>
α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —> α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2
α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)
α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)
Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=100 ---> 40+β=100 β=100-40 ---> β=60 (7)
Επαλήθευση:
α+β=100 ---> 40+60=100 ο. ε. δ.
Σημείωση:
Από τη λύση δεν προσδιορίζεται η τιμή πώλησης του ενός αυγού από τον κάθε ένα. Απλά προσδιορίζεται μόνο ο αριθμός των αυγών. Οι μόνες λογικές τιμές, με τα σημερινά δεδομένα, που θα μπορούσαμε να αποδεχτούμε, είναι ο πρώτος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς x=0,60€ και ο δεύτερος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς ψ=0,40€.
Από τη (2) βρίσκουμε πόσα χρήματα εισέπραξε ο καθένας από την πώληση των αυγών:
α*x=(100-α)*ψ ---> α*x=60*ψ ---> 40*0,60=60*0,40 ---> 24=60*0,40
Άρα ο καθένας χωρικός εισέπραξε από την πώληση των αυγών του 24€
Και μια πολύ ωραία και σύντομη λύση του φίλου της ιστοσελίδας Voulagx.
Η εξίσωση (2) γράφεται:
α*x=(100-α)*ψ ---> χ/ψ=(100-α)/α (2)
Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (3) και (4) έχουμε:
[(100-α)/α]*[χ/ψ]=45/20=9/4=(3/2)^2
και λόγω της (2):
[(100-α)/α]^2=(3/2)^2
και επειδή αναζητούμε λύσεις στο σύνολο των ρητών θετικών αριθμών θα έχουμε:
(100-α)/α=3/2 ---> 200-2α=3α ---> 200=5α ---> α=40
άρα β=100-40=60.