Τα Τηλεφωνήματα

Τα μέλη μιας παρέας, για να συνεννοηθούν για τη βραδινή τους έξοδο, μίλησαν όλοι με όλους, αλλά από μια μόνο φορά κάθε δύο άτομα μεταξύ τους. Στη διάρκεια της ημέρας έγιναν συνολικά 45 τηλεφωνήματα. Πόσα είναι τα μέλη της παρέας; Ποιο αριθμητικό υπόδειγμα διακρίνεται στο πρόβλημα; (Κατ.3/Πρβλ. Νο.19) 
Πηγή:mathslife.eled

Λύση

Λύση N. Lentzs.
1. Αλγεβρική αντιμετώπιση.
Έστω ν (με ν>0) ο αριθμός των ατόμων.
Καθένα από τα ν άτομα, επικοινώνησε τηλεφωνικά με τα υπόλοιπα ν-1 άτομα.
Συνεπώς τα τηλεφωνήματα που έγιναν ήταν ν*(ν-1)/2. Αλλά το πλήθος των
τηλεφωνημάτων που έγιναν ήταν 45.
Επομένως: ν*(ν-1)/2=45
ν^2-ν-90=0
ν=10 ή ν=-9(απορρίπτεται)
Άρα τα άτομα ήταν δέκα.

2. Γεωμετρική αντιμετώπιση.
Τα άτομα θα μπορούσαμε να τα θεωρήσουμε σημεία Α1, Α2, Α3, ...Αν.
Έτσι μπορούμε να φανταστούμε ότι αποτελούν τις κορυφές ενός ν-γώνου,
κάθε δε τηλεφώνημα μεταξύ δύο ατόμων, το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει.
Στο μοντέλο αυτό, το πλήθος των τηλεφωνημάτων ισούται με το πλήθος των
ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνει όλα τα σημεία μεταξύ τους.
και αυτό είναι το άθροισμα του πλήθους των πλευρών(=ν)με αυτό των
διαγωνίων (=ν(ν-3)/2).
Άρα ν + ν(ν-3)/2 = 45 <---> ν=10 (δεκτή) ή ν=-9(απορρίπτεται).
(Πρόκειται λοιπόν για δεκάγωνο με 10 πλευρές και 35 διαγωνίους)
Άρα τα άτομα ήταν δέκα.

3. Αντιμετώπιση με συνδυαστική.
Αν ν το άτομα τότε το πλήθος των τηλεφωνημάτων είναι όσοι και οι
συνδυασμοί των ν ανά 2.
δηλ.(ν ανά 2)=ν!/[2!*(ν-2)!)=45
(ν-1)*ν/2=45 --->ν=10 ή ν=-9(απορρίπτεται).
Τα άτομα λοιπόν ήταν δέκα.

Σημείωση:
α) ν!=1*2*3*...*ν
β) οι συνδυασμοί των ν ανά κ είναι:(ν ανά κ)=ν!/[κ!9ν-κ)!]

Λύση batman1986
Έτσι όπως το βλέπω έχουμε αριθμητική πρόοδο. Το θέμα είναι να
βρούμε πόσοι είναι οι όροι για να βρούμε και τον αριθμό ατόμων της
παρέας. Έστω ν άτομα
Ο ν-οστός μιλάει μία φορά σε καθένα από τα υπόλοιπα ν-1 άτομα
Ο ν-1 στα υπόλοιπα ν-2 άτομα(αφαιρούμε τον ν- οστό αφού μίλησε στη
σειρά του με τον ν-1.Δεν μπορούν να ξαναμιλησουν)
Ο ν-2 στα υπόλοιπα ν-3 άτομα
Άρα έχουμε αριθμητική πρόοδο με σταθερή διαφορά διαδοχικών όρων 1
και άθροισμα όρων
ν+(ν-1)+(ν-2)+(ν-3)+(ν-4)+(ν-5)+....+1
Για να έχουμε άθροισμα 45 πρέπει
(ν+1)*ν/2=45
(ν+1)*ν=90
Ο όροι της προόδου αντιστοιχούν στον αριθμό των τηλεφωνημάτων άρα:
Ο 10ς κάνει 9 τηλεφωνήματα.
Ο 9ος κάνει 8 τηλεφωνήματα.
....
....
και ο 1ος κανένα τηλεφώνημα αφού έχει μιλήσει με τους υπόλοιπους 9
Επαλήθευση:
Άρα οι όροι ήταν
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 (βάζω το 0 για να φανεί ότι είναι 10 τα άτομα.)

Λύση Papaveri
Πρώτος Τρόπος Λύσης:
Τα μέλη της παρέας αποτελούνται από 10 μέλη. Εφαρμόζεται η αριθμητική
πρόοδος. Για κάθε νέο άτομο που προστίθεται στην παρέα, προσθέτουμε
στα τηλεφωνήματα που χρειάζονται οι υπόλοιποι για να μιλήσουν όλοι
μεταξύ τους τόσα τηλεφωνήματα, όσα είναι οι υπόλοιποι. Έτσι:
2 άτομα χρειάζονται 1 τηλεφώνημα.
3 άτομα χρειάζονται 1 + 2 = 3 τηλεφωνήματα.
4 άτομα χρειάζονται 3 + 3 = 6 τηλεφωνήματα.
5 άτομα χρειάζονται 6 + 4 = 10 τηλεφωνήματα.
6 άτομα χρειάζονται 10 + 5 = 15 τηλεφωνήματα.
7 άτομα χρειάζονται 15 + 6 = 21 τηλεφωνήματα.
8 άτομα χρειάζονται 21 + 7 = 28 τηλεφωνήματα.
9 άτομα χρειάζονται 28 + 8 = 36 τηλεφωνήματα.
10 άτομα χρειάζονται 36 + 9 = 45 τηλεφωνήματα.
Δεύτερος Τρόπος Λύσης:
Κάθε άτομο μιλά με όλους τους άλλους, άρα «συμμετέχει» σε τόσα
τηλεφωνήματα όσα είναι τα μέλη της παρέας μείον 1. Επομένως το
πλήθος των «συμμετοχών» είναι το γινόμενο του αριθμού που εκφράζει το
πλήθος των μελών της παρέας με τον προηγούμενο του. Επειδή σε κάθε
τηλεφώνημα «συμμετέχουν» δύο συνομιλητές, οι «συμμετοχές» είναι
διπλάσιες από τα τηλεφωνήματα, δηλαδή 90. Άρα το πλήθος των μελών της
παρέας είναι ο αριθμός, που πολλαπλασιαζόμενος με τον προηγούμενο του
δίνει 90. Και αφού 10 x 9 = 90, τα μέλη της παρέας είναι 10.