Τα Χριστούγεννα

Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα, η μέρα των Χριστουγέννων να είναι Κυριακή,  δεν είναι το 1/7. (Κατ.33/Νο.41) 

Μαθηματικός Διαγωνισμός Putnam,1950

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/12/putnam.html

Λύση

Λύση του Βασίλη. Ένας χρόνος έχει 365 ημέρες, δηλαδή 365/7=52 εβδομάδες και 1 ημέρα. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι, αν φέτος τα Χριστούγεννα είναι Δευτέρα, το επόμενο έτος θα είναι Τρίτη, το μεθεπόμενο Τετάρτη κ.ο.κ. Κάθε τέσσερα έτη όμως έχουμε το δίσεκτο έτος το οποίο έχει 366 ημέρες, ήτοι: 52 εβδομάδες και δύο ημέρες. Άρα, αν τα Χριστούγεννα φέτος είναι Τρίτη και έπεται δίσεκτο έτος, τα επόμενα Χριστούγεννα θα είναι Πέμπτη. Ξεκινάμε από τα Φετινά Χριστούγεννα που είναι Πέμπτη και το επόμενο δίσεκτο έτος είναι το 2016. Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Χριστούγεννα(έτος)-Ημέρα 2014-Πέμπτη, 2015-Παρασκευή, 2016-Κυριακή, 2017-Δευτέρα, 2018-Τρίτη, 2019-Τετάρτη, 2020-Παρασκευή, 2021-Σάββατο, Βλέπουμε ότι, για να περάσει η γιορτή από όλες τις ημέρες δε χρειάστηκαν επτά χρόνια (όπως θα συνέβαινε αν δεν υπήρχαν δίσεκτα έτη), αλλά 8 και πως η πιθανότητα να πέσουν τα Χριστούγεννα Κυριακή είναι 1/8 σε αυτήν την περίπτωση. Αυτή η οκταετία είναι και η ελάχιστη διάρκεια ετών μέσα στην οποία μπορούν να "εξαντληθούν" όλες οι ημέρες που μπορούμε να έχουμε Χριστούγεννα. Συνεπώς γενικά η πιθανότητα να έχουμε Χριστούγεννα Κυριακή είναι ν/8, όπου «ν» θετικός ακέραιος μικρότερος του οκτώ. Όμως κανένας από τους αριθμούς αυτούς (ν/8) δεν είναι ίσος με 1/7, συνεπώς η πιθανότητα να είναι τα Χριστούγεννα Κυριακή δεν είναι 1/7. Σημείωση: Το παραπάνω πόρισμα ισχύει και για κάθε άλλη ημέρα. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Η πιθανότητα δεν είναι η ίδια για όλες τις ημέρες. Σ’ έναν κύκλο 400 γρηγοριανών ετών, έχουμε: KYΡ ΔΕΥ ΤΡΙ ΤΕΤ ΠΕΜ ΠΑΡ ΣΑΒ. 1η Ιανουαρίου: 58 56 58 57 57 58 56. H 1η Γενάρη (άρα και τα Χριστούγεννα που πέφτουν ίδια μέρα) είναι ελαφρώς πιο πιθανό να πέσει Κυριακή, Τρίτη ή Παρασκευή: 58/400=14,5% μεγαλύτερο του 1/7 Αντίθετα η Δευτέρα και το Σάββατο εμφανίζονται 56 φορές μέσα στον κύκλο και έχουν ελαφρώς λιγότερες πιθ. από 1/7. Ο λόγος είναι βεβαίως πως το 400 δεν διαιρείται ακριβώς με το 7. Λύση του Papaveri. H μέρα των Χριστουγέννων αλλάζει κάθε χρόνο. Είναι εύλογο λοιπόν να υποτεθεί ότι κάθε μέρα της εβδομάδας έχει τις ίδιες πιθανότητες να είναι η μέρα των Χριστουγέννων. Όμως αυτό δεν είναι σωστό!! Δεν έχουν όλες οι μέρες της εβδομάδας την ίδια πιθανότητα να πέφτουν Χριστούγεννα .