Το Λάθος

Ο κ. Ασημάκης, συνταξιούχος του δημοσίου, πάει στην τράπεζα για να εξαργυρώσει μια επιταγή, η οποία ήταν «x» ευρώ  και «ψ» λεπτά. Ο ταμίας έκανε λάθος και του έδωσε «ψ» ευρώ και «x» λεπτά. Ο κ. Ασημάκης μη αντιλαμβανόμενος  το λάθος που έγινε φεύγει από την τράπεζα για να πάει στο σπίτι του. Στο δρόμο, πηγαίνοντας για το σπίτι, συνάντησε έναν φτωχό και του έδωσε 5 λεπτά!!. Φτάνοντας στο σπίτι διαπιστώνει ότι τα λεφτά που έχει στο πορτοφόλι είναι τα διπλά από ότι ήταν το ποσόν της επιταγής. Μπορείτε να βρείτε το ποσόν της επιταγής;

Διευκρίνηση:

Πριν ξεκινήσει ο κ. Ασημάκης για να πάει στην τράπεζα δεν είχε χρήματα. (Κατ.34)

Λύση

Το ποσόν της επιταγής του κ. Ασημάκη ήταν 31,63€. Έστω «χ» ευρώ και «ψ» λεπτά. Ο κ. Ασημάκης έπρεπε να πάρει (100χ+ψ) ευρώ ενώ ο ταμίας του έδωσε κατά λάθος (100ψ+χ) ευρώ. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ (1)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
5+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ ---> 5+200χ+2ψ=100ψ+χ ---> 200χ-χ=100ψ-2ψ-5 ---> 199χ=98ψ-5 ---> χ=(98ψ-5)/199 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ψ" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "χ" είναι ο αριθμός ψ=63
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ψ» στη (2) κι’ έχουμε:
x=(98ψ-5)/199 ---> x=[(98*63)-5]/199 ---> x=( 6.174-5)/199 --->
x=6.169/199 ---> x=31 (3)
Επαλήθευση:
Λανθασμένη εξαργύρωση της επιταγής από τη ταμία:63,31€
Ποσό επιταγής:31,63€
Διαφορά:
63,31-31,63= 31,68€ (31,63€+0,05€)
Έδωσε 5 λεπτά στο φτωχό, οπότε του έμειναν:
63,31-0,05=63,26€
που αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει. (31,63€*2)
Επαλήθευση:
5+2*(100x+ψ)=100ψ+x ---> 5+2*[(100*31)+63]=[(100*63)+31] ---> 5+2*(3.100+63)=6.300+31 ---> 5+6.200+126=6.331 ο.ε.δ.
Διαφορετικός Τρόπος Λύσης:
Ο κ. Ασημάκης έπρεπε να πάρει α € και β λεπτά αλλά πήρε β € και α λεπτά.
Άρα τελικά (δίνοντας τα 5 λεπτά στο φτωχό) έμεινε με β € και (α-5) λεπτά
Η σχέση διπλάσιο στα λεφτά είναι στην ουσία δυο περιπτώσεις:
1. α € και β λεπτά –> 2α € και 2β λεπτά πχ 1,30 –> 2,60€
2. α € και β λεπτά –> (2α+1) € και (2β-100) λεπτά πχ 1,70 –> 3,40€
Αν δοκιμάσουμε την πρώτη περίπτωση φτάνουμε σε αδύνατο σύστημα ενώ για τη δεύτερη περίπτωση έχουμε:
β = 2α + 1 (1)
α-5 = 2β – 100 (2)
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
α-5 = 2β – 100 ----> α-5=2*(2α+1)-100 ----> α-5=4α+2-100 ----> 4α-α=100-5-2 ----> 3α=100-7 ----> 3α=93 ----> α=93/3 ----> α=31 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
β = 2α + 1 ----> β=[(2*31)+1] ----> β=62+1 ----> β=63
Η αξία της επιταγής ήταν 31,63€, από λάθος του ταμία πήρε 63,31€, δίνει 5 λεπτά στο φτωχό και του μένουν 63,26€ που είναι το διπλάσιο του 31,63€.