Το Τρένο

Ένα τρένο περνά δύο πεζούς που περπατούν, προς την ίδια κατεύθυνση που πηγαίνει και το τραίνο, με ταχύτητα 2χλμ  την ώρα ο ένας και 4χλμ την ώρα ο άλλος και τους προσπερνάει τελείως σε 9 δευτερόλεπτα και 10 δευτερόλεπτα αντίστοιχα. Ποιο είναι το μήκος του τρένου; 

(Κατ.34/Πρβλ. Νο.494)

Λύση

Λύση του N. Lntzs.
Στο χρονικό διάστημα των 9 sec, ο πρώτος πεζός διήνυσε απόσταση
S1 = U1*t1 = 2km/h * 9 sec = 5 m.
O δεύτερος πεζός διήνυσε απόσταση
S2 = U1*t2 = 4km/h * 10 sec = 100/9 m
Η ταχύτητα U του τρένου ισούται με το πηλίκο του διαστήματος δια
του χρόνου, εντός του οποίου διήνυσε το διάστημα.
Το χρονικό διάστημα των 9 sec που χρειάστηκε το τρένο προκειμένου
να προσπεράσει την πρώτο πεζό, διήνυσε απόσταση ίση με το μήκος S
του τρένου σύν τα 5 m που διήνυσε ο πεζός,
Δηλaλαδή, U=(S+5)/9. (1)
Ομοίως για τον δεύτερο πεζό ισχύει
U=(S+100/9)/10. (2)
(1),(2)----> (S+5)/9=(S+100/9)/10
ή 10*S+50=9*S+100 ή
S=50 m.
Το μήκος λοιπόν του τρένου ήταν πενήντα μέτρα(50 m).
Λύση Papaveri.
Το μήκος του τρένου είναι 50 μέτρα. Έστω «ω» το μήκος του τρένου.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Από το τύπο της σχετικής ταχύτητας S=d/t βρίσκουμε τις σχετικές
ταχύτητες του τρένου όταν προσπερνάει το πρώτο πεζό και το δεύτερο
πεζό αντίστοιχα.Μετατρέπουμε τα χιλιόμετρα σε μέτρα και την ώρα σε
δευτερόλεπτα.
Το ένα χιλιόμετρο έχει 1.000μέτρα.
Η ώρα έχει 60*60=3.600 δευτερόλεπτα.
Η αναλογία είναι 1.000/3.600 --> 10/36 --> (5/18)μ/δ
Α)Η σχετική ταχύτητα όταν περνάει το πρώτο πεζό είναι:
S=d/t --> (S-2)*5/18=ω/9 --> S=[(18ω/5*9)+2) --> S=[(2ω/5)+2] -->
S=(2ω+10)/5 (1)
Β)Η σχετική ταχύτητα όταν περνάει το δεύτερο πεζό είναι:
S=d/t-->(S-4)*5/18=ω/10-->S=[(18ω/5*10)+4)-->S=[(18ω/50)+4]-->
S=[(9ω/25)+4]--> S=(9ω+100)/25 (2)
Επειδή η σχετικές ταχύτητες είναι ίσες έχουμε:
S1=S2-->(2ω+10)/5=(9ω+100)/25-->25*(2ω+10)=(5*(9ω+100)-->
50ω+250=45ω+500 --> 50ω-45ω=500-250 --> 5ω=250 --> ω=50μέτρα.
Επαλήθευση:
(2ω+10)/5=(9ω+100)/25 --> (2*50+10)/5=(9*50+100)/25 -->
(100+10)/5=(450+100)25 --> 110/5=550/25 --> 22=22 ο.ε.δ.