Για να είμαστε ακριβείς το πρόβλημα αφορά το Γρηγοριανό ημερολόγιο και οι κανόνες που καθορίζουν τα δίσεκτα και τα μη δίσεκτα έτη είναι: 1.Τα έτη που δεν είναι δίσεκτα έχουν 365 μέρες ενώ τα έτη που είναι δίσεκτα έχουν 366 μέρες . 2.Τα μη δίσεκτα έτη δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή διαιρούνται με το 100 αλλά όχι με το 400( για παράδειγμα τα 1700,1800 και 1900 δεν ήταν δίσεκτα έτη.) 3.Τα δίσεκτα έτη διαιρούνται με το 4 αλλά όχι με το 100 ή διαιρούνται με το 400( για παράδειγμα τα έτη 1600 και 200 ήταν δίσεκτα). Επανερχόμαστε στο αρχικό ερώτημα: « να αποδειχτεί ότι η πιθανότητα η μέρα των Χριστουγέννων να είναι Κυριακή δεν είναι 1/7» Καταρχήν ας δούμε γιατί αλλάζει κάθε χρόνο η μέρα των Χριστουγέννων. Ένα έτος με 365 ημέρες έχει 52 εβδομάδες και 1 επιπλέον ημέρα .Αυτή η μέρα είναι η αιτία που κάθε ερχόμενο έτος θα ξεκινήσει μια μέρα αργότερα από ότι ξεκίνησε το προηγούμενο (αν το 2011 ξεκίνησε με Σάββατο ,το 2012 θα ξεκινήσει με Κυριακή) .Άρα η διαδικασία αυτή το επόμενο έτος θα «σπρώξει» και την ημέρα των Χριστουγέννων κατά μια μέρα. Είναι αναμενόμενο λοιπόν ύστερα από ένα συγκεκριμένο αριθμό ετών θα υπάρξει ταύτιση όλων των ημερών ενός έτους με τις ημέρες κάποιου από τα προηγούμενα. Ποιος είναι αυτός ο χρονικός κύκλος .Για το Γρηγοριανό ημερολόγιο ο χρονικός κύκλος είναι 400 χρόνια . Δείτε, κάθε 400 χρόνια έχουμε 303 μη δίσεκτα έτη και 97 δίσεκτα έτη, ένα σύνολο από 303x365+97x366= 146.097 μέρες . Ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με το 7, αυτό σημαίνει ότι 400 χρόνια είναι ακριβώς 146.097/7=20.871 εβδομάδες .Χωρίς υπόλοιπο καμία μέρα , η μέρα της εβδομάδας που θα πέσουν τα Χριστούγεννα καθώς και όλες οι άλλες μέρες θα είναι οι ίδιες κάθε 400 χρόνια. Τώρα όσο αφορά τη ζητούμενη πιθανότητα .Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε διάστημα 400 ετών υπάρχουν "Ε" έτη που τα Χριστούγεννα θα πέφτουν Κυριακή , τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ε/400 αλλά για καμία φυσική τιμή του "Ε" το κλάσμα Ε/400 δεν ισούται με το 1/7. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η συχνότητα εμφάνισης κάθε ημέρας στην γιορτή των Χριστουγέννων σε διάστημα 400 ετών, αποδεικνύεται ότι: Κυριακή: 58 φορές. Δευτέρα:56 φορές. Τρίτη:58 φορές. Τέταρτη:57 φορές. Πέμπτη:57 φορές. Παρασκευή:58 φορές. Σάββατο:56 φορές. Άρα είναι πιθανότερο η μέρα των Χριστουγέννων να πέσει Κυριακή, Τρίτη ή Παρασκευή. Οι προληπτικοί θα είναι καλό να γνωρίζουν ότι η 13 κάθε μήνα είναι πιθανότερο να πέσει Παρασκευή παρά οποιαδήποτε άλλη μέρα της εβδομάδας

