Οι Βώλοι

Ο Νίκος έχει ένα κουτί γεμάτο βώλους. Όταν  τους μοιράζει σε σωρούς

των 11 ή των 13 βόλων του περισσεύουν δύο βώλοι. Ενώ, όταν τους 

μοιράζει σε σωρούς των 9 ή των 17  βόλων του περισσεύει ένας βώλος. 

Πόσους βώλους έχει το κουτί; (Κατ.5/Πρβ. Νο.17)

Λύση

Έστω ότι ο αριθμός των βώλων είναι "x". Βάσει των δεδομένων του πρώτου
σκέλους του προβλήματος θα ισούται με x = (11*13*α)+2. Βάσει των
δεδομένων του δευτέρου σκέλους του προβλήματος θα ισούται με
x = (9*17*β)+1.Επειδή είναι ίσα θα έχουμε:
(11*13*α)+2 = (9*17*β)+1 --> 143α+2 = 153β+1 --> 143α =153β+1-2 -->
143α = 153β-1.
Το δεύτερο σκέλος της εξισώσεως μπορεί να γραφεί και ως εξής:
153β-1= 143β+(10β-1), οπότε έχουμε:
143α=143β+(10β-1) --> 143α-143β=(10β-1)--> 143(α-β) = (10β-1) -->
(α-β) = (10β-1)/143 (1)
Η παράσταση (10β-1) είναι ένας αριθμός πολλαπλάσιος του 143, διότι
όταν διαιρεθεί με το143 πρέπει να δώσει ως πηλίκο έναν ακέραιο
αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Τα πολλαπλάσια του 143 είναι: 143,286,429,572,715,858,1.001,1.144,1.287,1.430 κ.λπ.
Εάν προσθέσουμε τη μονάδα του αριθμητή στα πολλαπλάσια ο μόνος
αριθμός με μηδέν στο τέλος είναι 429 (429+1 = 430), ο οποίος
προκύπτει εάν δώσουμε στο "β" τη τιμή 43,[(10*43)-1] --> (430-1)=429,
οπότε διαιρείται ακριβώς από τον αριθμό 143. Άρα β = 43.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "β" στην (1) κι’ έχουμε:
(α-β) = (10β-1)/143 --> α-43 = [(10*43)-1]/143 --> α-43 =(430-1)/143 -->
α-43 = 429/143 --> α-43 = 3 --> α=3+43 --> α = 46
Επαλήθευση:
(11*13*α)+2=(9*17*β)+1 --> (11*13*46)+2=(9*17*43)+1 -->
6578+2=6579+1 --> 6580=6.580 ο.ε.δ.