Η Αλληλοαπειλή

 Ένας πύργος και ένας αξιωματικός τοποθετούνται σε τυχαίες θέσεις σε μία σκακιέρα. Ποια η πιθανότητα το ένα κομμάτι ν’ απειλεί το άλλο; (Προφανώς όχι ταυτόχρονα.)

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.482) 

Διευκρίνιση:

Ο Πύργος κινείται στη σκακιέρα οριζόντια και κάθετα.

Ο Αξιωματικός κινείται στη σκακιέρα διαγώνια ανάλογα σε ποια τετράγωνα κινείται, λευκά ή μαύρα, οπότε έχουμε λευκοτετράγωνο Αξιωματικό ή μαυροτετράγωνο Αξιωματικό.

Λύση

Λύση που έστειλε ο batman1986.
Εφόσον ο αξιωματικός είναι οποιουδήποτε χρώματος(μάυρο η λευκό
δεν ξέρουμε) τότε η πιθανότητα να τον απειλεί ο πύργος είναι
=14/63=2/9=22,2%. Αυτό συμβαίνει διότι οπουδήποτε και να
τοποθετήσουμε τον πύργο τα απειλούμενα τετράγωνα στα οποία μπορεί
να βρεθεί αξιωματικός(αγνώστου χρώματος) είναι συνολικά 14(7 στη
στήλη και 7 στη γραμμή του πύργου).Αυτή είναι η απλή περίπτωση.
Τα πράγματα είναι πιο περίπλοκα με τον αξιωματικό:
Βρήκα τσεκάροντας τη σκακιέρα ότι ανάλογα με το σε ποιο τετράγωνο
βρίσκεται ο αξιωματικός η πιθανότητα να απειλείται ο βασιλιάς
ομαδοποιείται αναλόγως σε ποια από τις 4 περιοχές βρίσκεται ο
αξιωματικός.Αυτές οι περιοχές είναι οι εξής:
-Περιοχή που απειλεί 7 τετράγωνα
Αφορά όλα τα τετράγωνα της 1ης και 8ης σειράς καθώς και τα
α2 ,α4,α6,θ3,θ5,θ7(γράφω μόνο αυτά στην περίπτωση που είναι
λευκοτετράγωνος.
Προφανώς λόγω συμμετρίας επί 2)
Άρα τα συνολικά τετράγωνα για αυτή την περιοχή
Είναι 8+8(1η και 8η σειρά)+2*6(για α2 ,α4,α6,θ3,θ5,θ7 και τα
συμμετρικά τους). Σύνολο 16+12=28 τετράγωνα
-Περιοχή που απειλεί 9 τετράγωνα
Έχουμε για λευκοτετράγωνο αξιωματικό τα εξής τετράγωνα που
μπορεί να τοποθετηθεί για να ικανοποιεί αυτό το δεδομένο
γ2,ε2,η2,β7,δ7,ζ7,β3,η6,η4,β5
Δηλαδή 10.Άρα λόγω πιθανότητας ύπαρξης και μαυροτετράγωνου
είναι 2*10=20
-Περιοχή που απειλεί 11 τετράγωνα
Έχουμε για λευκοτετράγωνο αξιωματικό τα εξής τετράγωνα που
μπορεί να τοποθετηθεί για να ικανοποιεί αυτό το δεδομένο
Δ3,ζ3,γ6,ε6,γ4,ζ5
Δηλαδή 6.Άρα λόγω πιθανότητας ύπαρξης και μαυροτετράγωνου
είναι 2*6=12
-Περιοχή που απειλεί 13 τετράγωνα
Έχουμε για λευκοτετράγωνο αξιωματικό τα εξής τετράγωνα που
μπορεί να τοποθετηθεί για να ικανοποιεί αυτό το δεδομένο
Δ5 και ε4
Δηλαδή 2.Άρα λόγω πιθανότητας ύπαρξης και μαυροτετράγωνου
είναι 2*2=4
Επαλήθευση:
28+20+12+4=64 τετράγωνα (κάλυψα όλες οι περιπτώσεις)
Άρα η πιθανότητα ο αξιωματικός να απειλεί τον πύργο είναι:
(28/64)*(7/63)+(20/64)*(9/63)+(12/64)*(11/63)+(4/64)*(13/63)=5/36
Επεξήγηση πρώτου όρου (28/64)*(7/63).Πιθανότητα ο αξιωματικός να
βρίσκετια στην πρώτη περιοχή και ο πύργος σε ένα από τα 7 τετράγωνα
που απειλεί ο αξιωματικός όταν βρίσκεται σε αυτή την περιοχή
Ομοίως τα υπόλοιπα. Άρα:
Επειδή τα γεγονότα είναι αμοιβαίως ασύμβατα (δηλαδή σύμφωνα με τον
νόμο των πιθανοτήτων Ρ(Α τομή Β)=0) έχουμε
Απλή άθροιση δηλαδή θέλουμε να συμβαίνει ή το ένα ή το άλλο άρα:
Ρ(ΑUB)=(2/9)+(5/36)=22,2+13,88=36,11% περίπου
Αν είχαμε βασίλισσα αντί για αξιωματικό τα γεγονότα δεν θα ήταν
ασύμβατα Άρα Ρ(Α τομή Β) διάφορη του μηδενός….

Δική μου
Εάν ο πύργος είναι σε ένα από τα 4 κεντρικά τετράγωνα, απειλεί 14
τετράγωνα και απειλείται διαγώνια από 13 τετράγωνα και συνολικά 27
τετράγωνα. Αυτό το σύνολο είναι 25 για τα τετράγωνα που οριοθετούν
το κέντρο, 23 για τα τετράγωνα που οριοθετούν αυτά, και 21 για τα
εξωτερικά τετράγωνα. Η πιθανότητα το ένα κομμάτι ν’ απειλεί το άλλο
είναι επομένως:
(4/64)*(27/63)+(12/64)*(25/63)+(20/64)*(23/63)+(28/64)*(21/63)=13/36
Έτσι η απάντηση είναι 13/36=36,11%.