Το Κιβώτιο

Ένας έμπορος έχει στην αποθήκη του 6 κιβώτια χωρητικότητας 
15,16,18,19,20 και 31 κιλών, τα 5 από αυτά είναι γεμάτα καρφιά 
ενώ το ένα γεμάτο βίδες .Ένας πελάτης το πρωί αγόρασε δυο 
κιβώτια (από τα 6) γεμάτα καρφιά ενώ το απόγευμα ένας άλλος 
πελάτης αγόρασε και αυτός τα υπόλοιπα καρφιά που ήταν 
διπλάσια σε ποσότητα από όση περιείχαν τα δυο κιβώτια που 
πουλήθηκαν το πρωί.Ποιο από τα 6 κιβώτια περιείχε βίδες; 
(Κατ.34/Νο.734.)  

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/06/blog-post.html 

Λύση

Λύση του Βασίλη. Ο δεύτερος αγοραστής προφανώς αγόρασε τρία κουτιά τα οποία, εφόσον περιείχαν τη διπλάσια ποσότητα καρφιών, είχαν συνολικό άθροισμα κάποιον άρτιο αριθμό (αν τα δύο πρώτα είχαν ν καρφιά, αυτά θα είχαν 2ν, άρα άρτιο πλήθος). Συνεπώς, για να έχουν τρεις αριθμοί άθροισμα άρτιο πρέπει: α)και οι τρεις να είναι άρτιοι, αφού 2ν+2κ+2λ=2(ν+κ+λ), άρτιος. β)δύο περιττοί και ένας άρτιος, αφού, 2ν+1+2κ+1+2λ=2(ν+κ+λ+1), άρτιος. Επομένως, από τους δοθέντες αριθμούς προκύπτουν οι εξής πιθανοί συνδυασμοί αγοράς για τον δεύτερο αγοραστή: i)16+18+20=54, ii)15+16+19=50, iii)15+16+31=62, iv)16+19+31=66, v)15+18+19=52, vi)15+18+31=64, vii)18+19+31=68, viii)15+19+20=54, ix)15+20+31=66, x)19+20+31=70. Η ελάχιστη ποσότητα που μπορεί να αγόρασε ο πρώτος αγοραστής είναι 15+16=31 κιλά καρφιά, άρα ο δεύτερος αγόρασε τουλάχιστον 2x31=62 κιλά. Συνεπώς δεκτές είναι μόνο οι παρακάτω τριάδες: iii)15+16+31=62, iv)16+19+31=66, vi)15+18+31=64, vii)18+19+31=68, ix)15+20+31=66, x)19+20+31=70. Τώρα πρέπει να είναι εφικτό, δύο από τους εναπομείναντες αριθμούς κάθε τριάδας να έχουν άθροισμα ίσο με το μισό της τριάδας. Αναλυτικά έχουμε: iii)Μένουν: 18, 19, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 31, iv)Μένουν: 15, 18, 20, 18+15=33, δεκτό, vi)Μένουν: 16, 19, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 32, vii)Μένουν: 15, 16, 20, αδύνατο να έχουν άθροισμα 34, ix)Μένουν: 16, 18, 19, αδύνατο να έχουν άθροισμα 33, x)Μένουν: 15, 16, 18, αδύνατο να έχουν άθροισμα 35. Οπότε η μοναδική λύση είναι η iv), δηλαδή, ο πρώτος να αγόρασε τα κιβώτια χωρητικότητας 15 και 18 κιλών, α δεύτερος τα κιβώτια χωρητικότητας 16, 19 και 31 κιλών και έτσι προκύπτει ότι αυτό που περιέχει τις βίδες είναι το κιβώτιο των 20 κιλών. Λύση του Papaveri. Το κιβώτιο των 20κιλών περιέχει βίδες .Η συνολική ποσότητα των καρφιών είναι πολλαπλάσιο του 3, εφόσον αγοράστηκε σε δυο δόσεις η μια διπλάσια της άλλης .Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι πολλαπλάσιο του 3. Αν όμως προσθέσουμε όλες τις ποσότητες καρφιά και βίδες έχουμε 15+16+18+19+20+ 31=119 το οποίο διαιρούμενο με το 3 δίνει υπόλοιπο 2.Αρα και το κουτί που περιέχει βίδες αφήνει υπόλοιπο 2 διαιρούμενο με το 3., κάτι που ισχύει μόνο με το 20=3Χ6+2. Τελικά ο πρώτος πελάτης αγόρασε τα κιβώτια των 15 και 18κιλών , ενώ ο δεύτερος τα κιβώτια των 16 , 19 ,31κιλών.

