Τα Καθίσματα

Σ' ένα θέατρο η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσματα και η τελευταία έχει 250 καθίσματα. Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η προτελευταία σειρά έχει 140 καθίσματα περισσότερα από τη δεύτερη σειρά.

Ζητούνται τα κάτωθι: 
α. Να αποδείξετε ότι κάθε σειρά καθισμάτων του θεάτρου έχει 20 καθίσματα περισσότερα από την προηγουμένη σειρά.
β. Να υπολογίσετε το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου.
γ. Την πρώτη παράσταση ενός θεατρικού έργου παρακολούθησαν 100 θεατές, ενώ σε κάθε επόμενη παράσταση ο αριθμός των θεατών διπλασιαζόταν. Ποια είναι η παράσταση στην οποία για πρώτη φορά θα γεμίσει το θέατρο. (Κατ.3/Πρβλ. Νο.18)          

Λύση

Η Λύση είναι του batman1986
α.Σύμφωνα με τα δεδομένα εφόσον έχουμε αριθμητική πρόοδο τότε
α1=70 καθίσματα και αν=250 καθίσματα.
αν-α1=180
Επίσης δίνεται ότι:
αν-1=α2+140
αν-1- α2=140(είναι υποσύνολο του (αν,α1)
Άρα (αν-1-αν)+(α2-α1)=180-140=40
Προφανώς κάθε όρος διαφέρει από τον προηγουμενό του μια σταθερή
ποσότητα έστω ω.Άρα εδώ (αν-1+αν)=(α1+α2)-40/2=20.
Άρα το αποδείξαμε.
β.Το πλήθος είναι το άθροισμα όλων των όρων της αριθμητικής
προοόδου άρα έχουμε:
(180/20)+1=9+1=10 όρους-σειρές καθισμάτων.
Άρα το πλήθος είναι:
Σ={ν(α1+αν)}/2=10*(70+250)/2=1600 καθίσματα.
γ. Σαυτή την πείπτωση έχουμε γεωμετρική πρόοδο αφού
με διπλασιασμό κάθε φορά έχουμε 100,200,400,800 κλπ.
με λόγο λ=2 γεωμετρικής προόδου και α1=100 θεατές
Ψάχνω το ν(αριθμός παράστασης) στην οποία το άθροισμα των ν
πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου θα είναι ίσο με 1600(πλήθος
καθισμάτων του θεάτρου αφού αυτό μας ζητείται.
Άρα έχουμε την εξίσωση:
Σν=α1*{(λ^ν-1)/(λ-1)}
1600=100*{(2^ν-1)/(2-1)}
2^ν-1=16
Για ν=4 έχουμε 2^ν-1<16 Για ν=5 2^ν-1>16
Άρα στην 5η παράσταση το κοινό που θα πάει θα γεμίσει το θέατρο
και μάλιστα κάποιοι δεν θα χωρέσουν να μπουν ή θα μείνουν όρθιοι!