Πέντε ναυαγοί κι’ ένας πίθηκος βρίσκονται σ’ ένα ερημονήσι. Επειδή δεν υπήρχε τίποτε για να φάνε μαζέψανε καρύδες και αφού τις αποθηκεύσανε σε κάποιο σημείο πέσανε να κοιμηθούνε. Τη νύκτα όμως ένας από αυτούς σηκώνετε και παίρνει το μερίδιό του, δηλαδή το 1/5 κι’ επειδή περίσσευε μια καρύδα τη δίνει στο πίθηκο. Το ίδιο επαναλήφθηκε και με τους άλλους τέσσερις ναυαγούς. Την επομένη ημέρα μοίρασαν αυτές που είχαν απομείνει και όλοι πήραν την ίδια ποσότητα. Όλοι, όμως, γνώριζαν ότι έλειπαν καρύδες, αλλά κανείς δεν μίλησε. Πόσες ήταν οι καρύδες στην αρχή;
(Κατ.36/Πρβλ. Νο.17)
Λύση:
(Κατ.36/Πρβλ. Νο.17)
Λύση:
Αναρτήσεις
2 σχόλια:
carlo έκανα και τη διερεύνηση!Η λύση που προτείνω είναι:
Λοιπόν σύμφωνα με την εκφώνηση ο 1ος ναυαγός παίρνει το μεριδιό του και δίνει μια καρύδα στον πίθηκο γιατί περισσεύει.Άρα για να πάρει το μεριδιό του διαιρεί τον αριθμό χ (ακέραιο πλήθος καρύδων πολ /σιο του 5) με 5.Οπότε αρχικά οι συνολικές καρύδες είναι χ+1 που προφανώς δεν είναι πολ/σιο του 5 γιατί η καρύδα +1 περισσεύει.
Άρα παίρνει χ/5, δίνει 1 στον πίθηκο οπότε μένουν χ-(χ/5)=4χ/5 καρύδες
Ο επόμενος(2ος) αφαιρεί από αυτές που έμειναν μία και τη δίνει στον πίθηκο και παίρνει το 1/5 αυτού του ποσού
Άρα το ποσό που απομένει συνολικά όταν παίρνει και αυτός το μεριδιό του είναι:
{(4χ/5 -1)-1/5(4χ/5 -1)}=((4χ-5)/5)-((4χ-5)/25)=(16χ-20)/25 μετά από απλοποιήσεις
Στη συνέχεια ένας άλλος ναυαγός(3ος) πάλι παίρνει το 1/5 αυτού που απέμεινε αφού πρώτα όμως δώσει μια καρύδα στον πίθηκο:
Άρα παίρνει {1/5*((16χ-20)/25-1)}
Οπότε απομένουν ((16χ-20)/25-1)- {1/5*((16χ-20)/25-1)}=(64χ-180)/125 καρύδες
Ομοίως ο 4ος:
Παίρνει {1/5*((64χ-180)/125-1)}
Άρα απομένουν ((64χ-180)/125-1)- {1/5*((64χ-180)/125-1)}= ((64χ-305)/125)-(( 64χ-305)/625)= 256χ-1220/625 καρύδες
Τέλος ο 5ος ναυαγός:
Παίρνει {1/5*((256χ-1220)/625 -1)}
Άρα απομένουν ((256χ-1220)/625 -1)- {1/5*((256χ-1220)/625 -1)}= ((256χ-1845)/625)-(( 256χ-1845)/3125)= 1024χ-7380/3125 καρύδες
Αυτή την ποσότητα την επόμενη μέρα τη μοίρασαν και πήραν τον ίδιο αριθμό ο καθένας
.Άρα είναι ακέραιο πολ/σιο του 5 άρα ισχύει η ισότητα
1024χ-7380/3125 =5κ
Λύνω ως προς χ (αρχικός αριθμός καρύδων) 1024χ=15625κ+7380
Άρα χ=(15625κ+7380)/1024 όπου κ θετικός ακέραιος
Άρα πρέπει να δοκιμάζω διάφορες ακέραιες θετικές τιμές κ εως ότου μου βγει το χ ακέραιος θετικός αριθμός(κανω δηλαδή διερεύνηση ακέραιων λύσεων)
Μετά από δοκιμές βρήκα ότι η συνθήκη ικανοποιείται για κ=204.Αντικαθιστώντας προκύπτει
χ=(15625*204+7380)/1024=3194880/1024=3120 καρύδες αρχικά!!!
@batman1986
Συγχαρητήρια!! Η απάντησή σου είναι σωστή. Οι ζητούμενες καρύδες είναι (Ν+1). Άρα οι καρύδες ήταν 3121.
Δημοσίευση σχολίου