Η Αναβάθμιση

Μία τράπεζα ανέθεσε σε μία ομάδα ειδικών υπαλλήλων της να αναβαθμίσει τη μηχανογράφηση της σε 12 μήνες. Ύστερα από 9 μήνες αποχώρησαν 4  υπάλληλοι, και έτσι η αναβάθμιση της μηχανογράφησης 
τελείωσε σε 15  μήνες. Πόσα ήταν τ’ άτομα στην ομάδα που ανέλαβαν 
αρχικά την αναβάθμιση της μηχανογράφησης; (Κατ.34/Νο.730)
Πηγή:http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2013/12/123.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Αφού όλοι μαζί ήθελαν 3(=12-9) μήνες να τελειώσουν την μηχανοργάνωση και οι τέσσερις(4) ήθελαν 6(=15-9) μήνες, τον διπλάσιο χρόνο, εύκολα συνάγεται ότι όλοι μαζί ήταν 4*2=8 υπάλληλοι. ΣΗΜ. Θεωρήθηκε ίδια η απόδοση εργασίας όλων των υπαλλήλων

Η Πιστωτική Κάρτα

Κάτοχος πιστωτικής κάρτας μετάφερε το ποσό των 2.000€ από μία τράπεζα σε μία άλλη με την εξής συμφωνία:

α)Το πρώτο πεντάμηνο θα πληρώσει μηνιαία δόση ίση με το 5% του ποσού που οφείλει χωρίς τόκο. 

β)Το ποσό που απομένει θα επιβαρυνθεί με ετήσιο τόκο 4% και θα αποπληρωθεί σε 12 ισόποσες μηνιαίες δόσεις. 

Ποια θα είναι η δόση από τον όγδοο μήνα από την αρχή της μεταφοράς; 
Διευκρίνιση: 
Στο επιτόκιο προστίθεται και η εισφορά του Νόμου 128/75, που είναι 0,6%.(Κατ.34/Νο.729)

Πηγή:http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2013/11/blog-post_25.html

Λύση

Η δόση για κάθε μήνα ανέρχεται στο ποσό των 130,75€. Έναρξη αποπληρωμής του χρέους Αύγουστος 20xx και λήξη τον Ιούλιος του επόμενο χρόνου. Α)Για τους 5 μήνες άτοκα: 2.000€*5%=10.000€/100=100€/μήνα*5=500€ Υπόλοιπο οφειλόμενο ποσό: 2.000€-500€=1.500€ Β)Για τους 12 μήνες με τόκο: Βάσει του τύπου του τόκου Τ=(Κ*Ε*Χ)/100 έχουμε: Τ=(1.500*4*1)/100 --> Τ=6.000/100 --> Τ=60€ Άρα για 12 μήνες θα πληρώσει τόκο 60€. Τοκοχρεωλύσιο (Κεφάλαιο και τόκο)=1.500€+60€=1.560€ Αναγωγή σε 12 μηνιαίες δόσεις: 1.560€:12=130€/μήνα (χρεωλύσιο 125€, τόκος 5€) Το σωστό είναι 130,75€/μήνα η δόση, λόγω του ότι στο επιτόκιο προστίθεται και η εισφορά του Νόμου 128/75 που είναι 0,6%, οπότε το επιτόκιο διαμορφώνεται σε 4,6% ετησίως. Με το δεδομένο αυτό το (Β) διαμορφώνονται ως κάτωθι: Β)Για τους 12 μήνες με τόκο: Βάσει του τύπου του τόκου Τ=(Κ*Ε*Χ)/100 έχουμε: Τ=(1.500*4,6*1)/100 --> Τ=6.900/100 --> Τ=69€ Άρα για 12 μήνες θα πληρώσει τόκο 69€. Τοκοχρεωλύσιο (Κεφάλαιο και τόκο)=1.500€+69€=1.569€ Αναγωγή σε 12 μηνιαίες δόσεις: 1.569€:12=130,75€/μήνα (χρεωλύσιο 125€, τόκος 5,75€)

Ο Συνδυασμός

Μία κλειδαριά σε ένα χρηματοκιβώτιο ανοίγει με έναν συνδυασμό ο οποίος αποτελείται από τα ψηφία 1, 3, και 5. Πόσοι τέτοιοι συνδυασμοί μπορούμε να δημιουργήσουμε, ώστε ν’ ανοίγουμε τη κλειδαριά; (Κατ.27/Νο.413)
Διευκρίνιση: Οι αριθμοί να χρησιμοποιηθούν από μια φορά οκαθ' ένας. 

