Χι στη Τρίτη (Χ^3)

 Δίδεται η εξίσωση: χ^2 + χ  + 1 = 0. Να βρεθεί η τιμή του χ^3. 
(Κατ.34?Πρβλ.478)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/05/blog-post_5517.html

Λύση

Η Λύση που έστειλε ο φίλος της ιστοσελίδας N. Lntzs.
Στην ταυτότητα
χ^3 -1=(χ-1)*(χ^2+χ+1)αντικαθιστώ
το χ^2+χ+1=0 και έχω:
χ^3 -1=0 <--> χ^3=1 ---> χ=1.
Αν δούμε όμως το πρόβλημα και από την σκοπιά των μιγαδικών
και λύσουμε την εξίσωση χ^2+χ+1=0 θα πάρουμε δύο ρίζες:
x1=[-1+i*sqrt(3)]/2 και
x2=[-1-i*sqrt(3)]/2.
που γραφονται σε τριγωνομετρική μορφή:
x1=cos(2π/3)+i*sin(2π/3) και
x2=cos(4π/3)+i*sin(4π/3).
Αν υψωθούν στον κύβο θα έχουμε:
x1^3=cos(3*2π/3)+i*sin(3*2π/3)=
=cos(2π)+i*sin(2π)=1+i*0=1
Ομοίως:
x1^3=cos(3*4π/3)+i*sin(3*4π/3)=
=cos(4π)+i*sin(4π)=1+i*0=1.
Η απάντηση λοιπόν είναι: x^3=1.
Σημ. η εξίσωση χ^3 -1=0 ή
(χ-1)*(χ^2+χ+1)=0
(ως τριτοβάθμια)έχει τρείς ρίζες εκ των οποίων μία
πραγματική την x=1 (=1+0*i=cos0+i*sin0)
και δύο μιγαδικές τις:
x1=cos(2π/3)+i*sin(2π/3)
x2=cos(4π/3)+i*sin(4π/3).
Οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στον
μοναδιαίο κύκλο και είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου
με κορυφές:
Α(1,0)
Β(-1/2,sqrt(3)/2)
Γ(-1/2,-sqrt(3)/2).