Ρώτησαν οι μαθητές τον καθηγητή της Χημείας πόσο χρονών είναι.
Αυτός τους απάντησε:
-"Η ηλικία μου σε εβδομάδες είναι ένας αριθμός που:
- Διαιρούμενος με το 2 αφήνει υπόλοιπο 1
- Διαιρούμενος με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2
- Διαιρούμενος με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
- Διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 4
- Διαιρούμενος με το 6 αφήνει υπόλοιπο 5
- Διαιρούμενος με το 7 αφήνει υπόλοιπο 6
- Διαιρούμενος με το 8 αφήνει υπόλοιπο 7
- Διαιρούμενος με το 9 αφήνει υπόλοιπο 8
- Διαιρούμενος με το 10 αφήνει υπόλοιπο 9"
Να βρεθεί η ηλικία του καθηγητή.
Διευκρίνιση:
Το πρόβλημα είναι απλό. Το σημαντικό είναι να βρεθεί ένας απλός
τρόπος υπολογισμού και το σκεπτικό. (Κατ.5/Πρβ. Νο.24)
Λύση
Είναι προφανές ότι αν x η ηλικία του καθηγητή σε εβδομάδες τότε το (x + 1)
διαιρείται με τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και 10, άρα είναι το
Ε.Κ.Π. αυτών των αριθμών και κάθε πολλαπλάσιό του. Όμως το Ε.Κ.Π. των
αριθμών (2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10) είναι το 2.520, άρα (x + 1) = 2.520 =>
x = 2.520 – 1 => x = 2.519 εβδομάδες.
Αναγάγουμε τις εβδομάδες σε έτη κι’ έχουμε 2.519:52 = 48,44 ετών. Οι
λύσεις πολλαπλάσια του 48,44 (48 ετών και 44 ημερών) δεν αποτελούν,
στην εποχή μας τουλάχιστον, λογική λύση.
Αναρτήσεις
2 σχόλια:
*Η ηλικία του καθηγητή σε εβδομάδες είναι 4-ψήφιος ακέραιος αριθμός έστω αβγδ (με 4>=α>=1) {διότι -μάλλον- θα είναι μεγαλύτερος των 20 ετών (εβδομάδες 1040) και μικρότερος από 90 ετών εβδομάδων (εβδομάδες 4680)}
* Ένας οποιοσδήποτε ακέραιος γράφεται με την μορφή: (ακέραιος=modν+υ, όπου modν= πηλίκο της διαίρεσης του ακεραίου δια του ν & υ=το υπόλοιπο της διαίρεσης)
* αβγδ=mod10+9 άρα δ=9 {αφού α αριθμός (αβγδ-9) έχει τελευταίο ψηφίο το 0}
* Ένας ακέραιος διαιρείται με το 4 όταν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του διαιρείται με το 4 άρα αφού αβγ9=mod4+3 συνάγεται ότι
αβγ6 = mod4 άρα ο διψήφιος αριθμός ’γ6’ θα πρέπει να είναι 16 ή 36 ή 56 ή 76 ή 96 δηλ. το γ: 1 ή 3 ή 5 ή 7 ή 9 (1)
* Ένας ακέραιος για να διαιρείται με το 3 και με το 9 πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του να είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 9 επομένως:
αβγ9= mod3+2 άρα α+β+γ+7= mod3 (2)
αβγ9= mod9+8 άρα α+β+γ+1= mod9 (3)
Επίσης: 10<= α+β+γ+9 <=31 (επειδή 4>= α>= 1) δηλ. 1<=α+β+γ<=22 (4)
Από (3)^(4) προκύπτει:
α+β+γ+1 = 9 ή 18 άρα
α+β+γ = 8 ή 17 (5)
Από (2)^(4) προκύπτει:
α+β+γ+7= 12 ή 15 ή 18 ή 21 ή 24 ή 27 άρα
α+β+γ = 5 ή 8 ή 11 ή 14 ή 17 ή 20 (6)
* αβγ9 = mod6+5 δηλαδή αβγ4 =mod6 = mod3/2 άρα
άρα α+β+γ+4 = 6 ή 12 ή 18 ή 24 {λόγω της (4)} άρα
α+β+γ= 2 ή 8 ή 14 ή 20 (7)
(5)^(6)^(7) δίνει: α+β+γ= 8 (9)
επομένως το γ δεν είναι 9
Δηλαδή οι δυνατοί αριθμοί είναι οι:
αβ19 με α+β=8 δηλαδή ο αριθμοί: 1719 ή 2619 ή 3519 ή 4419
αβ39 με α+β=5 δηλαδή οι αριθμοί: 1439 ή 2339 ή 3239 ή 4139
αβ59 με α+β=3 δηλαδή ο αριθμός 1259 που απορρίπτεται με δοκιμή (διαίρεση με 8) ή ο αριθμός 2159 που απορρίπτεται με δοκιμή (διαίρεση με 7)
αβ79 με α+β=1 δηλαδή ο αριθμός 1079 που απορρίπτεται με δοκιμή (διαίρεση με 7)
Με δοκιμές δεν απομένει κανένας αριθμός !!!
@ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΚΑΤΑΣΤΡΩΜΑΤΟΣ
Η ανάλυση που κάνεις είναι πολύ εμπεριστατωμένη και λίγο πολύπλοκη.
Εγώ χρησιμοποίησα το Ε.Κ.Π. των διαιρετών που παριστάνει εβδομάδες
(2519)και το διαίρεσα με το 52 (εβδομάδες του έτους)και βρήκα 48,44, δηλαδή 48 ετών και 44 ημερών.Τα πολλαπλάσια αυτού δεν αποτελούν λογική λύση.
Δημοσίευση σχολίου