Διαβάστε περισσότερα »

Οι Ληστές

Τρεις ληστές κλέβουν μια τράπεζα και φεύγουν στο εξωτερικό μέχρι να ξεχαστεί το θέμα, ώστε να μπορέσουν να ξαναγυρίσουν στη πόλη τους. Πάνε σε μια άλλη πόλη, επειδή όμως δεν έχουν εμπιστοσύνη ο ένας στον άλλον λένε στον ξενοδόχο:
-«Πάρε αυτή  τη τσάντα με τα χρηματα.και φύλαξέ την στο χρηματοκιβώτιο. Τη τσάντα δεν θα τη δόσεις σε κανέναν μας, εάν στη ζητήσει κάποιος μόνος του, εκτός και εάν στη ζητήσουμε και οι τρεις μαζι.»
Οι ημέρες περνούσαν ευχάριστα. Μια ημέρα, που βρίσκονταν και οι τρεις στην πισίνα και έκαναν ηλιοθεραπεία, λέει ο ένας:
-«Να πάω να φέρω κανένα ποτό;»
Και του απαντάνε οι άλλοι δύο επιφυλακτικά με καχυποψία:
-«Πήγαινε.»
Αυτός αντί να πάει στο μπαρ, πάει στον ξενοδόχο και του λέει:
-«Οι άλλοι δύο μου είπαν να μου δώσεις τη τσάντα με τα χρήματα.»
Ο ξενοδόχος του λέει:
-«Πρέπει να μου το πουν και οι άλλοι δύο, βάσει της συμφωνίας που κάναμε.»
Οπότε, ο ληστής πάει στην πόρτα και φωνάζει στους άλλους δύο: 
 -«Να τα φέρω;»
Οι άλλοι νομίζοντας ότι τους λέει για τα ποτά του λένε:
-«Ναι, φέρτα.»
Ο ξενοδόχος ακούγοντας τους, δίνει τη τσάντα με τα χρήματα στον ληστή, ο οποίος φροντίζει να φύγει από το ξενοδοχείο με τα χρήματα. Μετά από λίγη ώρα οι άλλοι δύο, βλέποντας ότι καθυστερεί να τους πάει τα ποτά, πάνε στον ξενοδόχο και τον ρωτάνε:
-«Που είναι ο άλλος;»
Και τους απαντάει:

-«Του έδωσα τα χρήματα, όπως συμφωνήσατε και αυτός έφυγε.»
Οι άλλοι δύο ληστές κάνουν μήνυση στον ξενοδόχο, λόγω του ότι  δεν τήρησε την συμφωνία που είχαν κάνει και ζητούσαν τα χρήματα απο αυτόν. (Μα, είναι δυνατόν οι ληστές να κάνουν μήνυση; Εξαρτάται σε ποια χώρα βρίσκεσαι.)
Η υπόθεση πέρνει το δρόμο της δικαιοσύνης. Οι δύο ληστές και ο ξενοδόχος με την δικηγόρο του πάνε στο δικαστήριο.
Ο δικαστής λεει στη δικηγόρο του κατηγορούμενου:
- «Βάσει της συμφωνίας που έκανε ο κατηγορούμενος μαζί τους  πρέπει να δώσει τα χρήματα, αλλιώς είναι ένοχος και θα φυλακισθεί.»
Τότε, η γάτα-δικηγόρος πάει  κοντά στο δικαστή και του λέει κάτι κρυφά.
Και ο δικαστής φωναζει:
-«Αθώος, ο κατηγορούμενος!!!»
Τι είπε η δικηγόρος και έσωσε τον πελάτη της; (Κατ.27/Νο.412)

Λύση

Η δικηγόρος είπε στο δικαστή: -«Κύριε δικαστά, ο πελάτης μου έχει τα χρήματα., ας παρουσιαστούν και οι τρεις για να τους τα παραδώσει βάσει της συμφωνίας που έκανε μαζί τους.»

