Τα Χριστούγεννα

Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα, η μέρα των Χριστουγέννων να είναι Κυριακή,  δεν είναι το 1/7. (Κατ.33/Νο.41) 

Μαθηματικός Διαγωνισμός Putnam,1950

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/12/putnam.html

Λύση

Λύση του Βασίλη. Ένας χρόνος έχει 365 ημέρες, δηλαδή 365/7=52 εβδομάδες και 1 ημέρα. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι, αν φέτος τα Χριστούγεννα είναι Δευτέρα, το επόμενο έτος θα είναι Τρίτη, το μεθεπόμενο Τετάρτη κ.ο.κ. Κάθε τέσσερα έτη όμως έχουμε το δίσεκτο έτος το οποίο έχει 366 ημέρες, ήτοι: 52 εβδομάδες και δύο ημέρες. Άρα, αν τα Χριστούγεννα φέτος είναι Τρίτη και έπεται δίσεκτο έτος, τα επόμενα Χριστούγεννα θα είναι Πέμπτη. Ξεκινάμε από τα Φετινά Χριστούγεννα που είναι Πέμπτη και το επόμενο δίσεκτο έτος είναι το 2016. Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Χριστούγεννα(έτος)-Ημέρα 2014-Πέμπτη, 2015-Παρασκευή, 2016-Κυριακή, 2017-Δευτέρα, 2018-Τρίτη, 2019-Τετάρτη, 2020-Παρασκευή, 2021-Σάββατο, Βλέπουμε ότι, για να περάσει η γιορτή από όλες τις ημέρες δε χρειάστηκαν επτά χρόνια (όπως θα συνέβαινε αν δεν υπήρχαν δίσεκτα έτη), αλλά 8 και πως η πιθανότητα να πέσουν τα Χριστούγεννα Κυριακή είναι 1/8 σε αυτήν την περίπτωση. Αυτή η οκταετία είναι και η ελάχιστη διάρκεια ετών μέσα στην οποία μπορούν να "εξαντληθούν" όλες οι ημέρες που μπορούμε να έχουμε Χριστούγεννα. Συνεπώς γενικά η πιθανότητα να έχουμε Χριστούγεννα Κυριακή είναι ν/8, όπου «ν» θετικός ακέραιος μικρότερος του οκτώ. Όμως κανένας από τους αριθμούς αυτούς (ν/8) δεν είναι ίσος με 1/7, συνεπώς η πιθανότητα να είναι τα Χριστούγεννα Κυριακή δεν είναι 1/7. Σημείωση: Το παραπάνω πόρισμα ισχύει και για κάθε άλλη ημέρα. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Η πιθανότητα δεν είναι η ίδια για όλες τις ημέρες. Σ’ έναν κύκλο 400 γρηγοριανών ετών, έχουμε: KYΡ ΔΕΥ ΤΡΙ ΤΕΤ ΠΕΜ ΠΑΡ ΣΑΒ. 1η Ιανουαρίου: 58 56 58 57 57 58 56. H 1η Γενάρη (άρα και τα Χριστούγεννα που πέφτουν ίδια μέρα) είναι ελαφρώς πιο πιθανό να πέσει Κυριακή, Τρίτη ή Παρασκευή: 58/400=14,5% μεγαλύτερο του 1/7 Αντίθετα η Δευτέρα και το Σάββατο εμφανίζονται 56 φορές μέσα στον κύκλο και έχουν ελαφρώς λιγότερες πιθ. από 1/7. Ο λόγος είναι βεβαίως πως το 400 δεν διαιρείται ακριβώς με το 7. Λύση του Papaveri. H μέρα των Χριστουγέννων αλλάζει κάθε χρόνο. Είναι εύλογο λοιπόν να υποτεθεί ότι κάθε μέρα της εβδομάδας έχει τις ίδιες πιθανότητες να είναι η μέρα των Χριστουγέννων. Όμως αυτό δεν είναι σωστό!! Δεν έχουν όλες οι μέρες της εβδομάδας την ίδια πιθανότητα να πέφτουν Χριστούγεννα .