Η Απόσταση ΙΙΙ

Στο ανωτέρω σχήμα , έχουμε δυο πασσάλους με ύψη 10μέτρα και 6μέτρα αντίστοιχα, οι οποίοι συνδέονται με δυο σχοινιά τα ΒΓ και ΑΔ.

(α)Αν η μεταξύ τους απόσταση, ΑΓ είναι ίση με 10μέτρα σε ποιο ύψος από το έδαφος ΑΓ βρίσκεται η τομή των σχοινιών;  (Σχήμα 1)

(β)Αν η μεταξύ τους απόσταση  ΑΓ είναι ίση με 16μέτρα σε ποιο ύψος από το έδαφος βρίσκεται τώρα  η τομή των δυο σχοινιών; (Σχήμα 2)

(γ)Εξηγήστε γιατί η απόσταση των πασσάλων είναι ανεξάρτητη από το ύψος των σχοινιών.

 Λύση

(Α)Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης έχουμε:
ΕΚ = υ, ΑΓ = 10, ΑΚ = α, και ΓΚ = (10-α)
(i)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΓΔ) και (ΑΕΚ) έχουμε::
ΑΚ/ΑΓ=ΕΚ/ΓΔ ----> α/10=υ/6 ----> 6α=10υ ----> υ=6α/10 ----> υ=0,6α (1)
(ii)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΒΓ) και (ΕΚΓ) έχουμε:
ΚΓ/ΑΓ=ΕΚ/ΑΒ ----> (10-α)/10=υ/10 ----> 10*(10-α)=10υ ----> υ=10*(10-α)/10 ----> υ=(10-α) (2)
Επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια τα ύψη είναι ίσα, άρα έχουμε:
0,6α= 10-α ----> 0,6α+α=10 ----> α*(0,6+1)=10 ----> 1,6α=10 ----> α=10/1,6 ----> α=6,25μ. (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
υ=(10-α) ----> υ=10-6,25 ----> υ=3,75μ. (4) (ΣΧΗΜΑ 1)
(Β) ΕΚ = υ, ΑΓ = 16, ΑΚ = α, και ΓΚ = (16-α)
(i)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΓΔ) και (ΑΕΚ) έχουμε::
ΑΚ/ΑΓ=ΕΚ/ΓΔ ----> α/16=υ/6 ----> 6α=16υ ----> υ=6α/16 ----> υ= 0,375α (1)
(ii)Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων (ΑΒΓ) και (ΕΚΓ) έχουμε:
ΚΓ/ΑΓ=ΕΚ/ΑΒ ----> (16-α)/16=υ/10 ----> 10*(16-α)=16υ ----> υ=10*(16-α)/16 ----> υ=(160-10α)/16 (2)
Επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια τα ύψη είναι ίσα, άρα έχουμε:
0,375α = (160-10α)/16 ----> 16*0,375α =160-10α ----> 6α=160-10α ----> 10α+6α=160 ----> 16α=160 ----> α = 160/16 ----> α=10 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
υ=(160-10α)/16 ----> υ=(160-10*10)/16 ----> υ = (160-100)/16 -----> υ = 60/16 ----> υ = 3,75μ. (4)  (ΣΧΗΜΑ 2)
Είναι αδύνατον να βρούμε την απόσταση ανάμεσα στους δύο πασσάλους. Το ύψος στο οποίο διασταυρώνονται τα σχοινιά θα είναι πάντα 3,75μ., ανεξάρτητα από την απόσταση των πασσάλων. Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης μια παραλλαγή στην οποία τα μήκη είναι δεδομένα, στα σχοινιά, στο ύψος του σημείου της διασταύρωσης των σχοινιών από το έδαφος και ζητείται η απόσταση μεταξύ των δύο πασσάλων. Το βιβλίο του Martin Gardner "Το Τσίρκο των Μαθηματικών",1990, έκδοση Τροχαλία, §3, σελίδα 53, αναφέρει ότι η απλούστερη ακέραια λύση του προβλήματος είναι η εξής:
Μήκη σχοινιών:119μ. και 70μ.
Ύψος σημείου διασταύρωσης των σχοινιών από το έδαφος:30μ.
Απόσταση μεταξύ των πασσάλων:56μ.
Μήκη πασσάλων:105μ. και 42μ.
Επίσης ο Brian Bolt στο βιβλίο του «Mathematical Cavalcade», 1992 έκδοση Cambridge University Press, αναφέρει δύο παραλλαγές του προβλήματος Νο.92, σελίδα 77 και Νο.110, σελίδα 88.