Οι Ηλικίες

Η κ. Τούλα έχει τρία παιδιά, ενώ η φίλη της η κ. Μαριέττα έχει τέσσερα παιδιά. Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών και των μητέρων είναι 23.870.

Να βρεθούν:

α) Οι ηλικίες των παιδιών και των μητέρων.

β) Τι ηλικία είχαν οι δύο μητέρες όταν γέννησαν  το μεγαλύτερο παιδί;

Διευκρίνιση: 

Όλα τα παιδιά πάνε σχολείο, εκτός από το μικρότερο παιδί της Μαριέττας.(Κατ.10/Νο.75)

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 23.870 με διαδοχικές διαιρέσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (ή αριθμών) και βρίσκουμε 23.870 = 2*5*7*11*31 α) Επειδή η κ. Τούλα έχει τρία παιδιά που πάνε σχολείο οι ηλικίες τους είναι 5, 7, και 11 αντίστοιχα. Ενώ οι ηλικίες των παιδιών της Μαριέττας, που είναι τέσσερα, είναι 2, 5, 7, και 11 αντίστοιχα, εκ των οπίων τα τρία πάνε σχολείο ενώ το μικρότερο όχι. β) Οι ηλικίες των μητέρων και στις δύο περιπτώσεις είναι 31 ετών, άρα συνομήλικες. Το μεγαλύτερο παιδί το γέννησαν και οι δύο μητέρες σε ηλικία: 31-11=20 ετών. Λύση του Ανώνυμου. Έστω Α η ηλικία της κ. Τούλας και γ, δ, ε των τριών παιδιών της, Β η ηλικίας της κ. Μαριέττας και ζ, η, θ, ι η ηλικία των τεσσάρων παιδιών της. Θα είναι επίσης: Α,Β, μεγαλύτερο του 18, 18 μεγαλύτερο ή ίσο των γ,δ,ε,ζ,η,θ μεγαλύτερο ή ίσο του 5, και "ι" μικρότερο του 5, αφού ένα παιδί φοιτεί υποχρεωτικά 10 έτη στο σχολείο (Νηπιαγωγείο, Δημοτικό, Γυμνάσιο) και 3 έτη στο Λύκειο. Θεωρούμε ότι δεν έχουν μείνει σε κάποια τάξη. Όλες οι ηλικίες θεωρούνται θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Πρέπει (από την εκφώνηση) να ισχύουν: Α*γ*δ*ε=23.870 (1) και Β*ζ*η*θ*ι=23.870 (2) Πρέπει λοιπόν όλες οι ηλικίες να είναι διαιρέτες του 23.870. Διαιρέτες του 23.870, άρα και πιθανές ηλικίες, είναι οι εξής: 1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 31, 35, 55,... Επίσης, η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων αριθμών του 23.870 είναι: 2*5*7*11*31=23.870. Αυτοί οι αριθμοί, μπορούν να αποτελέσουν και λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=11, η=7, θ=5 και ι=2). Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 1*7*10*11*31=23.870 που αποτελεί επίσης λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=11, η=10, θ=7 και ι=1). Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 1*5*11*14*31=23.870 που αποτελεί επίσης λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=14, η=11, θ=5 και ι=1). Για την κ. Τούλα τώρα έχουμε: 5*11*14*31=23.870 που είναι η μοναδική δεκτή λύση (Α=31, γ=14, δ=11, ε=5). Επίσης έχουμε ότι η κ. Τούλα γέννησε το πρώτο της παιδί στα 17 της και η κ. Μαριέττα στα 17 ή στα 20 της, ανάλογα με το ποια λύση δεχόμαστε. Σημείωση: Εάν πάρουμε διαφορετικό περιορισμό και αγνοήσουμε το νηπιαγωγείο, υποθέσουμε δηλαδή ότι η ηλικία όλων των παιδιών, που πηγαίνουν σχολείο είναι μεταξύ 6 και 18 ετών, τότε και για την κυρία Μαριέττα προκύπτει μία και μοναδική λύση την (Α=31, γ=14, δ=11, ε=5).