Για να είμαστε ακριβείς το πρόβλημα αφορά το Γρηγοριανό ημερολόγιο και οι κανόνες που καθορίζουν τα δίσεκτα και τα μη δίσεκτα έτη είναι: 1.Τα έτη που δεν είναι δίσεκτα έχουν 365 μέρες ενώ τα έτη που είναι δίσεκτα έχουν 366 μέρες . 2.Τα μη δίσεκτα έτη δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή διαιρούνται με το 100 αλλά όχι με το 400( για παράδειγμα τα 1700,1800 και 1900 δεν ήταν δίσεκτα έτη.) 3.Τα δίσεκτα έτη διαιρούνται με το 4 αλλά όχι με το 100 ή διαιρούνται με το 400( για παράδειγμα τα έτη 1600 και 200 ήταν δίσεκτα). Επανερχόμαστε στο αρχικό ερώτημα: « να αποδειχτεί ότι η πιθανότητα η μέρα των Χριστουγέννων να είναι Κυριακή δεν είναι 1/7» Καταρχήν ας δούμε γιατί αλλάζει κάθε χρόνο η μέρα των Χριστουγέννων. Ένα έτος με 365 ημέρες έχει 52 εβδομάδες και 1 επιπλέον ημέρα .Αυτή η μέρα είναι η αιτία που κάθε ερχόμενο έτος θα ξεκινήσει μια μέρα αργότερα από ότι ξεκίνησε το προηγούμενο (αν το 2011 ξεκίνησε με Σάββατο ,το 2012 θα ξεκινήσει με Κυριακή) .Άρα η διαδικασία αυτή το επόμενο έτος θα «σπρώξει» και την ημέρα των Χριστουγέννων κατά μια μέρα. Είναι αναμενόμενο λοιπόν ύστερα από ένα συγκεκριμένο αριθμό ετών θα υπάρξει ταύτιση όλων των ημερών ενός έτους με τις ημέρες κάποιου από τα προηγούμενα. Ποιος είναι αυτός ο χρονικός κύκλος .Για το Γρηγοριανό ημερολόγιο ο χρονικός κύκλος είναι 400 χρόνια . Δείτε, κάθε 400 χρόνια έχουμε 303 μη δίσεκτα έτη και 97 δίσεκτα έτη, ένα σύνολο από 303x365+97x366= 146.097 μέρες . Ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με το 7, αυτό σημαίνει ότι 400 χρόνια είναι ακριβώς 146.097/7=20.871 εβδομάδες .Χωρίς υπόλοιπο καμία μέρα , η μέρα της εβδομάδας που θα πέσουν τα Χριστούγεννα καθώς και όλες οι άλλες μέρες θα είναι οι ίδιες κάθε 400 χρόνια. Τώρα όσο αφορά τη ζητούμενη πιθανότητα .Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε διάστημα 400 ετών υπάρχουν "Ε" έτη που τα Χριστούγεννα θα πέφτουν Κυριακή , τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ε/400 αλλά για καμία φυσική τιμή του "Ε" το κλάσμα Ε/400 δεν ισούται με το 1/7. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η συχνότητα εμφάνισης κάθε ημέρας στην γιορτή των Χριστουγέννων σε διάστημα 400 ετών, αποδεικνύεται ότι: Κυριακή: 58 φορές. Δευτέρα:56 φορές. Τρίτη:58 φορές. Τέταρτη:57 φορές. Πέμπτη:57 φορές. Παρασκευή:58 φορές. Σάββατο:56 φορές. Άρα είναι πιθανότερο η μέρα των Χριστουγέννων να πέσει Κυριακή, Τρίτη ή Παρασκευή. Οι προληπτικοί θα είναι καλό να γνωρίζουν ότι η 13 κάθε μήνα είναι πιθανότερο να πέσει Παρασκευή παρά οποιαδήποτε άλλη μέρα της εβδομάδας